数学思想及方法（精选12篇）

数学思想及方法 第1篇

1. 分类的思想方法

分类是对数学对象本质属性的异同处进行比较，再由某一属性将它们分为不同种类的思想方法.分类讨论既是一种重要的数学思想，又是一种重要的数学方法，可以克服思维的片面性、防止遗漏，可以化整为零、变一般为特殊、变模糊为清晰、变抽象为具体，使思维过程条理清楚、目的明确.

例：一个等腰三角形中，一角为80°，另外两个角是多少度?

分析因80°的角不知是顶角或底角，故分为顶角和底角两种情况讨论.

解(1)在该等腰三角形中，如顶角为80°，由性质：两个底角相等，得：

(2)如底角为80°，则顶角为180°-80°2=20°.

2. 类比的思想方法

类比是由两类对象间部分相同的属性，从一个对象推出另一个对象的学习方法.

例：由长方形与平行四边形对边平行且相等的相同属性进行类比，推出它们的面积计算公式S=ah相同的方法;由小数与整数都是由数位组成的相同属性，推出它们的计算方法相同：数位对齐.

3. 集合的思想方法

集合就是把某些指定的对象合在一起成为一个集合体例：x-5>1的解是比6大的所有数，用解的形式无法表示完，故只能用集合x>6表示，显得更直观、深刻、简捷.

4. 对应的思想方法

对应，就是“一对一”的意思.对应的思想方法在初中数学的应用中相当广泛.

例：点与点间的对应、点与数间的对应、点与有序数对间的对应、量与量间的对应等.

5. 数形结合的思想方法

数形结合的思想方法是指将数量与图形结合起来进行分析、研究、解决问题的一种思维策略.

例：讲“路程”问题时常与“线段”图结合，讲“百分数”问题时常与“扇形”图结合，讲“分数乘分数”问题时常与“方格”图结合.

6. 化归的思想方法

化归就是将要解决的问题转化归结为另一个较易的问题或已经解决过的问题.正确应用这种方法的关键在于寻找待求问题与已知知识结构的逻辑关系.

例：已知x2-4x+1=0，求

分析虽然从待求的代数式与已知x2-4x+1一下子看不出直接的逻辑关系，但是经过仔细观察，就可以发现它们都与有直接逻辑关系.

7. 方程的思想方法

方程的思想方法就是根据问题中已知量与未知量间的数量关系，运用数学的符号语言使问题转化成解方程(组)问题.

例：甲、乙两队合修一条公路，甲单独完成需要45天，甲、乙合作需30天.问：乙单独完成需多少天?

分析在工程问题中，“工作效率工作时间=工作总量”，已知：甲的工作效率、甲与乙合作的工作效率;未知：乙的工作效率.

解设乙单独完成需要x天.

8. 函数的思想方法

函数的思想方法是用运动变化的观点分析研究具体问题中的数量关系，通过函数形式把这种数量关系进行刻画并加以研究，从而使问题得到解决的思想方法.

例：以平面成30°的角、每秒20米的初速度做抛物线运动，那么物体上升的最大高度是多少米?

分析做抛物线运动上升的最大高度的函数关系h=

解由抛物线运动的正交分解法则，可知垂直向上的初速度

9. 统计的思想方法

统计就是与数据打交道研究如何收集、整理、计算、分析数据，再从中找出一些规律并加以利用.

例：为了解库中鱼的数量，从中捞取500条做好记号后放入库中，过一段时间后，再捞出4000条鱼，发现5条鱼有记号.问：库中大约有多少条鱼?

分析捞取的几率相等，故是个比例问题.

解4000500÷5=400000(条).

摘要：数学思想方法是人们在长期学习数学的活动中, 对数学知识所形成的一种观点, 它是数学的灵魂和精髓, 在教学中向学生渗透数学思想方法, 学生方能自主探索问题, 并自觉应用数学思想方法分析问题、解决问题.

高中数学思想和数学方法 第2篇

因此，培养学生数学思想方法对学生数学学习具有非常重要的意义，但是将数学思想方法融入到整个高中阶段的教学中是非常不容易的，不同的数学概念不一定会蕴含着一样的数学思想方法，举例来说，牛顿从物理角度对微积分定义进行了解释，而莱布尼茨从几何角度对微积分的定义进行了另一种解释，所以为了更好的掌握微积分的内容，就一定要明确它的定义极限，而这里所蕴含的数学思想就是对数学对象进行分割定义等一系列处理。只有具备数学思想，并以此为基础，才能通过这种数学学习方法高效的解决各种类型的数学难题和数学概念和理论，进而更好的完成数学教学任务，帮助高中生尽快的提高数学成绩。

高中数学教学中强化数学思想方法渗透的实践途径

虽然数学思想方法在高中数学教学中会起到很重要的作用，但假如我们将这种思想直接的灌输和传授高中生，他们可能并不能很好的接受这种思想，脱离了实际的数学活动，数学思想方法的适用性就会大打折扣，在授课时刻意的对学生强制性的进行数学思想方法渗透，就会让学生逐渐沉溺在形式主义的环境里

所以数学思想方法的渗透一定要与具体的教学活动相结合，并通过学习和反思不断加强数学思想方法的掌握程度，进而习惯用数学思想方法解题。

数学思想方法的渗透应当与具体的数学知识和数学活动结合在一起。

高中数学教师要首先学习和掌握数学思想方法，在实践教学过程中要率先对数学思想方法进行实际应用，这也会帮助学生认识到数学思想的重要性;

数学思想方法的运用及应对策略 第3篇

随着《新课程标准》的颁布与实施，对学生思考问题和解决问题的能力培养，更侧重培养学生“学数学、用数学”的思想理念。而数学思想方法是数学的灵魂，数学思想指导着数学问题的解决，并具体地体现在解决问题的不同方法中。

近几年来高考试题一直重视对数学思想方法的考查，特别是突出考查能力的试题，其解答过程都蕴涵着重要的数学思想，主要有：转化（化归）的思想、分类讨论的思想、数形结合的思想、函数与方程的思想。

一、转化（化归）思想的运用

所谓化归思想方法，就是在研究和解决有关数学问题时采用某种手段将问题通过变换使之转化，进而达到解决的一种方法，一般总是将复杂的问题通过变换转化为简单的问题，将难解的问题通过变换转化为容易求解的问题，将未解决的问题变换转化为已解决的问题。

【应对策略】数学问题可看作是一系列的关系形成的一个“关系链”。处理数学问题的实质，就是实现新问题向旧问题的转化、复杂问题向简单问题的转化，实现未知向已知的转化。通过一次又一次的转化，直至归结为一类已解决或很容易解决的问题，从而获得原问题的解答，这种解决问题的模式可图示如下：

典例：数列 满足 ，求

分析：从给出等式的结构来看左边是一个和式的形式，并且可以看成是数列 的前n项和，故 ，這样本题就可以转化为我们熟悉的公式法确定数列 的通项公式，从而 的通项公式也可间接求出，这是一道典型的未知向已知的转化题目。

解：由已知得当 时有 ，

两式相减得：

，又当 时 即 ，

故

二、分类讨论思想的运用

分类讨论思想是一种“化繁为简，化整为零，分别对待，各个击破，再积零为整”的思维策略。由于需要分类讨论的问题存在着诸多不确定性，学生很难从整体上把握，往往使的解答半途而废，即使解答了也是漏洞百出，如：（1）思维过于简单，只是按一种形式解答；（2）分类标准不明确，有重复；（3）分类对象模糊不清；（4）讨论不全面，出现遗漏。

【应对策略】运用分类讨论思想，应把握分类原则，分类方法和注重分类原因的讨论。其关键是明确“为什么分类，怎样分类”。（1）分类讨论必须遵循的原则。施行分类的集合的全集必须是确定的；每一次分类的标准必须是同一的；分类是完备的“彼此的交集为空集，全体的并集为全集”；若多次分类，必须逐级进行，不能越级。（2）分类讨论的方法。明确分类的对象，确定对象的全体；确定分类的标准，正确分类；逐类进行讨论，获得阶段性的结果；归纳小结，综合结论。（3）简化或避免分类讨论的策略。化参数为主元，函数思想应用；正难则反，补集思想的应用；换元法；数形结合法。

典例：已知函数 在区间[0，2]上的最大值为2，求实数a的值.

