数学逆向思维的题目及答案分析（精选9篇）

数学逆向思维的题目及答案分析 第1篇

逆向分析分式方程的检验

例4 已知方程---=1有增根，求它的增根。

分析：这个分式方程的增根可能是x=1或x=-1

原方程去分母并整理，得x2+mx+m-1=0

如果把x=1代入，能求出m=3;

如果把x=-1代入，则不能求出m;

∴m的值为3，原方程的增根是x=1。

数学逆向思维的题目及答案分析 第2篇

例1 若化简|1-x|--的结果为2x-5，求x的取值范围。

分析：原式=|1-x|-|x-4|

根据题意，要化成：x-1-(4-x)=2x-5

从绝对值概念的反方向考虑，推出其条件是：

1-x0，且x-40

数学逆向思维的题目及答案分析 第3篇

一、怎样培养小学生的逆向思维能力

通过数学课教学和各类数学竞赛, 有利于提高学生的思维能力, 这是人们的共识。提高学生思维能力是提高学生数学素养的重要方面, 它有利于培养和开发学生的创造性活动。由于定向思维存在局限性, 所以培养和加强学生的逆向思维成为当代教育发展的必然趋势。通过本人教学多年总结的经验, 培养小学生的逆向思维能力主要有三个方面。

1、从课本知识出发, 培养学生的逆向思维能力

第一、通过定义、定理和定律的逆用, 培养学生的逆向思维能力。准确地理解、掌握定义、定理和定律是学好数学的首要环节。数学概念、定义、定理总是双向的, 在平时的教学过程中, 如果只秉承了从左到右的思想, 就很有可能形成定向思维。在概念的教学中, 教师可以引导学生从正反两个方面来加深对定义的理解。除了让学生理解概念本身及其常规应用外, 还要善于引导和启发学生反面思考, 加深对概念的理解与拓展。

第二、通过公式和法则的逆用, 培养学生的逆向思维能力。公式和法则一般都是可以从左右方向转换的, 这种转换正是从正向思维到逆向思维的简单应用。因此, 一个公式运用, 不但重在公式的正向应用, 也要注意公式的逆用。

第三、通过加强数学方法教学, 培养学生的逆向思维能力。数学方法如反正法、分析法等方面的教学是增强学生逆向思维能力的有效方法。在小学数学竞赛中, 经常会用到反正法、分析法。反正法是一种假设结论的反面成立, 在已知条件和“否定结论”这个新条件下, 通过推理得出与已知、公理、定理矛盾的结论, 从而断定假设不成立, 原问题的结论一定正确的方法。分析法是一种逆向思维方法, 其推理方向是由结论到已知条件, 论证中步步寻求使其成立的充分条件, 如此逐步归结到已知或已成立的事实。用它可以缩短已知和未知间的距离, 便于寻找解题的途径。通过数学方法的训练, 能使学生明白解答一个问题用一种方法不行, 要转化思想, 也可以反过来思考, 从而增强逆向思维能力, 提高思维的灵活性。

2、从心理角度出发, 培养学生的逆向思维能力

一个人的思维能力强弱, 不仅与他的思维方式有关, 而且与他掌握的知识量有关。然而, 作为一名小学生, 他掌握的知识量肯定是有限的, 所以只有从他的思维方式着手。在小学生中, 普遍存在一种现象, 即望“题”生畏, 这从心理上制约了小学生思维方式的正常拓展。加强学生的逆向思维能力培养, 可以改变学生的思维方式。只有学生的思维方式拓展了, 才能提高学生学习的积极性, 才能克服学生的心理障碍, 才有利于小学生的正向思维能力和逆向思维能力的提高。

3、从师生交流互动出发, 培养学生的逆向思维能力

第一、通过师生交流, 培养学生的逆向思维能力。作为一名教师, 应该首先要求自己更新观念, 转变角色;其次是在教学行为中产生相应的变化。教师应是学生学习的促进者、引路人, 在课程进行中, 教师应注意自己的知识素养与人格魅力, 要以与人为善、和蔼可亲的态度与学生相处, 参与学生活动, 多了解学生的学习情况, 多指导学生学习, 要尊重学生, 营造一种和谐的教学氛围。

第二、通过学生与学生交流, 培养学生的逆向思维能力。把学生分为多个学习小组, 让学生在学习小组内进行合作交流。教师要给学生提供交流的平台, 如开展课堂交流和辩论, 让学生在互动交往中, 加强体验, 养成团结协作精神。让学生通过自由发言, 充分表达个人的观点, 从而达到互相启迪、补充和增强对知识的理解。教师要优化课堂模式, 改变传统教学观念, 使学生在互动过程中提高自己的自主性、独立性、能动性和创造性。

二、实例应用

1、提出问题。

一道典型的趣味数学题 (老虎过河) :有6只老虎是3对母子一起过河, 表面上它们之间是和平相处的, 但是母老虎不在的情况下它的儿子会被另外的大老虎吃掉。大老虎与大老虎、小老虎与小老虎之间是和平相处的。河水很深, 没有桥, 只有一条船, 船每次最多可以乘坐两只老虎, 3只大老虎都会划船, 只有一只小老虎会划船。问:它们怎么过河?

2、分析问题。

用A和a, B和b, C和c表示3对母子, 其中A、B、C和a会划船。

第一次过河有五种可能:A和a, B和b, C和c, a和b, a和c。不妨选a和b。a把船划回来。第二次过河只能是a和c, a把船划回来。第三次过河只能是B和C, 那么谁把船划回来呢?定向思维模式就是每次过河的是两只老虎, 划船回来的是一只, 这样才是最少次数全部过河, 但是B和C谁过来都不满足条件。这里就需要突破定向思维模式, 用逆向思维方法来选择。不妨选B和b划船回来。第四次过河有四种可能:A和a, B和b, A和B, a和b。如果B和b过去, 则回到了第三次过去的情况;如果A和B过去, 谁划船回来都不满足条件;由于C已经过去, 所以a和b不能选择。这样只能选择A和a。与第三次过去的情况一样, 谁把船划回来呢?用逆向思维方法选择C和c把船划回来。第五次过河有三种可能:B和b, C和c, B和C。但无论是B和b还是C和c过去, 都等于是多过一次, 所以只能选择B和C过去。虽然A, B, C和a都会划船, 但只有a划船回来满足条件。第六次过河有两种可能:a和b, a和c。选择那种都可以, 不妨选择a和b, a把船划回来。第七次过河就只有a和c。这样就都过河了。

3、具体方案。

一共七次过河, 六次回来。用表示谁坐船过去, 用表示谁坐船回来。具体过河步骤为

三、总结

数学逆向思维的题目及答案分析 第4篇

关键词：高中数学；教学；逆向思维能力；培养；策略

高中数学知识具有复杂性和系统性，对学生思维能力的培养具有重要意义，然而，教师按部就班的对学生予以引导，将导致学生的形成思维定势，因而造成学生对于数学知识的本质未能有深入的理解。通过对学生逆向思维的培养，有利于学生对数学知识有正确的认知，并促进学生创新思维的发展。因此，在高中数学教学期间，必须对逆向思维的培养，从而有助于数学教学质量的提高。