解：令 .

（1）当 ，即a≤0时， ，得 .

（2）当0< <2，即0

（3）当 ，即a≥4时， ，

解得 ，舍去

综上所述，实数a=-6或3.

三、数形结合思想的运用

所谓数形结合，就是根据数与形之间的对应关系，通过数与形的相互转化来解决数学问题的一种重要思想方法。数形结合思想通过“以形助数，以数解形”，使复杂问题简单化，抽象问题具体化，能够变抽象思维为形象思维，有助于把握数学问题的本质，它是数学的规律性与灵活性的有机结合。

【应对策略】在日常学习过程中，要注意培养运用数形结合思想解题的意识，要做到胸中有图，见数想图，常见的数与形转换有三种途径，分别是：（1）通过坐标系的建立，引入数量化静为动，以动求解。（2）转化，通过分析数与式的结构特点，把问题转化到另一个角度来考虑，如将两个量的平方和转化为勾股定理或平面上两点间的距离等。（3）构造，比如构造一个几何图形，构造一个函数，构造一个图表等。

运用数形结合思想解题的三种类型及思维方法：（1）由形化数-----就是借助所给的图形，仔细观察研究，提示出图形中蕴涵的数量关系，反映几何图形内在的属性。（2）由数化形------就是根据题设条件正确绘制相应的图形，使图形能充分反映出它们相应的数量关系，提示出数与式的本质特征。（3）数形转换------就是根据“数”与“形”既对立又统一的特征，观察图形的形状，分析数与式的结构，引起联想，适时将它们相互转换，化抽象为直观并提示隐含的数量关系。

典例：方程 的解的个数为 个

分析：此题主要考察数形结合解题能力，分别在同一坐标系内作出两函数图象，观察图象易得两函数图象只有两个交点

四、函数与方程思想的运用

函数的思想，是用运动和变化的观点，分析和研究数学中的数量关系，建立函数关系或构造函数，运用函数的图象和性质去分析问题、转化问题，从而使问题获得解决。方程的思想，就是分析数学问题中变量间的等量关系，建立方程或方程组，或者构造方程，通过解方程或方程组，或者运用方程的性质去分析、转化问题，使问题获得解决。

【应对策略】方程（或不等式）与函数是相互联系的，在一定条件下，它们可以互相转化，例如，解方程 就是求函数 的零点，解不等式 就是当两个函数的函数值大小关系确定后，求自变量的取值范围。函数思想用于指导解题就是善于利用函数知识或函数观点观察、分析和解决问题。方程思想用于指导解题就是善于利用方程或方程组的观点观察处理问题，方程思想是动中求静，研究运动中的等量关系。

数学思想及方法 第4篇

著名数学家华罗庚教授说过:数与形, 本是相倚依, 焉能分作两边飞;

数无形时少直觉, 形少数时难入微;

数形结合百般好, 隔家分离万事休;

切莫忘, 几何代数统一体, 永远联系莫分离。

由此可见, “数”与“形”本是数学中最本质、最古老的元素, 它们分别发展着, 又相互渗透, 共同推动着数学学科向前发展。

举一例子:

已知正数x, y, z满足方程组,

分析:对后两个式子的结构作分析, 可化为余弦定理

因此, 我们可以构造几何图形来求解。

解:作RtΔABC, 使AB=13, BC=12,

在AB上取D使∠ADC=60°,

则BD=x, AD=y, CD=z, 如图a,

则:ΔABC的面积为ΔACD与ΔBCD的面积之和。

从而有

本题在求解时, 由于观察到后两个式子具有a2+b2-2abcosθ的特征, 因而联想到余弦定理, 而由数思形, 使问题得到解决。

延伸:在解决数学问题时, 通过观察数式的结构特点, 可将a>0与距离互化, 将a2或ab与面积互化, 将a3或abc与体积互化, 将与勾股定理沟通, 将a2+b2±ab与余弦定理沟通, 将|a-b|

“数”和“形”是数学研究的两类不同的对象, 它们既对立又统一, 每个几何图形都蕴涵着代数性质;反之, 代数性质又常常可以通过几何图行的几何性质反映出来, 在研究具体数学问题时, 可以将“数”与“形”有机地结合起来, 从而获得理想的解题方法, 进而实现这种极富数学特点的用数的抽象性与图形的形象性之间的信息转换。

以下就数形结合数学思想的两个方面及实现数形转换的常用方法作一番探讨。

1 由“形”到“数”, 实现形数沟通, 揭示形中数的本质

由“形”到“数”, 顾明思义是将形的问题经过数量化处理, 并进行计算。而解析几何的方法是实现这种转换的重要方法, 通常利用坐标系实现数形变换。而解析几何正是数学发展史上数形结合的伟大产物, 它使几何图形的研究实现了代数化。

下面从几个典型的例子分析由形到数思想的具体转化方法。

例1:两个单位圆的圆心距为1, 在第一个圆上取点A。在第二个圆上取关于连心线对称的两点B1, B2, 求AB12+AB22的最小值。

分析:在此题中, 我们可以考虑以定点Q2或 (Q1) 为原点, 建立坐标系, 从而由形到数。

解:以Q2为原点, 建立平面直角坐标系, 如图1, 则

则

2 由“数”到“形”, 实现形数结合

由“数”到“形”, 就是将“数”的问题借助于几何图形的性质, 使之直观、形象。实现由“数”到“形”的常用方法有数轴法, 文氏图法, 单位圆法, 图象法等。

2.1 数轴法。

实数可以用数轴上的点来表示, 实数与数轴上的点可以建立一一对应的关系, 所以正确理解, 运用数轴的有关概念, 可以解决与绝对值有关的问题, 解决数集的交, 并, 补运算等问题。

2.2 文氏图法。

我们在高中学习过文氏图, 利用文氏图可以对实数的交、并、补运算进行观察和研究。

2.3 单位圆法。

三角函数可以用单位圆中的有向线段表示, 借助于三角函数线可以直观地看到三角函数的变化及各种内在联系。

2.4 图象法。

函数图象可以直观地描述函数的变化状况及各种性质, 借助函数图象分析问题和解决问题是数形结合的范例。

解:如图3, 在同一坐标系中作出与y=|x-2|的图像, 由图像可以看出:

(1) x叟2时, 两直线交点为B (3, 1) ;

(2) x<2时, 两直线交点为A (-2, 4) 。

如果, 则它的解集为{x|-2

数学的学习, 不单纯是数的计算与形的研究, 其中贯穿始终的是数学思想与方法.通过上述对数形结合思想方法的一番归纳, 我们又可将中学数学基本知识分为三大类:

第一类是关于纯粹数的知识, 如代数式, 方程, 不等式等;

第二类是关于纯粹的图形的知识, 如立体几何, 平面几何等;

第三类是关于数形结合的知识, 即数与形之间的一一对应关系, 例如数轴实现实数与直线上点的一一对应关系;复平面表示复数与平面上点的一一对应关系。这样, 我们从另一层次加深了对中学数学基本知识的理解, 有利于提高我们的思维水平, 建立科学的数学观。

摘要：论述了数形结合这一重要的数学思想方法, 并通过举例的方式就数形结合思想的两个方面及实现数形转换的常用方法作了一番探讨。

关键词：数形结合,有数到形,有形到数

参考文献

[1]乔家瑞, 等.高中数学解题方法与技巧[M].第1版.北京:首都师范大学出版社, 1994.

[2]吕风祥, 等.中学数学解题方法[M].第1版.哈尔滨:哈尔滨工业大学出版社, 2003.