一、逆向思维的内涵

所谓逆向思维，与正向思维相反，其作为一种创新型思维，打破了常规的思维程序，与正向思维的根据原因推理结果截然不同，是从相反的方向采取全新的思维对问题进行分析，从而得出结论。

通常情况下，逆向思维类型分为三种，分别是缺点逆向思维法、转换型逆向思维法和反转型逆向思维法[1]。同时，逆向思维具有异常性、普遍性和新颖性等特点，所以逆向思维作为一种分析方法，在解决问题时，对问题的处理有着一定的作用。

另外，在逆向思维的培养过程中，应当对其类型和特点等有全面的掌握，进而为逆向思维的培养提供有利依据。总之，逆向思维对习惯性思维进行突破，从其他角度探析问题，进而容易找到解决问题的突破口，对解决一些问题具有重要意义。尤其是在教学过程中，通过采取逆向思维，能够促进学生对知识的深入理解，然后掌握相关规律，对原有的思想进行创新，进而为教学质量的提升奠定良好基础。

二、培养逆向思维的方法

（一）综合法

对于综合法，其有助于对逆向思维的良好培养，在利用综合法时，需将要推论的结果作为起始点，逆向根据已知条件作为出发点，然后结合相关概念和定义对问题进行逐一分析和推导，层层推进，直到找到结果为止。运用此法时，要从原因出发，然后按照一定的线索对结果加以探讨，直到找到最佳结果为止。

（二）逆推法和分析法

在培养逆向思维期间，可以采取不同的方法，通常情况下，比较直接的方法就是逆推法，也称之为反向逆推法（也称“分析法”），以反向逆推的方式对命题的逆命题加以判定。对于逆推法而言，其并不适用于解决各种问题，逆向思维的本质并不是将容易解决的问题进行具体化处理，通过采用逆向思维方法，进而找到最佳和比较简便的方法，所以在教学过程中，为了使得教学取得良好的效果，在采取逆推法时，需要对该方法予以全面的认知，避免将逆向思维予以复杂化，使得通过运用逆向思维对问题予以有效解决。

三、在高中数学教学时培养逆向思维能力的重要性

在高中数学教学过程中，为了有助于调动学生分析问题和解决问题的积极性，并培养学生的创新能力，应党培养逆向思维能力，进而有利于学生找到解答问题的突破口[2]。由于思维过程的指向性有区别，思维分为正向思维和逆向思维，在高中数学教学期间，运用正向思维解决问题，虽然解答效率高，但长期下来将导致学生的思维具有局限性，对一些特殊问题难以有效解答。

四、高中数学教学培养逆向思维能力的有效措施

（一）充分运用多媒体展开教学

在高中数学教学过程中，为了促进数学教学质量的提升，并有利于培养学生的思维能力，应当加强对学生的逆向思维能力的培养，从而为高中数学教学有效性的增强创造良好的条件。在培养逆向思维期间，教师需要充分运用多媒体展开教学，继而为逆向思维的有效培养提供良好的途径。

例如，在人教版高中数学“直线与平面平行的判定定理”教学时，教师为了学生更加深入的理解该定理，将推导过程用多媒体的形式向学生展示，使得学生在直观作用下理解数学知识。

如果直线在平面外，那么，直线可以与平面相交或者是平行，但直线和平面不相交，以正向思维方式解决问题，由于可依据的条件和定理比较少，则需要采取逆向思维方式。其中，图1是假设的直线与平面不相交的图形，假设 ，由于 // ，因而 ，此时，在 平面内，可以作直线c，使得直线c//b，根据 ，a//c，因而与 相互矛盾[3]。因此， 的假设不成立，所以 。

总之，在高中教学过程中，教师为了培养学生的逆向思维能力，借助于直观教学法，使得学生对逆向思维有感性和直观感觉上的认知，进而为其理性的解答数学知识打下坚实基础[4]。同时，对学生的逆向思维培养具有重要意义。

（二）在学习数学概念时培养逆向思维

在高中数学教学期间，为了进一步提升数学教学效果，教师应当注重对学生逆向思维的培养，使得在一定程度上促进学生的综合能力得到增强，对其学生数学知识创造有利条件。

在开展教学活动时，有些问题难以有效解决，必须通过运用逆向思维，对不能顺利解决的问题加以处理。

在高中数学教学内容中，概念是学生学习数学知识的基础，学生只有对概念有深层次的理解，才能有利于数学知识的解答。通常情况下，概念是以一句话的形式对相关内容的概括，可以将客观事物的真实属性反映出来，所以教师在概念教师时在培养学生正向思维的同时，对学生逆向思维的培养予以高度重视。比如，在讲解“映射”概念过程中，假想A→B是集合A到集合B的映射，判定集合A和集合B中各个元素的对应关系。教师以逆向思维的方式引导学生，集合A中的元素没有剩余，而且每个元素在个集合B相对应时，具有唯一的象，那么，集合B中还有剩余元素，也就是集合B中的元素未能在集合A中找到原像，可以得出在映射的对应形式有很多种，包含了一一对应和多对一。但是，不存在一对多的形式。总之，通过逆向思维的方式实现了对概念的有效学习，对高中数学教学活动的开展奠定了良好基础。

结束语 ：

教师通过培养学生的逆向思维，以全新的视角分析问题，通过将结论作为出发点，以全新的视角分析和处理问题，继而打破学生的思维定式，因而以灵活和有效的方式解答数学问题。另外，加强对学生逆向思维的培养，对学生综合素质的提升具有重要意义。因此，在高中数学教学期间，培养逆向思维能力，对学生分析和深入理解数学知识起到举足轻重的作用，在教学期间，教师为促进学生对知识的全面理解，并拓宽学生的学习思路，应当在培养学正向思维的同时，加强对学生逆向思维的培养，进而有助于学生分析和处理问题。

参考文献：

[1]孙艳松.高中数学教学逆向思维能力的培养[J].科技视界，2014（2）：243-243.

[2]黄恩祥.高中数学教学中逆向思维能力的培养[J].學园，2014（21）：149-149.

[3]张恩祥.试论逆向思维在高中数学中的应用[J].理科爱好者（教育教学版），2012，4（4）：38.

数学逆向思维的题目及答案分析 第5篇

每个定理都有它的逆命题，但逆命题不一定成立，经过证明后成立即为逆定理.逆命题是寻找新定理的重要途径.在平面几何中，许多的性质与判定都有逆定理.如：平行线的性质与判定，线段的垂直平分线的性质与判定，平行四边形的性质与判定，勾股定理与逆定理等，注意它的条件与结论的关系，加深对定理的理解和应用，重视逆定理的教学应用对开阔学生思维视野，活跃思维大有益处.例：△ABC中,a=2n+1,b=2n2+2n,c=2n2+2n+1(n>0),求证△ABC是直角三角形。

分析已知三边,欲证△ABC是直角三角形,可考虑用勾股定理的逆定理

证明∵n>0

∴2n2+2n+1>2n2+2n>2n+1即c>b>a

又∵a2+b2=(2n+1)2+(2n2+2n)2=4n4+8n3+8n2+4n+1

c2=(2n2+2n+1)2=4n4+8n3+8n2+4n+1

数学逆向思维的题目及答案分析 第6篇

用一只平底锅煎饼，每次只能放两只饼。煎熟一只饼需要2分钟(正反面各需要1分钟)。请你想想煎3只饼至少需要几分钟?怎样煎?