数学思想方法缩印 第5篇

数学方法：是从数学的角度提出问题，解决问题的过程中所采用的方式，手段，途径等。

中学数学涉及的思想方法有：1用字母代替的数的思想方法2集合的思想方法3函数、映射、对应的思想方法4统计思想和数据处理方法5算法思想6数形结合的思想方法7最优化的思想方法8极限思想和逼近方法9分类的思想方法10参数的思想方法 数学思想方法教学的特点：1隐喻性2活动性3主观性4差异性

从学生的认知角度看，数学思想方法的构建有三个阶段：潜意识阶段，明朗和形成阶段，深化阶段 在数学教学的不同阶段，如何进行数学思想方法教学；1在知识形成阶段，可有计划有步骤地选用观察、实验、比较、分析、抽象、概括等抽象化、模型化的思想方法。字母代替数的思想方法、函数的思想方法、方程的思想方法、极限的思想方法、统计的思想方法等2在知识结论推导阶段和解题教学中，可选用分类讨论、化归、等价转换、特殊化与一般化、归纳、类比等思想方法3在知识的总结性阶段，可采用结构化、公理化等思想方法 化归方法的基本思想是什么“化归”是转化和归结的简称。其基本思想是：人们在解决数学问题时，常常是将待解决的问题A，通过某种转化手段，归结为另一个问题B，而问题B是相对交易解决或已有固定解决程式的问题，且通过对问题B的解决可得到原问题A的解答 化归方法的基本原则：1化归目标简单化原则2具体化原则3和谐统一性4形式标准化原则5低层次化原则 RMI原理：通过建立欧式平面到有序实数对集合的映射，将平面几何问题转化为简析几何问题的过程，以及通过建立平面直角坐标系到复数集的映射，将几何问题化归为复数问题的过程。它们有着共同的形式，即通过寻找适当映射实现化归的策略进一步形式化地抽象为关系映射反演原理简称RMI原理

数学抽象的基本原则是逻辑建构形式化原则

数学抽象的主要方法：性质抽象，关系抽象，等置抽象，无限抽象，弱抽象和强抽象

数学模型方法是借用数学模型来研究原型的功能特征及其内在规律，并应用于实际的一种方法

数学建模的一般原则：1简化原则 2可推演，3反映性 必真推理方法包括演绎法和完全归纳法。完全归纳法常会用到穷举和类分的方法

类比法：类比法是根据两个或两类事物在某些属性上都相同或相似，而推出它们在其他属性上也相同或相似的推理方法

人们经常在数与式之间、平面与立体之间、一维与多维之间进行种种类比

类比的一般模式A类事物具有性质a1,a2,a3,a4，B类事物具有性质a1,a2,a3,所以B类事物可能具有性质a4 类比的三个环节：1依据某种相似性寻找适合的类比物2将两个对象的相似性进一步明确化3依据1、2步中明确化的相似性推测相似结论，得到命题或证明方法的猜想 反证法：当证明论题p→q时，不去直接证明它，而是把﹁q作为前提，加进原论题的前提，并根据已知真命题和推理规则推出与另一已知真命题或原论题的前提相矛盾的结论，或者导出自相矛盾的结论，从而确立论题的正确性

计算机技术和数学科学的迅速发展推动了几何定理证明机械化的进程，吴文俊先生研究几何证明的机械化方法 算法是指可以用计算机来解决的某一类问题的程序或步骤，它的主要特征是程序性、明确性和有限性

在向量运算的教学中，特别要重视向量的数乘运算和数量积运算

公理化方法：从尽可能少的一组原始概念和公设和公理出发，运用逻辑推理原则，建立科学体系的方法。具体形态：1实体性公理化方法，形态公理化方法和纯形式公理化方法

公理化方法的逻辑特征：1无矛盾性2独立性3完备性 公理化方法对教学的启示：1启发学生自己去寻找依据2使学生在寻找体验依据的过程中，培养起”说理有据“的习惯和能力3在运用公理化方法解决问题时，要帮助学生将命题的条件和结论联系起来4应让学生在公理化方法中学到从一般到特殊逻辑和直观的教学的基本要素5要帮助学生认识运算是从一个或几个已知判断得到一个新判断思维过程

在数学和数学学习中，分析和综合的二种意义：1分析与综合可以理解为证明定理和解题的思维方法2分析与综合可以理解为研究数学概念和性质的方法

数学方法在实际应用中往往具有过程性和层次性的特点 涉及到无限概念的抽象为无限抽象，它分为潜无限抽象和实无限抽象

等置抽象是按某种等价关系，抽取一类对象共同性质特征的抽象

性质抽象是考察被研究对象某一方面的性质或属性，而抽取向量性方面的性质或属性的抽象方法

关系抽象是指根据认识目的，从研究对象中抽取或建构若干构成要素之间的数量关系或空间位置关系，而舍弃其他无关特征或物理现实意义的抽象方法

强抽象是指通过强化对象的特征，即增加对象的性特征来完成抽象建构，已形成新概念或模式的抽象方式 弱抽象是指由原型中抽取其某一方面的特征或侧面加以概括，从而形成比原对象更为一般的概念或理论的一种抽象方式

数学抽象是一种特殊的抽象，具体表现为它的抽象的内容，程度和方法上

数学中的三种母结构为代数结构，序结构，拓扑结构 数学推理：是从一个或几个已知判断得到一个新的判断的思维形式

推理的种类：安思维的方向性，可分为演绎推理、归纳推理、类比推理

推理有内容和形式两方面。内容指前提和结论的真假性问题，形式是所推理的结构形式问题

数学推理的规则：1三段论推理规则2联言推理规则3选言推理规则4分离规则5否定推理规则5逆推理规则6逆否规则

不完全归纳的理论依据：1共性存在于个性之中2普遍性寓于特殊性之中

为什么说数形结合方法是最基本最常用的方法，如何用？数学是研究数量关系和空间形式的科学。即就是研究数与形的科学，而且数学的高度抽象性，带来了数学的难教、难懂、难学。正是数学科学的研究对象和特点，决定于数形结合是数学思考和研究问题的基本方法，它可以帮助人们将抽象的而难题变得直观、形象，便于思考和研究，也可以帮助人们将直观问题数量化、精确化，促进问题的解决。如何用？1从数到形，以形论数2从形到数，以数论形3数形结合，互相转化，互相补充 公理化方法的意义和作用？1公理化方法有利于在理论上探索事物的发展规律2公理化方法有助于培养学生的逻辑思维能力3公理化方法对数学的发展起的积极作用及其局限性

不完全归纳：不完全归纳法即不完全归纳推理，是根据考察的一类事物的部分对象具有某一属性，向做出该类事物都具有这一属性的一般结论的归纳推理

数学思想方法：是对数学知识的本质认识，对数学规律的理性认识，是从某些具体的数学内容和对数学知识的认识过程中提炼上升的数学观点。

数学方法：是从数学的角度提出问题，解决问题的过程中所采用的方式，手段，途径等。

中学数学涉及的思想方法有：1用字母代替的数的思想方法2集合的思想方法3函数、映射、对应的思想方法4统计思想和数据处理方法5算法思想6数形结合的思想方法7最优化的思想方法8极限思想和逼近方法9分类的思想方法10参数的思想方法 数学思想方法教学的特点：1隐喻性2活动性3主观性4差异性

从学生的认知角度看，数学思想方法的构建有三个阶段：潜意识阶段，明朗和形成阶段，深化阶段 在数学教学的不同阶段，如何进行数学思想方法教学；1在知识形成阶段，可有计划有步骤地选用观察、实验、比较、分析、抽象、概括等抽象化、模型化的思想方法。字母代替数的思想方法、函数的思想方法、方程的思想方法、极限的思想方法、统计的思想方法等2在知识结论推导阶段和解题教学中，可选用分类讨论、化归、等价转换、特殊化与一般化、归纳、类比等思想方法3在知识的总结性阶段，可采用结构化、公理化等思想方法 化归方法的基本思想是什么“化归”是转化和归结的简称。其基本思想是：人们在解决数学问题时，常常是将待解决的问题A，通过某种转化手段，归结为另一个问题B，而问题B是相对交易解决或已有固定解决程式的问题，且通过对问题B的解决可得到原问题A的解答 化归方法的基本原则：1化归目标简单化原则2具体化原则3和谐统一性原则4形式标准化原则5低层次化原则