再想想：煎99个、100个饼需要多少时间?煎n个呢?为什么?

逻辑思维训练四年级趣味数学训练题目(2)

括号里应该填几?

下面两个表里的数的排列都存在着某种规律，你能找出这个规律，并根据这个规律把括号里的数填进去吗?试试看，很有趣的。

2 、5 、6 、7 、11

8 、10 、、4 、18

6 、10 、12 、9 、20

2 、13 、5 、6

4 、11 、5 、7

7 、()、4 、10

7 、11 、1 、12

逻辑思维训练四年级趣味数学训练题目(3)

巧填运算符号

不用括号，在四个4之间填上适当的运算符号

(+、、、÷)，使

4 4 4 4=0

思维训练四年级趣味数学(4)

巧填括号

请你在下面的算式里，适当添上括号使等式成立。

(1)46+24÷6-5=15

(2)46+24÷6-5=0

逻辑思维训练四年级趣味数学训练题目(5)

一个同学不仔细在做一道减法题时，把减数65写成了56，最后所得的差是40，正确的答案应该是多少?

思维训练四年级趣味数学训练题目(6)

一个班有48人，班主任统计问：“做完语文作业的举手”，有37人举了手。又问：“做完数学作业的举手”，有42人举了手。最后问：“语文、数学都没有做完的举手”，没有人举手。请你算算，这个班语文、数学都做完的有多少人?

思维训练四年级趣味数学(7)

在下面的方框里填上适当的数

1、360÷(6□)=20

2、125(28÷□)=500

思维训练四年级趣味数学训练题目(8)

如果△□=〇 那么下面的算式哪几个是正确的?

(1)□÷〇=△ (2)〇△=□

(3)〇÷△=□ (4)□+〇=△

(5)〇-□ =△ (6)△=〇÷□

逻辑思维训练四年级趣味数学训练题目(9)

小马虎在做一道计算题(1800-□)÷25+192时，没有注意题里的括号，先用□里的数除以25，然后按照加减运算的顺序计算，得1968。这道题应该得多少?

思维训练四年级趣味数学训练题目(10)

有一个同学在读一个小数时，把小数点读丢了，结果读成了四万五千零一。原来的小数读出来只读一个零，原来的这个小数应该是多少?

四年级同学思维训练题(11)

找规律填数的题目要求我们根据已知数之间的联系，找出其中的规律，从而求得相应的数。

从数列中找规律，一般有两种方法：

(1)、根据前后两个数之间的关系，找出规律，推断出要填的数。

(2)、根据相邻两个或几个数之间的关系，找出规律，推断出所要填的数。

请你先找出下面各列数的规律，然后在( )里填上合适的数。

(1)2、6、10、14、( )、( ).

(2)18、19、21、24、28、( ).

(3)2、4、8、16、( )..

(4)12、2、10、2、8、2、( )、( )

(5)1、1、2、3、5、8、13、21、( )、()

(6)2、3、5、9、17、( )

(7)99、36、15、( )

逆向思维在数学分析中的作用 第7篇

数学分析是数学殿堂的基石性学科,其内容的广泛性与深刻性包含着形式多样的数学思想与方法,而逆向思维在解决数学分析问题时别开生面.因此,本文就逆向思维在数学分析中作用进行初探.本论文中,首先阐述逆向思维的内涵及其特征;其次将以数学分析为载体,选取逆向思维作为研究切入点,主要以举例子的形式叙述了逆向思维在数学分析中的具体作用.无论其深化定义、定理的理解,高效的强化解题,批判性命题验证,还是创新性数学品质,无不渗透出笔者最后总结性论述,即逆向思维在数学分析中具有举足轻重的地位.二十一世纪的信息时代日新月异.数学思维无处不在,无时不有,而逆向思维就是在对数学文化素养的思想研究的基础上,提高数学新意,感受理性美誉,体会数学文化品位,这已成为国内外数学发展的重要趋势.关键词:逆向思维,作用,数学分析,重要性

The function of reverse thought in mathematical

analysis

Abstract:Mathematical analysis is the cornerstone of the temple mathematical discipline,breadth and depth of its content contains a variety of mathematical ideas and methods,and the spectacular reverse thinking in solving mathematical analysis of the problem.Therefore,this paper analyzes the role of reverse thought in mathematics carried study.In this thesis,first expounded the connotation and characteristics of reverse thought ,mathematical analysis will be followed by the carrier,select reverse thinking as a research starting point,mainly in the examples given in the form of reverse thought described in mathematical analysis of the specific role.Whether its deepening definitions,theorems understanding and efficient strengthen problem-solving,critical proposition verification,or innovative mathematical quality permeates the author concludes discourse, reverse thought plays a decisive role in the mathematical analysis.Information era of the 21st century rapidly.Mathematical thinking is everywhere and at all times there , but the reverse thought is based on the study of mathematics literacy ideas on improving mathematical ideas, feelings rational reputation,experience culture grade math,which has become an important trend in the development of mathematics at home and abroad.Keywords: reverse thought, function, mathematical analysis,important.目 录

一、引言.......................................................3

二、逆向思维内涵及特征.........................................1

（一）逆向思维的内涵.......................................1

（二）逆向思维的特征.......................................1

三、逆向思维在数学分析中的重要性...............................2

四、逆向思维在数学分析中四种作用...............................3

（一）深化定义、定理理解...................................3

（二）高效强化解题.........................................6

（三）批判性命题验证......................................11

（四）创新性数学品质......................................15

五、结束语....................................................15

六、参考文献..................................................17

一、引言

司马光“砸缸救小孩”是一个古老而又优美的传说,机智的将常规的

“救人离水”转变成“让水离人”.他揭示了一个真理:逆向思维有时比正向思维更能高效解决实际问题,数学思维方法亦同.由于许多数学定义,数学公式,数学定理,数学运算以及解题过程均有可逆性,其作为可逆性理论为逆向思维提供理论依据.它不拘泥常规、常法、善于开拓、变异,极有利于打破旧框框的束缚,解放人们的思想,培养思维的灵活性,使主观能动性得以充分发挥,改变注入式数学思维应变能力不足的缺陷,产生认识上的新飞跃.这样,就能使学生在亲身的探索中,掌握数学分析知识间的内在联系,透彻地理解教材,巩固所学知识,并能培养学生探索能力,打破思维定势,激发学习兴趣,开阔知识视野.二、逆向思维内涵及特征

（一）逆向思维的内涵

逆向思维又称反向思维,通俗地讲,就是在解决问题时,“一计不成，又生一计”,若把AB的连续思维看作正向联结,并称这个心理过程为正向思维,那么就把相反的连续BA看作为逆向联结,并称这一心理过程为逆向思维.逆向思考是思维向相反方向重建的过程.它是人们在研究过程中有意识地去做与习惯性思维方向完全相反的探索,就是站在对立角度上考虑、解剖问题,得到与公理、定理相悖的结论,或得到与条件相矛盾的结果,从反面达到解决问题的目的.思维的可逆性,使人们在认识客观事物时,不仅可以顺向思考,而且可以逆向思考;不仅可以从正面看,而且可以从反面看;不仅可以从因到果,而且还能执果索因,正是这种逆向功能决定了逆向思维在创造活动中具有独特的作用.（二）逆向思维的特征

爱因斯坦在论述自己科学活动时,曾多次提到“采取相反路线”,“反过来加以考虑”,即逆向思维,其具有以下本质特征: 普遍性:逆向思维在各种领域中都有其独到的适用性,由于对立统一规律是普遍适用的,而对立统一的形式又是多种多样,有一种对立统一形式就有一种逆向思维的角度.怀疑性:逆向思维在某种程度上是以怀疑为手段,以扫除传统偏见和谬误,追求真理,发展科学为目的.批判性:逆向思维是与正向思维相比较而言的,正向思维是指常规的、常识的、公认的或习惯的想法与做法.逆向思维则恰恰相反,是对传统、惯例、常识的反叛,是对常规的挑战,它能够克服思维定势,破除由经验和习惯造成的僵化的认识模式,要求多方位探究,有批判的吸收、有批判的选择、有批判的理解.新颖性:循规蹈矩的思维和按传统方式解决问题虽然简单,但容易使思路僵化、刻板、摆脱不掉习惯的束缚,得到的往往是一些司空见惯的答案,其实,任何事物都具有多方面属性,由于受过去经验的影响,人们容易看到熟悉的一面,而对另一面却视而不见,逆向思维克服这一障碍,能够随机应变,触类旁通,不受某种固定的思维模式的局限,往往是出人意料,给人耳目一新的感觉.创新性:逆向思维所追求的是创新和独到,它不满足于一般思维所研究的已知领域,主要注重于探求人类未知天地.将以前所未有的新角度、新观点去观察分析问题,思维方法创新独特,能够提出超常的想象.想别人所未想、求别人所未求、做别人所未做的事情.深刻性:它表现为深入思考问题,细致分析问题,不放过任何蛛丝马迹来钻研探索复杂问题背后的本质属性.此外,还有独特性、灵活性和探究性.[1]

三、逆向思维在数学分析中的重要性

逆向思维重要性之一:常规思维难以解决的问题,通过逆向思维却可能轻松破解.逆向思维重要性之二:逆向思维会使你独辟蹊径,在别人没有注意到的地方有所发现,有所建树,从而制胜于出人意料.逆向思维重要性之三:逆向思维会在多种解决问题的方法中获得最佳方法和途径.逆向思维重要性之四:自觉运用逆向思维,会将复杂问题简单化,从而使效率和效果成倍提高.逆向思维重要性之五:逆向思维可运用在各个领域.逆向思维最可宝贵的价值,是它对人们认识的挑战,是对事物认识的不断深化,帮助我们克服正向思维中出现的困难,寻求新的思路,新的方法深化知识,开拓新的知识领域,在探索中敢于离径叛道,大胆立异,并由此而产

生“原子弹爆炸”般的威力.再遇到新问题时就不会只走“华山一条路”了,而是“水路不通走旱路,条条大道通罗马”,它是开拓型人才必备的思维品质.四、逆向思维在数学分析中四种作用

（一）深化定义、定理理解

数学分析这门课程研究的对象是函数,所用的研究方法是极限方法,这种抽象又严谨的理论体系要求必须深度掌握数列极限的定义,为数学分析的继续学习打下坚实基础.1.定义 设有数列an,a是有限常数,若对任意0,总存在正整数N,对任意正整数nN,有 ana, 则称数列an的极限是a(或a是数列an的极限)或数列an收敛于a(an是收敛数列),表为

limana或ana(n).n数列an的极限是a,用逻辑符号可简要表为: limana0,NN,nN,有ana[2]

n思考 ①如何理解N不唯一? ②若0,N0,当nN时,an中有无穷多个项满足ana,是否limana? n1(1)n 首先,举反例说明并计算N不是唯一的.n1(1)n虽然数列an1(1)n满足对0,N

2其次,分析数列当n2kN时(k为自然数),虽然an中有无穷多个项满足a2k0,但liman不存在.n

这样,即可对数列极限的N语言有了本质的认识和更精确的理解.[3]

函数极限与数列极限定义的不同,形式上的无关联性造成不可相互转化的假象,海涅定理恰恰证明了其本质的相通性,构建起函数极限与数列极限之间的桥梁,所以理解海涅定理的证明极其重要.而其充分性的证明则采取反证法(从命题的反面入手，通过合理论证找出矛盾,从而确认命题的真实性的一种间接证法,其基本依据是逻辑学中的矛盾与排中律,推知假设错误,故结论成立.其思维特点是逆向思维)推得.2.海涅定理 limf(x)b对于任意数列an,ana且limana

xa n有limf(an)bn

分析 必要性,应用函数极限定义和数列极限定义可得极限limf(an)bn

充分性,因为在已知条件中,这样的数列an是任意的,当然是无限多的,所以从已知条件出发直接证明有limf(x)b是困难,运用反证法.xa证明 必要性 已知limf(x)b,即0,0,x:0xaxa

有 f(x)b

n对于任意数列an,ana且limana,根据数列极限定义,对上述

0,NN,nN,有0ana 从而,nN,有f(an)b,即limf(an)b

n 充分性 应用反证法.假设limf(x)b,根据函数极限的否定叙述

xa 00,0,x:0xa

有 取 1,a1:0a1a1,有f(a1)b0，11,a2:0a2a,有f(a2)b0, 22

..............