RMI原理：通过建立欧式平面到有序实数对集合的映射，将平面几何问题转化为简析几何问题的过程，以及通过建立平面直角坐标系到复数集的映射，将几何问题化归为复数问题的过程。它们有着共同的形式，即通过寻找适当映射实现化归的策略进一步形式化地抽象为关系映射反演原理简称RMI原理

数学抽象的基本原则是逻辑建构形式化原则

数学抽象的主要方法：性质抽象，关系抽象，等置抽象，无限抽象，弱抽象和强抽象

数学模型方法是借用数学模型来研究原型的功能特征及其内在规律，并应用于实际的一种方法

数学建模的一般原则：简化原则，可推演原则，反映性原则

必真推理方法包括演绎法和完全归纳法。完全归纳法常会用到穷举和类分的方法

类比法：类比法是根据两个或两类事物在某些属性上都相同或相似，而推出它们在其他属性上也相同或相似的推理方法

人们经常在数与式之间、平面与立体之间、一维与多维之间进行种种类比

类比的一般模式为：A类事物具有性质a1,a2,a3,a4，B类事物具有性质a1,a2,a3,所以B类事物可能具有性质a4

类比的三个环节：1依据某种相似性寻找适合的类比物2将两个对象的相似性进一步明确化3依据1、2步中明确化了的相似性，推测相似结论，得到命题或证明方法的猜想

反证法：当证明论题p→q时，不去直接证明它，而是把﹁q作为前提，加进原论题的前提，并根据已知真命题和推理规则推出与另一已知真命题或原论题的前提相矛盾的结论，或者导出自相矛盾的结论，从而确立论题的正确性

计算机技术和数学科学的迅速发展，推动了几何定理证明机械化的进程，吴文俊先生研究几何证明的机械化方法

算法是指可以用计算机来解决的某一类问题的程序或步骤，它的主要特征是程序性、明确性和有限性

在向量运算的教学中，特别要重视向量的数乘运算和数量积运算

公理化方法：从尽可能少的一组原始概念和公设和公理出发，运用逻辑推理原则，建立科学体系的方法。具体形态：1实体性公理化方法，形态公理化方法和纯形式公理化方法

公理化方法的逻辑特征：1无矛盾性2独立性3完备性 公理化方法对教学的启示：1启发学生自己去寻找依据2使学生在寻找体验依据的过程中，培养起”说理有据“的习惯和能力3在运用公理化方法解决问题时，要帮助学生将命题的条件和结论联系起来4应让学生在公理化方法中学到从一般到特殊逻辑和直观的教学的基本要素5要帮助学生认识运算是从一个或几个已知判断得到一个新判断的思维过程

在数学和数学学习中，分析和综合的二种意义：1分析与综合可以理解为证明定理和解题的思维方法2分析与综合可以理解为研究数学概念和性质的方法

数学方法在实际应用中往往具有过程性和层次性的特点 涉及到无限概念的抽象为无限抽象，它分为潜无限抽象和实无限抽象

等置抽象是按某种等价关系，抽取一类对象共同性质特征的抽象

性质抽象是考察被研究对象某一方面的性质或属性，而抽取向量性方面的性质或属性的抽象方法

关系抽象是指根据认识目的，从研究对象中抽取或建构若干构成要素之间的数量关系或空间位置关系，而舍弃其他无关特征或物理现实意义的抽象方法

强抽象是指通过强化对象的特征，即增加对象的性特征来完成抽象建构，已形成新概念或模式的抽象方式 弱抽象是指由原型中抽取其某一方面的特征或侧面加以概括，从而形成比原对象更为一般的概念或理论的一种抽象方式

数学抽象是一种特殊的抽象，具体表现为它的抽象的内容，程度和方法上

数学中的三种母结构为代数结构，序结构，拓扑结构 数学推理：是从一个或几个已知判断得到一个新的判断的思维形式

推理的种类：安思维的方向性，可分为演绎推理、归纳推理、类比推理

推理有内容和形式两方面。内容指前提和结论的真假性问题，形式是所推理的结构形式问题

数学推理的规则：1三段论推理规则2联言推理规则3选言推理规则4分离规则5否定推理规则5逆推理规则6逆否规则

不完全归纳的理论依据：1共性存在于个性之中2普遍性寓于特殊性之中

为什么说数形结合方法是最基本最常用的方法，如何用？数学是研究数量关系和空间形式的科学。即就是研究数与形的科学，而且数学的高度抽象性，带来了数学的难教、难懂、难学。正是数学科学的研究对象和特点，决定于数形结合是数学思考和研究问题的基本方法，它可以帮助人们将抽象的而难题变得直观、形象，便于思考和研究，也可以帮助人们将直观问题数量化、精确化，促进问题的解决。如何用？1从数到形，以形论数2从形到数，以数论形3数形结合，互相转化，互相补充 公理化方法的意义和作用？1公理化方法有利于在理论上探索事物的发展规律2公理化方法有助于培养学生的逻辑思维能力3公理化方法对数学的发展起的积极作用及其局限性

浅谈中学数学的思想方法及教学 第6篇

第一，“懂得基本原理使得学科更容易理解”。心理学认为“由于认知结构中原有的有关观念在包摄和概括水平上高于新学习的知识，因而新知识与旧知识所构成的这种类属关系又可称为下位关系，这种学习便称为下位学习。”当学生掌握了一些数学思想、方法，再去学习相关的数学知识，就属于下位学习了。下位学习所学知识“具有足够的稳定性，有利于牢固地固定新学习的意义，”即使新知识能够较顺利地纳入到学生已有的认知结构中去。学生学习了数学思想、方法就能够更好地理解和掌握数学内容。

第二，有利于记忆。布鲁纳认为，“除非把一件件事情放进构造得好的模型里面，否则很快就会忘记。”“学习基本原理的目的，就在于保证记忆的丧失不是全部丧失，而遗留下来的东西将使我们在需要的时候得以把一件件事情重新构思起来。高明的理论不仅是现在用以理解现象的工具，而且也是明天用以回忆那个现象的工具。”由此可见，数学思想、方法作为数学学科的“一般原理”，在数学学习中是至关重要的。无怪乎有人认为，对于中学生“不管他们将来从事什么业务工作，唯有深深地铭刻于头脑中的数学的精神、数学的思维方法、研究方法，却随时随地发生作用，使他们受益终生。”

第三，学习基本原理有利于“原理和态度的迁移”。布鲁纳认为，“这种类型的迁移应该是教育过程的核心——用基本的和一般的观念来不断扩大和加深知识。”曹才翰教授也认为，“如果学生认知结构中具有较高抽象、概括水平的观念，对于新学习是有利的，”“只有概括的、巩固的和清晰的知识才能实现迁移。”美国心理学家贾德通过实验证明，“学习迁移的发生应有一个先决条件，就是学生需先掌握原理，形成类比，才能迁移到具体的类似学习中。”学生学习数学思想、方法有利于实现学习迁移，特别是原理和态度的迁移，从而可以较快地提高学习质量和数学能力。

第四，强调结构和原理的学习，“能够缩挟高级‘知识和’初级‘知识之间的间隙。”一般地讲，初等数学与高等数学的界限还是比较清楚的，特别是中学数学的许多具体内容在高等数学中不再出现了，有些术语如方程、函数等在高等数学中要赋予它们以新的涵义。而在高等数学中几乎全部保留下来的只有中学数学思想和方法以及与其关系密切的内容，如集合、对应等。因此，数学思想、方法是联结中学数学与高等数学的一条红线。

中学数学教学内容从总体上可以分为两个层次：一个称为表层知识，另一个称为深层知识。表层知识包括概念、性质、法则、公式、公理、定理等数学的基本知识和基本技能，深层知识主要指数学思想和数学方法。

表层知识是深层知识的基础，是教学大纲中明确规定的，教材中明确给出的，以及具有较强操作性的知识。学生只有通过对教材的学习，在掌握和理解了一定的表层知识后，才能进一步的学习和领悟相关的深层知识。