11,an:0ana,有f(an)b0，nn

..............于是，构造出一个数列an,ana,因为n 所以limanan

10(n)n显然，limf(an)b,与已知矛盾.n

著名的Lagrange中值定理的论证,其辅助函数的构造,即用分析法(从结论着手进行推证,推得符合条件或易证命题,推证的每一步均可逆,是原命题得证的一种逆向思维解题法)推得.3.Lagrange中值定理

若函数f(x)满足下列条件:（1）在闭区间[a,b]上连续;（2）在开区间(a,b)可导.则在开区间（a,b）内至少存在一点c,使 f(c)f(b)f(a).ba分析 观察发现,Lagrange中值定理中的两个条件与Rolle定理中的前两个条件相同,当f(a)f(b)时,Lagrange中值定理就是我们所学过的Rolle定理.也就是说,Rolle定理是Lagrange中值定理的特例,基于这种关系,自然会想到是否能够引用Rolle定理去证明Lagrange中值定理的结论,如何利用Rolle定理,如何构造满足Rolle定理的辅助函数?观察图像

由拉格朗日中值定理结论f(c)斜率,故可设k

f(b)f(a),其右端是一个常数,即点c的baf(b)f(a),则有f(b)f(a)k(ba),即

baf(b)kbf(a)ka,仔细观察上式的特点,不难发现一个能使F(a)F(b)的新函数:F(x)f(x)kx.故,F(x)就是证明中所需要的辅助函数.证明 令F(x)f(x)kx,其中 kf(b)f(a),由题设可知,F(x)在ba

[a,b]上连续,在(a,b)内可导,且F(a)F(b),即F(x)满足罗尔定理的全部条件,故在(a,b)内至少存在一点c,使得F(c)0, 即f(c)f(b)f(a),证毕.ba

（二）高效强化解题

许多关于数学分析的计算、证明题,难以解决的是如何去观察和分析问题的条件与结论,如何寻找条件与结论之间的联系,如何证明才是正确的,而又怎么进行证明过程的论述,更为甚者不知如何才算证明完毕?此时,逆向思维就是解决数学分析问题一种行之有效的方法.234例

一、证明:数列极限limn3nnn4 1n分析 若直接证明此数列极限为4,没有公式可以套用,此时可以考虑判断极限存在性的两个重要准则:两边夹定理和单调有界准则.这样我们把要证明的极限与存在准则有机地联系在一起,设所求数列为xn,目的是证明

xn4(n),那么,根据两边夹定理,需构造两个数列yn和zn,使ynxnzn,且共同极限为4,这样就转化为如何构造这两个数列yn、zn的问题.4444z证明 设 yn,n33nnn1nnnn, 1n显然ynxnzn,且limynlimzn4,有4xn4

234 所以,limn3例

二、计算 ①limnnnn4 1nn(n1)(n2)(nn)

n ②limnn(a1)an分析 两题看似复杂,实则巧妙.①可转化为定积分定义形式,这类题目的特点是:先把极限转化为某一函数在区间0,1上的定积分,再把区间0,1进行等分,从而把求极限问题转化为求一个特定结构的和式极限.②可利用级数

收敛的必要条件(若级数un收敛,则limun0)来解决问题,二者均为逆

n1n向思维实例.解 ①limnn(n1)(n2)(nn)12nlimn(1)(1)(1)nnnnnn1nk lim1

nk1n1kln(1)nk1n limenn

e01ln(1x)dxe2ln21

1nnn11 则级数n是收敛的②由lim(n)nan1aa 根据收敛函数的必要条件, 则limnn0 na例

三、设a1c0,an1anc,证明:liman存在并求其值.[4]

n分析 用数学归纳法容易证明数列an是单调递增的,为找到an的上界,采用逆向推理方法,先设limana,代入递推关系式an1anc,得

na2ac,由于liman非负,因此an114c,从而对任何自然数n, 2必有an114cc1,然后用数学归纳法证明这一等式成立.2证明 用归纳法证明数列an严格增加有上界,显然 当n1时,有a1a2,设nk时,有akak1,则akcak1c, 即akcak1c,有ak1ak2,即数列严格增加.显然,当n1时,有a1cc1,设nk时，akc1，则ak1cakcc1c2c1c1,即数列an有上界(上界是c1),根据公理,数列an收敛.2设limana,已知an1can,有liman1climan,即a2ca.nnn2解得a(114c).由极限保号性，a不能是负数，2(114c)2则数列an的极限是a例

四、设函数f(x)在[0,)内二阶可导,且f(x)0,f(0)0,证 明:x10,x20,有fx1x2f(x1)f(x2).分析 这是一道未知函数表达式,且仅给出函数导数性质的证明题.首先,明确利用函数的单调性来证明函数不等式是一种基本方法,而证明函数的单调性又需要构造辅助函数,求导判断其增减性.其次,如何构造辅助函数？

欲证不等式fx1x2f(x1)f(x2),如题中所给出的两个具有任意性的x1和x2,将其中一个暂时固定,另一个自由变化,如:暂时固定x2,将x1改为x,令F(x)f(xx2)f(x)f(x2)作为辅助函数,求导得

F(x)f(xx2)f(x),由此很难判断该表达式是大于0还是小于0.观察表达式f(xx2)f(x)，表示函数f(x)的导数在x与xx2两点处的函数值之差，联系Lagrange中值定理，有f(b)f(a)f(c)(ba)，其中c(a,b),于是,有f(xx2)f(x)f(c)xx2x.此时,方可判断F(x)的增减性.证明 令F(x)f(xx2)f(x)f(x2),其中x,x20, 求导得F(x)f(xx2)f(x)又函数f(x)在[0,)内二阶可导，导函数 F(x)f(xx2)f(x)在x,xx2上连续,在(x,xx2)内可导,根据Lagrange中值定理,至少存在一点c(x,xx2),使得

F(x)f(xx2)f(x)f(c)xx2xf(c)x20

F(x)在x,xx2上单调递减,从而有F(x)F(0)即,f(xx2)f(x)f(0x2)f(0)f(x2).由x的任意性,可将x换成x1,既得fx1x2f(x1)f(x2),其中

x10,x20.分析 以下两道典型题若应用综合证法直接从已知条件去证明将会很难入手,此时考虑反证法,证明两题将会很显然.例

五、设f(x)在a,b上连续,且f(x)0,证明:若f(x)dx0,则f(x)在aba,b上恒等于零.证明 反证法 假设f(x)在a,b上不恒等于零,则必x0a,b, 使f(x0)0不妨设f(x0)0,又f(x)在x0连续,由连续函数的局部保号性知,0,当xx0,x0a,b时,有f(x)0.设f(x)在x0,x0上的最小值为m,则m0.由定积分的可加性及f(x)0,有f(x)dxabx0af(x)dxx0x0x0f(x)dxbx0f(x)dx

bx0x0f(x)dxx0mdx2m0

这与已知条件f(x)dx0矛盾,所以f(x)在a,b上恒等于零.a例

六、设f(x)在0,上连续,并且f(x)dx0,f(x)cosxdx0,试证明:

00在(0,)内至少存在两个不同的点1,2,使f(1)f(2)0.证明 假设f(x)在(0,)内无零点,则由介值定理知,f(x)在(0,)内不变号,与f(x)dx0矛盾,故至少存在1,使f(1)0;0又若f(x)在(0,)内仅有一个零点1,则由介值定理及f(x)dx0知

0f(x)在区间(0,1)和(1,)内必异号,而cosxcos1在(0,1)和(1,)内也异号,于是f(x)(cosxcos1)不变号,从而f(x)(cosxcos1)dx0，0矛盾.所以,在(0,)内至少存在两个不同的点1,2,使f(1)f(2)0.例

七、计算曲面积分

I[Sxxxzxf()x3]dydz[f()y3]dzdx[f()z3]dxdy yyyyy其中S是球面x2y2z22Rz(方向为内侧),f(u)具有连续导数.分析 本题被积函数复杂,正向计算实属曲面积分难题,但是可考虑尝试增加一面,再减去此面,应用奥—高公式(设V是R3中双侧闭曲面S所围成的xy型(同时既是yz型,又是zx型)有界闭体.若三元函数P(x,y,z), Q(x,y,z),R(x,y,z)及其偏导数在包含V的区域上连续,则

PdydzQdzdxRdxdy(sVPQR)dxdydz,其中曲面S的外侧 xyz为正).看似加减面将问题复杂化,但是会使计算更为简便.解 V为S所围成球体, 设p(x,y,z)xxxzxf()x3,q(x,y,z)f()y3,r(x,y,z)f()z3 yyyyyp1xxxf()2f()3x2 xyyyy则p(x,y,z),q(x,y,z),r(x,y,z)及

r1xqxx2f()3y2,f()3z2,在y0连续，zyyyyy由奥——高公式,I3(x2y2z2)dxdydz,设

Vxrsincos,yrsinsin,zRrcos,(02,0,0rR)则(x,y,z)r2sin, (r,,)I3(x2y2z2)dxdydzV3dd(r22RrcosR2)r2sindr

0002RR5R33223(22R22)R5535

（三）批判性命题验证

心理学家盖耶说过:“谁不考虑尝试错误,不允许学生犯错误,就将错过富有成效的学习时刻.” 持批判性的态度,应用逆向思维真正理解命题的思想,消化命题,克服思维绝对化、表面化,彻底改变不求甚解的习惯.例

八、若数列an、数列bn都是收敛数列,且存在自然数N,当nN时,有anbn,则limanlimbn.nn 若条件anbn改为anbn,其结论仍为limanlimbn

nn而不能断言limanlimbn[5] nn分析 若正向分析,则会无从下手,而举一反例来说明该命题不成立将轻而1111易举.如:,但是limlim0.nnnnnn 数学分析中,继了解极限后,应用极限方法研究,无论在理论上或是在应用中都常见的连续函数,进而研究一致连续,区分一致连续与连续的区别,真正地领会一致连续的本质及其与连续的关系,对后面的学习中遇到一致收敛、一致有界等概念也有重要作用.一致连续是函数的整体性质,它反映了函数在区间上的更强的连续性,而连续是函数的局部性质,函数f(x)在区间I上一致连续则一定连续,反之不一定.定理 f(x)在a,b内或a,b上一致连续f(x)在a,b内或a,b上连续.这个定理的逆命题是不成立的.分析 通过举一反例f(x)x2在0,上连续,但非一致连续.取xnn1,xnn,n1,2,,当n时, xnxnn1n0 但是f(xn)f(xn)1

于是,取定差01,则无论取得多么小,当n足够大时, 那些xn与xn的差小于,但是函数数值之差不会小于0, 因此得出f(x)x2在0,上连续,但非一致连续.拓展:[6]

定理1 设f(x)在有限开区间a,b上连续,则f(x)在a,b上一致连续的充要条件是limf(x)与limf(x)存在并有限.xaxb注:①若f(x)在有限开区间a,b上有连续的导函数,且limf(x)与xaxblimf(x)均存在且有限,可以推出limf(x)与limf(x)都存在并有限,因此xaxbf(x)在a,b上一致连续.②当函数f(x)在区间(,)上连续,定理的必要性不再成立,如

f(x)x在(,)上一致连续,但在端点无极限,对于无穷区间充分

性仍然是对的.定理2 设f(x)在区间[a,)上连续,则下列条件之一满足时f(x)在[a,)上一致连续.(I)limf(x)A(有限)x(II)若存在[a,)上一致连续函数(x),使得limf(x)(x)0

x(III)f(x)在区间[a,)上可导，并且导函数有界(IV)f(x)在区间[a,)上满足Lipschitz条件(V)f(x)在区间[a,)上单调有界.定理3 若f(x)是区间(,)上的连续函数,若也是周期函数,则必一致连续.2例

九、证明:若an收敛,则an也收敛,反之是否成立? n1n12分析 欲证an收敛,则an也收敛,这只需要用到比较判别法即可证得而欲证逆命题是否成立,则应从两方面考虑:一是证逆命题成立,一是证逆命题不成立,无论证哪方面,直接法都很难.于是,我们可以举反例去否定,这样会收到事半功倍之效.证明 已知an收敛,则liman0,即01,NN,nN,有

n1n1n1n

an1,从而有anan,不妨设nN,有anan.22设级数an与an的部分和分别是An和Bn.已知nN,有 2n1n1nnAnakakBn.2k1k1已知级数an收敛,则limBnB(常数).显然数列An是单调增加有

n1n2上界(B就是它的一个上界).于是,数列An收敛,即an收敛.n1112反之不成立,例如:级数()收敛,而级数却发散.n1nn1n例

十、判断: ①若f(x)在点x0连续,则f(x)在x0连续;②若f(x)在点x0连续,则f(x)在x0可导;③若f(x)在点x0可积,则f(x)在x0可积;④若多元函数在某点连续且偏导数存在,则函数在该点可微.1,x0解 ①可以举出反例:设f(x),则f(x)在x00处连续,而

1,x0 f(x)在x00处不连续,所以错.②可以举出反例:函数f(x)x在x0处连续,但是它在x0不可导，1xsin,x0 同样,函数f(x),在x0连续,但是 x0,x0 不可导,所以错.③可以举出反例:Dirichlet函数

1,当x为有理数 D(x),此函数的绝对值是可积的

0,当x为无理数

但是其本身并不可积,所以错.0,(x,y)0 ④可以举出反例:f(x,y)x2y,在(0,0)点连续且偏导数

x2y2,(x,y)0 存在,但是,在(0,0)点不可微,所以错.2z2z 定理 如果函数zf(x,y)的两个二阶混合偏导数及在区

yxxy域D内连续,那么在该区域内这两个二阶混合偏导数必相等.[7]

该定理是说,在连续的条件下二阶混合偏导数与求导的次序无关.更一般 地,在连续的条件下,多元函数的高阶混合偏导数与求导的次序无关.而如果一元函数在某点具有导数,则它在该点必定连续,但对于多元函数,即使各偏导数在某点都存在,也不能保证函数在该点是连续.这时,自然会想到一个问题:这个定理的逆命题是否成立?即是否有如下命题:

2z2z命题 如果函数zf(x,y)的两个二阶混合偏导数及在区域D内

yxxy存在且相等,那么在该区域内这两个二阶混合偏导数连续.分析 虽然易得一函数,使其两个二阶混合偏导数存在相等,并且连续(如

zexy),但是难得函数zf(x,y),使其两个二阶混合偏导数存在相等,却不连续.此时,可利用逆向思维的方式,先找到一个不连续的二元函数，如：xy22x2y2,xy0g(x,y), 0,x2y20这个分段函数在(0,0)点不连续.可以把g(x,y)作为zf(x,y)的二阶混合偏导数，在通过微分的逆运算积分计算出zf(x,y).再求zf(x,y)的偏导数时,是将一个变量看成常量,对另一个变量求导数,故我们可以通过先对x积分得 u(x,y)g(x,y)dxyln(x2y2)C1 2