深层知识蕴含于表层知识之中，是数学的精髓，它支撑和统帅着表层知识。教师必须在讲授表层知识的过程中不断地渗透相关的深层知识，让学生在掌握表层知识的同时，领悟到深层知识，才能使学生的表层知识达到一个质的“飞跃”，从而使数学教学超脱“题海”之苦，使其更富有朝气和创造性。

那种只重视讲授表层知识，而不注重渗透数学思想、方法的教学，是不完备的教学，它不利于学生对所学知识的真正理解和掌握，使学生的知识水平永远停留在一个初级阶段，难以提高；反之，如果单纯强调数学思想和方法，而忽略表层知识的教学，就会使教学流于形式，成为无源之水，无本之木，学生也难以领略到深层知识的真谛。因此，数学思想、方法的教学应与整个表层知识的讲授融为一体，使学生逐步掌握有关的深层知识，提高数学能力，形成良好的数学素质。

3.中学数学中的主要数学思想和方法

数学思想是分析、处理和解决数学问题的根本想法，是对数学规律的理性认识。由于中学生认知能力和中学数学教学内容的限制，只能将部分重要的数学思想落实到数学教学过程中，而对有些数学思想不宜要求过高。我们认为，在中学数学中应予以重视的数学思想主要有三个：集合思想、化归思想和对应思想。其理由是：（1）这三个思想几乎包摄了全部中学数学内容；（2）符合中学生的思维能力及他们的实际生活经验，易于被他们理解和掌握；（3）在中学数学教学中，运用这些思想分析、处理和解决数学问题的机会比较多；（4）掌握这些思想可以为进一步学习高等数学打下较好的基础。

此外，符号化思想、公理化思想以及极限思想等在中学数学中也不同程度地有所体现，应依据具体情况在教学中予以渗透。

数学方法是分析、处理和解决数学问题的策略，这些策略与人们的数学知识，经验以及数学思想掌握情况密切相关。从有利于中学数学教学出发，本着数量不宜过多原则，我们认为目前应予以重视的数学方法有：数学模型法、数形结合法、变换法、函数法和类分法等。一般讲，中学数学中分析、处理和解决数学问题的活动是在数学思想指导下，运用数学方法，通过一系列数学技能操作来完成的。

4.数学思想方法的教学模式

数学表层知识与深层知识具有相辅相成的关系，这就决定了他们在教学中的辩证统一性。基于上述认识，我们给出数学思想方法教学的一个教学模式：

操作——掌握——领悟

数学思想及方法 第7篇

微积分对中学数学教学的意义非常重大,它可以解决中学数学中许多难以解决的问题.例如求函数的单调性、函数的极值、不等式、恒等式的证明等方面都需要掌握一些微积分的思想及方法才能对上述问题更深入地了解.

(一)求函数的单调性

例1确定函数f(x)=x2-2x在(-∞,+∞)上的严格单调区间,并加以证明.

解当x∈(-∞,1)时,由f(x)=x2-2x得f'(x)=2x-2<0,当x∈(1,+∞)时,由f(x)=x2-2x得f'(x)=2x-2>0,所以该函数在(-∞,1)内严格单调递减,在(1,+∞)内严格单调递增.

(二)求函数的极值

在中学数学教学过程中求极值时通常使用配方法、不等式法等方法.但是因为这些方法过于灵活,所以只能用于解决一些比较特殊的问题.如果用导数的话就会易于理解.学习完数学分析之后,求极值包括如下方法:

(1)利用函数f(x)在x=x0点取极值的定义.

(2)根据连续函数的极值和单调性的关系,求出极值点后判断:在x=x0处的函数f(x)由增变减,则得出极大值;若在x=x0处的函数f(x)由减变增,则得出极小值.

(3)对于可导函数f(x),先求导数f'(x),然后令f'(x)=0,求得稳定点.如果f'(x)在稳定点处左侧为正、右侧为负,则得到f(x)的极大值点;如果f'(x)在稳定点处左侧为负、右侧为正,则得f(x)的极小值点.

例2求函数f(x)=x3-3x2-9x+7的极值.

解由f(x)=x3-3x2-9x+7得f'(x)=3x2-6x-9=3(x-3)(x+1),

使f'(x)=0,得到稳定点x1=-1,x2=3.

可知f(x)在(-∞,1),(3,+∞)上单调递增,在(-1,3)上单调递减.

所以f(x)在x1=-1处取得极大值,f(x)在x1=3处取得极小值.

虽然用微分的思想及方法求函数的极值有其步骤可循,但是也需要留意上述求函数极值的各种方法.

二、积分的思想及方法在中学数学中的应用

积分是由不定积分和定积分这两个部分组成,这两种积分如果从定义形式上来看完全没有联系,而牛顿-莱布尼茨公式中阐述的微积分基本定理却在理论上使不定积分与定积分不再互不相关,使得原本只能运用求积分和的极限来计算定积分转化成了求一个原函数,从而使不定积分与定积分这两种之前完全没有关系的定义形成了一个密不可分的整体.但是除上述介绍的以外,定积分还与数学分析这一学科的另一重要部分———级数之间存在着不可分割的关系.

所以当a=b=R时,也就是圆的面积πR2.

结论

本文从微积分的思想及方法着手并通过经典例题,说明了微积分与中学数学是有着密切联系的.用微积分的思想和方法解决中学问题,使原来许多看似模棱两可的问题都变得豁然开朗,达到了以简驭繁的作用.

参考文献

[1]华东师范大学数学系.数学分析[M].第4版.北京:高等教育出版社,2001.

[2]刘剑.浅谈数学分析对中学数学的指导作用[J].宿迁市宿城区中扬实验学校学报,2012(4):9-11.

[3]李霞.浅论数学分析的原理与方法在中学数学中的应用[J].牡丹江教育学院学报,2006(1):83-84.

[4]何芳芳,王套.数学分析的原理和方法在中学数学中的应用[J].黄淮学院学报,2013,40(3):181-182.

浅谈数学思想方法——类比思想 第8篇

其一类比思维:是解答数学题的基本方法。类比思维包括两方面的含义: (1) 联想, 即由新信息引起的对已有知识的回忆; (2) 类比, 在新、旧信息间找相似和相异的地方, 即异中求同或同中求异。通过类比思维, 在类比中联想, 从而升华思维, 既有模仿又有创新。

例如:初一数学合并同类项的教学, 我是这样引导学生利用类比思维引入合并同类项方法的。

这样可以通过简单的计算方法类比出合并同类项的方法 (只把同类项的系数相加, 字母部分不变) 。

其二类比联想:是指对一件事物的认识引起对和该事物在形态或性质上相似的另一事物的联想。由于这种联想是借助于对某一事物的认识, 通过比较它与另一类事物的某些相似达到对另一事物的推测理解。这是科学研究中常用的方法之一。

例如:初一数学合并同类项的教学, 我是这样引导学生利用类比思维联想引入合并同类项方法的。

因为a2b+2a2b=3a2b, 能否借助上述计算解决 (a+b) +2 (a+b) =＿＿＿＿＿。

我们将a2b看作一个整体进行合并, 所以对于 (a+b) 也可以联想成a2b看作一个整体, 从而进行合并 (a+b) +2 (a+b) =3 (a+b) 。

其三类比推理:是根据两个或两类对象有部分属性相同, 从而推出它们的其他属性也相同的推理。类比推理是解决问题的能力的重要手段。

通过类比推理得知能进行计算的题具备共同特征 (1) 常数项能计算 (2) 所含字母相同及字母部分也相同的题能计算;不能计算的题不具备上述特征。由此, 类比推理引出同类项的定义。此方法更能加深学生对定义的印象, 很多科学家常根据类比推理得出重要结论。

数学思想方法与中学数学教学 第9篇

数学知识本身是非常重要的,但它并不是唯一的决定因素,真正对学生以后的学习、生活和工作长期起作用,并使其终生受益的是数学思想方法.