再将x看成常量对y积分得

x2y2(x2y2)22 v(x,y)u(x,y)dyln(xy)C1yC2

44其中C1,C2为任意常数.当任意常数C1,C2取不同的值时,就会得到不同的函数,这样的函数会有无穷多个.考虑到求二阶混合偏导时,函数v(x,y)的后三项最终为0,所以不妨只取第一项,并补充定义其在(0,0)点的值为0,即有

(x2y2)ln(x2y2),x2y20, f(x,y) 40,x2y20.可以验证分段函数zf(x,y)在(0,0)点不连续,即命题不成立.所以,该定理为充分条件,而不是必要条件.（四）创新性数学品质

19世纪中叶,数学界长期认为对于一个区间上的任意连续函数,总认为存在可微点的直觉想象,但是1860年数学家魏尔斯特拉斯却极为精巧地构造了一可以被称为“数学中的艺术品”的反例: f(x)ancos(bnx),其中0a1,ab1,b为奇数.2n0这是一个在实数轴上点点连续点点不可微的函数,从而严格弄清楚了函数的连续性与可微性之间的关系,推翻了流行很长时间的谬误,可见反例在数学发展史中的重要地位.[8]反例就是逆向思维的一种表现形式,也就是说,逆向思维在数学发展史的崇高地位,这种发散性思维是创造性人才必备的一种思维品质.五、结束语

从以上的例子我们看到,在数学分析学习中,将逆向思维解题方法进行适当的归类和分类.如考虑间接方法,考虑递推,考虑研究逆否命题,逆向应用公式,考虑问题的不可能性,反证法,分析法,复杂化等,可以开辟新的解题途径,避开繁杂的计算,使问题简化而得以顺利解决.这对优化学生的思

维结构,培养他们的创新能力大有裨益.本文作者通过阅读大量有关逆向思维在数学分析中的作用文献,根据自己的学习、研究、理解、体会、分析,深刻体会到逆向思维是21世纪数学教学所提倡的思维模式.数学问题千变万化,解题方法灵活多样,虽然我们不可能归纳出题目的一切类型,更不可能找到解题的神方妙法,但是,人们在长期的解题实践中,总结了丰富的经验,寻找了一些更为科学、更为严谨的解题方法与技巧.逆向思维作为发散思维的一种,必将起到重要作用.我们应当自觉地运用逆向思维方法,创造更多的奇迹.本文简要的叙述,望为读者研究和学习数学分析中有关逆向思维问题提供一定的帮助.六、参考文献

1逆向思维（反向思维）【J】，华东科技 2008，（10）

2刘玉琏 傅沛仁 林玎 范德馨 刘宁 数学分析讲义.（第五版）高等教育出

版社

3朱红英 王金华 湘南学院学报.2012:第二期

4梁经珑 娄底师专学报.2003:第二期 5马建珍 宜宾学院学报.2006:第十二期

数学逆向思维的题目及答案分析 第8篇

逆向思维作为一种具有创造性的思维, 是发散性思维的一种。在遇到问题的时候, 人们往往喜欢顺着事物发展的角度对问题进行分析并探索解决问题的方法。而逆向思维恰恰相反, 但是利用逆向思维思考问题有时可以使得问题大大简化, 从而降低解决问题的难度, 达到正向思维所达不到的效果。因此, 在当前初中数学教学过程中, 注重学生逆向思维能力的培养对于提高学生分析问题和解决问题的能力, 以及提高整个初中数学教学工作的质量和水平都具有十分重要的意义。

一、培养逆向思维的重要性

作为发散性思维的一种重要形式, 逆向思维最突出的特点就是从解决问题的常规思路的对立面对问题进行思考和分析, 对于一些定义、定理、公式等进行反向运用, 从而摆脱思维定势的束缚, 找到解决问题的新思路和新方法。逆向思维的重要性主要表现在以下方面。

(一) 逆向思维可以进一步拓展学生的想象空间。

在初中数学教学过程中, 一些运算与逆运算、定理与逆定理等蕴含着双向思维的知识是非常多的, 而在平时对于公式或者定理运用的过程中, 学生习惯从左向右利用公式, 而教师也不大注重对学生逆向运用的引导, 这就导致学生在利用公式或者是定理的时候形成固有的思维定势, 限制思维的发展。如果教师在教学过程中有针对性地进行适当引导, 往往就会给学生带来对于公式或者定理的新的理解和思考, 从而在解决问题的过程中能够多一种思考问题的角度。

(二) 逆向思维可以进一步加深学生对于课本上的基础知识的理解。

比如正比例函数与反比例函数两个概念, 在教学过程中就可以利用逆向思维的方式, 将反比例函数当做是正比例函数的一个逆向的运算来理解, 同时要注重函数中自变量及常数值K的要求, 这样进一步加深学生对于两个函数概念的理解。

(三) 逆向思维可 以 进 一 步 拓 展 学生的 解 题 思 路 , 克服 思维的迟滞性。

当学生在解决问题过程中利用正向思维没有办法找到解决问题的方法时, 逆向思维的运用可能会使整个问题大大简化, 从而使得问题解决的难度大大降低, 因此在教学过程中培养学生“从右到左”的逆向思维能力有助于克服学生的思维定势, 提高学生的思维能力, 使学生分析问题和解决问题的能力进一步提高。

二、初中数学教学过程中逆向思维的培养策略

逆向思维有助于学生在分析问题和解决问题的过程中打破思维定势, 形成对问题的简化, 降低解决问题的难度, 进一步完善学生解决问题的方法和手段。在初中数学教学过程中, 培养学生的逆向思维能力可以从以下方面入手。

(一) 在备课过程中注重对于学生逆向性思维的培养。

教师是数学课堂教学的实施者和引导者, 在课堂教学的设计过程中, 要有意识地将一些蕴含着逆向思维的问题和知识引入课堂教学之中, 引导学生从正反两个方面对问题进行相关的探讨和分析, 从而进一步提高学生对问题的思考能力。比如在进行因式分解的教学时, 教师可以将因式分解与整式乘法二者结合起来, 在课堂上进行对比, 让学生能在对其解决问题的过程进行充分的比较之后得出两者之间的关系是一种互逆的关系这一结论, 从而进一步加深学生对于因式分解的理解。学生在解决因式分解问题的过程中可以在其对立面也就是整式乘法的角度思考问题, 从而进一步拓展解题思路。

(二) 利用多种形式对学生的逆向思维进行锻炼。

学生对于逆向思维的学习不能仅仅停留在理解的层次, 更重要的是能够在实际解决问题的过程中对逆向思维加以利用, 从而进一步体会到利用逆向思维解决问题的优点。因此, 教师可以通过一些课下的作业或者是课堂的练习为学生设置一些蕴含着逆向思维的题目, 让学生在解决实际数学问题的过程中对于逆向思维加以利用, 让其体会到利用逆向思维解决问题的优越性, 从而进一步提高学生对于数学学习的兴趣。