古往今来,数学思想方法不计其数,每一种数学思想方法都闪烁着人类智慧的火花.但是由于中学生的年龄特点决定有些数学思想方法他们不易接受,要想把那么多的数学思想方法渗透给中学生也是不大现实的.因此,我们应该有选择地渗透一些数学思想方法.我认为,以下几种典型的数学思想方法学生不但容易接受,而且对学生数学能力的提高有很好的促进作用.

一、数形结合思想

即通过作一些如线段图、树形图、长方形面积图或集合图来帮助学生正确理解数量关系,使问题简明直观.

著名数学家华罗庚先生说:“数无形时少直观,形无数时难入微”,这句话形象简练地指出了形和数的互相依赖、相互制约的辩证关系.数形结合思想是充分利用“形”把一定的数量关系形象地表示出来.即通过作一些如线段图、数形图、长方形面积图或集合图来帮助学生正确理解数量关系,使问题简明直观.在初中数学教学中,我们在分析应用题数量关系时常常联系到图形.

二、变换思想

变换思想是由一种形式转变为另一种形式的思想.如解方程中的同解变换,定律、公式中的命题等价变换,几何形体中的等积变换,理解数学问题中的逆向变换,等等.

三、类比思想

数学上的类比思想是指依据两类数学对象的相似性,有可能将已知的一类数学对象的性质迁移到另一类数学对象上去的思想,它能够解决一些表面上看似复杂困难的问题.目前,中学数学教材中类比思想的内容很多,杂志上发表的较多的某些定理,问题的延伸、推论、拓广也是类比思想的反映,这就要求教师去发掘、去实施.正如数学家波利亚所说:“我们应该讨论一般化和特殊化和类比的这些过程本身,它们是获得发现的伟大源泉.”

在中学数学教学中,可以主要选择在以下四方面渗透类比思想:在结构特征上进行类比;在数量关系上进行类比;在算理思路上进行类比;在思想内容上进行类比.

四、分类思想

数学中每一个概念都有其特有的本质特征,它又是按照一定的规律扩展变化的,它们之间都存在着质变到量变的关系.要正确的认识这些概念,就需要具体的概念依据具体的标准具体分析,这就是数学的分类思想,是指按某种标准,将研究的数学对象分成若干部分进行分析研究.

五、方程和函数思想

在已知数与未知数之间建立一个等式,把生活语言“翻译”成代数语言的过程就是方程思想.笛卡儿曾设想将所有的问题归为数学问题,再把数学问题转化成方程问题,即通过问题中的已知量和未知量之间的数学关系,运用数学的符号语言转化为方程(组),这就是方程思想的由来.

在中学阶段,学生在解应用题时仍停留在中学算术的方法上,一时还不能接受方程思想,因为在算求解题时,只允许具体的已知数参加运算,算术的结果就是要求未知数的解,在算术解题过程中最大的弱点是未知数不允许作为运算对象,这也是算术的致命伤.而在代数中未知数和已知数一样有权参加运算,用字母表示的未知数不是消极地被动地静止在等式一边,而是和已知数一样,接受和执行各种运算,可以从等式的一边移到另一边,使已知与未知之间的数学关系十分清晰,在中学数学教学中,若不渗透这种方程思想,学生的数学水平就很难提高.

六、建模思想

所谓数学模型,是指对于现实世界的某一特定对象,为了某个特定目的,作出必要的简化和假设,运用数学工具得到的一个数学结构,它提供处理对象的最优决策或控制.中学数学教学实际上可以看作数学模型的教学.中学生的生活经验是有限的,许多实际问题不可能事事与本身的经历直接相联系,因而不能凭借生活经验把实际问题转化为数学问题进行解答.在数学教学中就可引导学生根据应用题的情节构造成实际模型,帮助学生建立表象,理解数量关系,把握住问题的本质,从而把实际问题整体转化成数学问题,以达到解决实际问题的目的.

数学思想方法——数学教学的魂 第10篇

数学思想方法是教材体系的魂.在现行的数学教材中, 无论是哪个版本都存在着两条主线:一条是明线即数学知识, 一条是暗线即数学思想方法.日本数学教育家米山国藏说:“学生们所学到的数学知识, 在进入社会后不到一两年就忘掉了, 然而那种铭刻于头脑中的数学精神和数学思想方法却长期地在他们的生活和工作中发挥着作用.”数学思想方法也是教学设计的魂.数学课堂教学设计不能只是数学认识过程中的“还原”, 一定要有数学思想方法的飞跃和创造.数学思想方法还是教学质量的魂.南京师范大学数科院教授刘云章教授认为, “不讲数学思想方法的课, 不是好课”;“重视对数学思想方法的领悟将能唤起数学学习者潜在的数学天赋, 提高其数学素养, 从而提高学习效益和质量”.为此在小学数学教学中要时刻渗透数学思想方法.

小学数学中蕴含的数学思想方法很多, 有转化思想、假设思想、符号思想、类比思想、数形结合思想、等量代换思想、极限思想、变中抓不变的思想、一一对应思想, 等等, 我在教学中努力突出这些思想方法.

1. 转化思想

当学过长方形面积计算公式后, 平行四边形、梯形、圆形的面积计算公式的推导都可以把以上图形转化为长方形.学习了三角形内角和是180度, 多边形内角和可以转化为求几个三角形内角和的和计算, 从而推导多边形内角和的计算公式.

2. 数形结合思想

抽象的数学概念借助图形能使之直观化、形象化、简单化.比如, 讲个、十、百、千等计数单位时, 可以用点、线、面、体分别对照讲解, “个”用一个小正方体表示, “十”用一排10个小正方体摆成101的小长方体表示, “百”用100个小正方体摆成10101的大长方体表示, “千”则用1000个小正方体摆成101010的大正方体来表示, 学生能一目了然, 理解得深刻.在解应用题中常常借助线段图的直观帮助分析数量关系, 特别是倍数关系应用题.还有“数的认识”复习时可以用数轴很形象地把整数、分数、小数、负数等各类数表示出来, 使学生建立很完整的数的系统.

3. 等量代换思想

当题目中未知量不是唯一的时候, 要启发学生寻找各未知量之间的等量关系, 采用等量代换的方法来解决问题.比如, “学校买了4张桌子和9把椅子, 共用去504元, 一张桌子和3把椅子的价钱正好相等, 桌子和椅子的单价各是多少?”就可以引导学生把9把椅子换成3张桌子或把4张桌子换成12把椅子.

4. 假设思想

当找不到解决问题的切入点时, 可以引导学生先对题目中的已知条件或问题作出某种假设, 然后按照题中的已知条件进行推算, 根据数量出现的矛盾, 加以适当调整, 最后找到正确解答的一种思想方法.

比如, 一个等腰三角形中有一个角是40度, 它是 () 角三角形.可以假设40度角是顶角, 就可以得出底角都是70度, 它是锐角三角形;如果40度角是底角, 就可以得出顶角是100度, 它就是钝角三角形.