(三) 在教学环节中注重逆向思维的运用。

教师在授课过程中, 要充分利用讲授的新知识与原有的知识之间的互逆关系进行教学组织和课堂设计, 在教学过程中注重逆向思维的渗透, 将反面思考法、转换法、倒序思考法等一些渗透着逆向思维的教学方法和解题方法在课堂中进行综合运用, 在教师进行各种方法展示的过程中让学生体会到逆向思维在解决问题过程中发挥的重要作用。同时要注重在问题解体的具体过程中进行逆向思维的应用, 比如在教学一些几何证明题时, 可以引导学生由所需要证明的结论出发, 要得出这个结论需要具备哪个条件, 要具备这个条件需要各个线、角之前满足怎样的几何关系, 从而帮助学生找到解决问题的症结, 进而利用逆向思维的方式找到解决问题的办法。

结语

逆向思维有助于打破学生的思维定势, 让学生从反向的角度思考问题, 进一步完善学生解决问题的方法和手段。在初中数学教学过程中, 教师要注重对于学生逆向思维的培养, 提高学生利用逆向思维解决实际问题的能力, 从而进一步提高初中数学教学的水平和质量。

参考文献

[1]崔海超.初中数学教学逆向思维方法邹议[J].科学大众 (科学教育) , 2010, 01:34.

[2]刘功林.在数学教学中如何培养初中生的逆向思维能力[J].当代教育论坛 (教学研究) , 2011, 06:80-81.

数学逆向思维的题目及答案分析 第9篇

【关键词】逆向思维；重要性；培养；策略

初中数学教学活动的开展，对于初中学生数学思维能力的提高有较大意义。逆向思维是思维的重要组成部分，在初中数学学习活动中，学生逆向思维的形成会使学生数学学习方法更加丰富，促进学生数学学习能力的立体化。要让学生发现更多的数学解题技巧，则需要对学生的逆向思维加以培养。本文从初中数学教学内容出发，对逆向思维的重要性与培养对策加以分析。

一、初中数学逆向思维的重要性分析

逆向思维的形成，有利于学生学习能力的提高与个人品德的完善。下面，我们来对初中数学教学中学生逆向思维培养的重要性进行分析：

1.有利于学生想象空间的扩展

在初中数学学习过程中，逆向思维的应用频率是很高的。许多数学题目需要学生双向思维共同努力来完成。在初中数学学习内容中，存在运算知识与逆运算知识，还存在定理和逆定理这样的双向知识。教学过程中，教师引导学生掌握一些数学公式与数学法则，都会从源头开始进行理论的推导，这很容易让学生形成定向思维，避免学生的思维过于死板。当学生具有逆向思维，可以从相反的角度对数学概念与定理进行分析后，学生的数学想象能力会大大提高，其提高的空间也会得以扩展。

2.有利于学生基础能力的提高

数学基础能力的提高，对于学生数学学习整体水平的提高有着重要的影响。对于初中学生的数学学习来讲，概念的学习是极其重要的。概念教学是初中数学教学不可缺少的一部分，也是基础部分。学生对数学概念的理解能力，直接决定着其对于数学知识的应用能力。在这一学习过程中，学生仅具有定向思维是不够的，只有逆向思维可以方便学生对数学概念加以了解，明确数学概念的应用之处。因此，加强逆向思维的培养，有利于学生数学基础能力的提高。

3.有利于学生创新能力的提高

逆向思维与传统的定向思维相对，大多数学生在初中数学学习过程中，都会利用定向思维理解问题、思考问题。但是，数学学习内容中的许多定理与法则都具有互逆性，难度较大的问题，只要换一个角度，就会变得更加简单。数学问题的解决方法多种多样，学生具有逆向思维，可以发现更多的数学题目解答技巧，发现更多数学学习的规律。

二、初中数学逆向思维培养方法分析

逆向思维的形成与发展是学生数学学习能力提高的重要一环，下面，我们就来对初中数学逆向思维的培养方法加以总结：

1.于数学思考教学中，培养学生逆向思维

要对学生的逆向思维进行培养，教师需要引导学生建立起逆向思考的习惯。在初中数学教学中，教师要多多引导学生逆向思考，学会利用逆向思维解决问题。许多初中学生并不能很好地利用逆向思维，教师需要利用逐步启发与引导，对学生的逆向思维加以训练。让学生认识到逆向思维的存在，学会利用双向思维对一个数学问题进行思考。

比如在讲解有关于角平分线的相关知识时，教师就可以让学生从相反的角度对角平分线的性质进行思考。在定向思维中，角平分线上的任何一点到达角两边的距离是完全相等的，那么到达角两边距离相等的点的集合是不是角平分线呢？教师利用适当辅导让学生学会逆向思考，有利于学生深入理解数学知识，也有利于学生逆向思考习惯的形成。

2.于数学基础教学中，培养学生逆向思维

数学基础知识教学，是初中数学教学的重中之重。数学概念是数学知识的基础，一般来讲，数学概念都具有双向性。在讲解数学概念时，教师不仅要让学生知道这些概念是如何来的，更要让学生知道这些概念可以怎样利用。不仅要让学生掌握常见的应用方法，还要让学生见识一些具有创新意义的应用方法。比如在讲解有关于全等图形的相关知识的时候，教师就可以将全等概念进行逆向陈述，让学生对其进行思考。这样的教学活动会使学生的思维在数学课堂上保持活跃，实现从左到右与从右到左的双向运动，培养其逆向思维能力。

3.于数学习题教学中，培养学生逆向思维

数学习题的解决是初中数学教学的难点，这时，教师需要引导学生进行变式练习，让学生认识到数学知识之间的互逆性，促进学生逆向思维的形成。比如在讲解有关于整式去除的相关知识时，教师可以引导学生对同底数幂的乘法法则进行正向与逆向应用，促进数学问题的简化。一些利用定向思维无法解决的问题也可以在逆向思维的配合下轻松完成。另外，教师可以利用一题多变的方法，让学生的思维得到活跃。一个固定的题目，只要改变其中的一个条件，就会使题目发生变化，改变题目整体的解决思路。像初中数学中的一些几何求证类题目都是一题多变练习的良好选择，教师可以科学对题目进行改编。在不断变化的题目引导下，学生的思维不断运动，思维运动的角度也多有变化，这对于初中学生逆向思维的形成是非常有利的。

三、结语

综上所述，初中数学教学的重要目标就是让学生的思维得到发展，促进学生思维能力的提高。逆向思维是思维的一种重要形式，学生的逆向思维得以形成，会使学生具有更加丰富的解题思路，促进学生数学题目理解速率的提高。加强学生逆向思维培养，更可以促进学生完善人格的形成。笔者在日后的初中数学教学中，也从数学教学内容出发，对学生的逆向思维加以培养，促进学生全面发展。