数学思想及方法 第11篇

关键词： 小学数学教学 数学思想 教学生活化

引言

小学是学生思维发展的初级阶段，也是学生情感发展的开始阶段。数学思想的建立，不仅能帮助学生形成自己独有的思维模式，而且能有效提高学生在学习活动中的自我思考探究能力。数学是一门来源于生活又最终应用于生活的学科，具有较强的实用性[1]。在数学教学过程中，教师可以将生活与数学学习紧密联系起以培养学生的数学应用能力，从而提高学生的学习兴趣，激发学生的学习热情，有意识地引导学生提升自身的学习能力，从而促进学生全面发展[2]。

一、小学数学教学中渗透数学思想的作用

数学思想是整个数学课程的核心所在，从根本上说，学生掌握数学思想事实上是掌握数学学科知识的重要前提。教师在小学数学课堂上不断渗透数学思想，有利于学生轻松掌握数学学科知识，增强学生的数学观念，从而强化教师的课堂教学效果[3]。加强对学生数学思想的培养，更强调学生在课堂上学习的主体地位，为学生数学学科的学习奠定了坚实的基础。

二、小学数学教学中渗透数学思想的方法

1.数形结合思想

在小学数学课堂上，教师大多喜欢采用数形结合的方法为学生讲授知识。顾名思义，数形结合就是将数字与形状相互结合的表达方式，与单一的讲解方法相比，数形结合能吸引学生的注意力，从而充分调动学生的积极性。例如，教师在讲解《四则混合运算》时可以采用线段图的方法，使学生根据线段的长段对数学运算的过程进行深入理解。如“在一条长为20米的小路上植树，小路的两端各种一棵，道路中间每间隔4米种一棵，问这条路一共要种多少棵树？”此时教师可以作一条线段模拟小路，并将线段平均分成5段（20/4），线段的两头端点各种一颗，线段中间的端点上各种一颗，此时题目问题的答案一目了然。教师再为学生总结出“间隔数+1=树的棵数”的计算方法。

2.数学符号思想

数学符号是数学学科知识的重点组成内容，强化学生对符号化数学的应用能力，不仅提高了学生的学习效率，更促使了学生思维逻辑更严谨。例如，在学习《认识比》一课时，教师应先向学生讲解“：”符号的含义，并为学生列举这个符号应用的范例（如班级男生女生的比例、比分统计时的符号的运用等），使学生对“：”符号有更深层次的认识。

3.化归思想

化归思想是数学数学思想的典型代表，因此教师可通过对学生进行化归思想的渗透达到建立数学思想的最终目的。所谓的化归思想，事实上就是启发学生在你数学学习的过程中，将难题简单化，将生题熟悉化的过程学习方法。化归思想的逐渐渗透能使学生在数学学习的过程中，形成自己独立解题的思维，帮助学生提高自身的综合应用能力[4]。例如，在学习多位数的加法课程时，教师可以将多位数的加法运算简化为普通的加法运算（如将“463+217”算式看作“400+200”与“63+17”两项结果之和），使学生明白数学“万变不离其宗”的基本奥义，鼓励学生在日后遇到的难题时，主动寻找最根本的解决方法。

三、小学数学教学中实现教学生活化的意义

小学数学教学生活化的是将生活紧密结合于学生的实际学习过程，也是学生的学习成果直接应用于实际生活，使学生体会到知识既来源于生活又应用于生活的基本规律。由于小学生的思维模式尚未建立完全，仍然存在一定的阻滞性，因此小学生对于实际问题的理解有时会有些困难，所以教师在对学生进行数学学科知识的教学工作时，可以适当选择学生较为感兴趣的内容，结合学生的生活经验。将抽象的数学知识进行直观的表达，使学生体会到，数学的实际应用价值与重要作用[5]。

四、小学数学教学中实现教学生活化的方法

1.融入学生生活元素

由于小学生自身的理解能力不高，因此教师在对学生进行数学教学时，可以以实际生活为案例，寻找学生日常生活中的情景与学生生活元素作为教学的切入点，从而提高学生的学习兴趣，并且降低教学难度。例如，教师在教授统计学的相关内容时，可以采取情景模拟的方法来展现统计的整体过程。教师可组织学生进行模拟公交车乘客上下车的情况，为学生讲解统计学的基本原理与方法。

2.善于利用学生熟悉的物件

想要将学生的日常生活与数学教学活动紧密结合起来，教师就必须细心观察学生的日常生活的实际情况，善于发现学生生活中可用于数学教学的生活元素。同时，教师还应积极与学生交流，在与学生沟通交流的过程中充分了解的日常生活，从中找出蕴含的数学知识。例如，在学习“圆”图形课程时，教师可以吩咐学生在自己家里找出三件圆形的物体，课堂上组织学生发言，教师要善于发散学生思维，并对学生的创新想法给予肯定与鼓励。

3.将生活带进课堂

数学教师应善于引导学生发现自己日常生活中的数学问题，鼓励学生多思考，课堂学习时，教师也可以为学生营造良好生活情景模拟氛围。例如，教师可以在课堂上设置“商店打折”这一教学情境，教师对铅笔、橡皮、圆规、书本、笔记本等不同物体进行定价，并且设置不同的折扣，组织学生进行文具的购买，将学生的日常生活带入真实的课堂学习。

结语

在小学数学课堂教学中，教师应善于利用自身的教学观念，采用多样化的教学方式，将数学思想渗透进小学数学教学过程中，以提升学生自身的学科素养与独立自主的学习能力[6]。同时，将教学生活化模式灵活应用于小学数学课堂，不断提高学生对数学学科的实际应用能力，也激发学生的学习热情。教师要为学生的实际生活和数学知识搭建桥梁，使学生主动学习与之相关的数学知识，进一步强化学生的学习效果。

参考文献：

[1]陈晓梅.探究小学数学教学中如何渗透数学思想和方法[J].中华少年，2016（02）：115-116.

[2]叶军荣.如何在小学数学教学中渗透数学思想方法[J].数学学习与研究，2016（02）：83.

[3]窦林.数学思维在教学中的体现——苏教版小学数学教学中渗透数学思想的方法研究[J].新课程导学，2016（02）：8.

[4]杨卓.让数学与生活同行——小学数学教学生活化策略初探[J].学周刊，2016（06）：174.

[5]王琛.新课程改革背景下小学数学教学生活化探析[J].华夏教师，2016（01）：48.

数学观下的数学思想方法 第12篇

但是数学思想方法涉及到哲学, 思维学等多种学科的内容.本研究为了使相关问题研究深刻而具体.所以将数学思想方法分成几个层次来探讨.本文就是在以上两个方面研究的基础上撰写的[1,2].在数学观下从全局性方法与技巧性方法加以论述, 以期和同行一起探索学生数学思想方法培养之途.

1对数学思想方法的再认识

1.1数学思想方法的含义

数学观即数学是什么, 是人们对数学本身及其相关内容的看法.数学思想方法是解决数学问题的隐形的、抽象的观念, 是一种心智活动方式.它是数学的灵魂, 是数学的本质所在.数学思想方法产生数学知识, 数学知识又蕴涵着思想方法, 二者相辅相成, 缺一不可.数学思想方法与数学观紧密联系, 数学观影响数学思想方法的形成.

1.2 数学思想方法的重要性

我国著名的数学家华罗庚曾说:“什么叫学深学透?这就是要经过‘由薄到厚’、‘从厚到薄’的过程.”[3]就是要先打好基础, 再进行分析理解, 解题练习, 把教材读“厚”, 然后独立思考, 直至掌握其中的数学思想方法, 这就是“由厚到薄”的过程.体现出数学思想方法的重要性.

数学学习的最高目标是:以数学知识为载体, 提炼知识中思想、方法和观点, 去分析、解决、研究和探索今后学习和生活中的问题.同样说明数学思想方法的重要性.

从教育的角度来看, 数学思想方法比数学知识更为重要, 这是因为知识的记忆是暂时的, 而数学思想方法的掌握是永久的.日本数学教育家米山国藏指出:“学生在初中、高中接受的数学知识, 出校门不到一两年, 很快就忘掉了, 然而, 不管他们从事什么业务工作, 唯有深深铭刻于头脑中的数学精神, 数学的思维方法、研究方法、推理方法和着眼点 (如果已培养了) , 却随时随地发挥作用, 使他们受益终生.”[4]著名的数学家美籍匈牙利人冯 · 诺依曼 (John von Neumann, 1903—1957) 也曾指出:“数学方法渗透并支配着一切自然科学的理论分支.它愈来愈成为衡量科学成就的主要标志了.”

2 数学观下的数学思想方法的分类

从数学的视角看, 数学思想方法可以分为全局性的思想方法和技巧性的思想方法两类.全局性的思想方法是指决定数学发展方向、反映数学发展阶段性特征的思想方法, 技巧性的思想方法是指解决具体数学问题的思想方法.

2.1全局性数学思想方法

2.1.1数学模型方法

数学模型方法就是一种符号模型, 它有广义和狭义的两种解释.广义解释为:凡是从现实原型抽象概括出来的一切数学概念、各种数学公式、方程式、定理、理论体系等等都称为数学模型;狭义解释为:只有那种反映特定的具体实体内在规律的数学结构才称为数学模型.本文主要是从后一意义上来探讨数学模型方法.

2.1.1.1 数学模型方法的特征

数学模型方法是指用数学模型解决数学问题和实际问题的方法.作为数学模型, 一般必须具备以下特征:首先, 由于数学模型是从客观原型中概括出来的、完全形式化和符号化了的模型, 所以它即要加以适当而合理的简化, 又要保证能反映原型的本质特征.其次, 数学模型是一种高度抽象模型, 所以在数学模型上即要进行理论分析, 又要能进行计算和逻辑演绎推导.最后, 在数学模型上所获得的结果不仅要能返回到原型中去, 而且经过实践检验确实能解决实际问题.

2.1.1.2 数学模型方法在实际问题中的具体应用

数学模型运用的流程图见图1.

例1 哥尼斯堡七桥问题.

18世纪普鲁士的哥尼斯堡, 普雷格尔河流经此镇, 奈发夫岛位于河中, 共有七桥横跨河上, 把全镇连起来.一个散步者怎样才能不重复地走遍所有的七座桥而回到原点出发, 这就是哥尼斯堡七桥问题, 见图2.

这个看似简单的问题, 很长一段时间没有得到解决, 大数学家欧拉 (Leonhard Eul-er, 1707—1783) , 从众多人的失败中想到, 这样的走法就根本不可能存在.随后他用数学的方法证实了自己的猜想, 并于1738年发表论文《哥尼斯堡七桥》.他的证明思路如下:

第1步, 用A, C表示两个岛, B, D表示两个岸, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7分别表示七座桥.

第2步, 将两岸和两个岛看成点, 七座桥看成七条线.

经过上述数学抽象, 哥尼斯堡七桥问题就转化成图3的“一笔画问题”.

欧拉进一步分析一笔画图形, 发现若起点和终点重合, 则过此点的曲线必须是偶数, 图3中过A, B, C, D四点的曲线都是奇数条, 所以不能一笔画成.从而断定哥尼斯堡七桥问题没有解.

欧拉的这一证明思路非常重要, 也很巧妙, 它表明了数学家处理实际问题的独特之处———把一个实际问题抽象成合适的数学模型, 这种研究方法就是数学模型方法.

又如万有引力数学模型的建立.由地球中心说的宇宙模型到以太阳为中心的宇宙模型.随着天体力学的发展, 以开普勒为代表的天体学家对前人积累的大量资料和有关数据, 运用数学工具进行了严格的推导, 终于在1609年归纳总结出了开普勒三定律.

开普勒三定律奠定了当今太阳中心说的宇宙模型的理论基础.牛顿对开普勒三定律产生了浓厚的兴趣, 他认为万物皆受力的支配.因此, 开普勒三定律也不例外, 必有某个力学规律在起作用.最后, 他终于以微积分为工具, 在开普勒三定律和牛顿力学第二定律的基础上, 用演绎的方法, 建立了著名的万有引力定律, 即.万有引力定律, 不仅成功地用定量的方法揭示了客观事物之间的一种内在的联系, 而且是用数学方法解决实际问题的又一个光辉典范.

2.1.2 关系映射反演方法

2.1.2.1 关系映射反演法及流程图

给定一个含有目标原象x的关系结构S, 如果能找到一个可定映射φ, 将S映入或映满S*, 则可从S*通过一定的数学方法把目标映象x*=φ (x) 确定出来, 进而通过反演φ-1又可以把x=φ-1 (x*) 确定出来, 这样, 原来的问题就得到了解决.这种方法就叫做关系映射反演方法.为了方便起见, 把关系 (Relation) 映射 (Mapping) 反演 (Inversion) 方法简称RMI方法, 见图4.

2.1.2.2 关系映射反演方法的实质

关系映射反演方法的实质就是一种把要解决的问题转化成比较简单的或已解决了的问题, 通过后者的解来解决原问题的方法, 这是数学的一种基本的具有方法论意义的方法.

2.1.2.3 关系映射反演方法在实际中的应用

欧几里得 (公元前330—公元前275) 《几何原本》中把对图形的若干证明转化为“作图”问题来解, 从而解决了由于公理不足所产生的证明困难.我国古代数学家刘徽在《九章算术注》和《海岛算经》中一再把各种数学问题如:求面积及体积、证明公式、测量原理等, 都归结为图形的拼补来解决, 取得重要的数学成果.

近代大数学家笛卡尔 (1596—1650) 在其《方法论》一书中给出了一个 “万能方法”:1把任何问题转化为数学问题;2把任何数学问题转化为代数问题;3把任何代数问题转化为方程问题.“万能”的说法有些言过其实, 但把一个数学问题转化为一个较简单的或已解决了的问题来求解, 从此成为数学中的一个重要的方法论原则.笛卡尔身体力行, 创立了解析几何, 把许多几何问题转化为数学问题, 不仅是这一方法论原则的重要示范, 而且对数学的发展起了重要的作用.

1938年我国著名数学家徐利冶在《数学方法论选讲》提出上述定义, 把这一方法论原则数学化, 并正式提出关系映射反演方法的名称, 强调了这一方法论原则的关键所在, 把这一方法的发展和人们的应用的自觉性推到了新的阶段.

2.1.3 公理化方法

2.1.3.1 公理化方法的含义及类型

公理化方法是指从尽可能少的不加定义的基本概念 (对象、关系) 和一组不证自明的基本命题 (公理) 出发, 利用纯逻辑的法则将一门数学或科学建立成一个演绎系统的方法.从数学发展史来看, 公理化方法可以分为实质公理化方法和形式公理化方法两种类型.

实质性公理化方法是指在一个公理系统中基本概念 (包括基本对象和基本关系) 不是原始概念, 而是个基本概念下定义或确定了它的具体内容.也就是说, 一个公理系统所研究的对象的范围、涵义和特征先于公理而给定, 公理只是表达这类特定对象的基本性质, 而且必须是自明的.譬如欧几里得 《几何原本》就是一个典型的例子.

形式公理化方法是指一个系统中基本概念作为不加定义的原始概念.也就是说, 在一个形式公理系统中他所研究的对象的范围、涵义和特征不是先于公理而确定, 而是由公理组给以确定, 这就是所谓的隐定义.比如希尔伯特 (David Hilbert, 1862—1943) 《几何基础》中的公理系统、群论中的公理系统都属于形式化的公理方法.

2.1.3.2 公理化方法的作用和意义

1) 公理化方法对推动数学发展的作用和意义.首先, 由于对公理化方法逻辑特征的研究, 发现了很多新的数学分支和新的数学方法.例如, 由于对欧式几何公理系统第五章公设的“审查”发现了非欧几何;由于对非标准模型的研究产生了非标准分析等, 就是突出的例证.其次, 由于本世纪初公理集合论的出现, 不仅避开了康托朴素集合论中的悖论, 而且使一些长期以来尚未解决的“老大难”问题有的得到解决.最后, 由于现代公理化方法与现代数理逻辑结成“伴侣”, 从而对数学向综合化、机械化的方向的发展起到了推动的作用.

2) 公理化方法在数学教学和学习中的作用和意义.首先, 由于公理化方法可以揭示一个数学系统或分支的内在规律性, 从而使它系统化、逻辑化, 有利于人们学习和掌握.其次, 由于公理化系统是一个逻辑演绎系统, 所以对培养学生的逻辑思维能力和演绎推理能力都有极其重要意义.

3) 公理化方法对科学方法论的作用和意义.从科学方法论的发展历史来看, 数学公理化方法对整个科学方法论的形成和发展起来示范性作用.譬如, 数学公理化方法对现代力学及各门自然科学理论的陈述方式都起到了积极的借鉴作用.

2.1.4 坐标方法

2.1.4.1 坐标方法及其优点

数学研究的对象可以分为两大部分, 一部分是数, 另一部分是形, 但数与形是有联系的, 这个联系称之为数形结合, 或形数结合.我国著名数学家华罗庚曾说:“数形结合百般好, 割裂分家万事非.”“数”与“形”事物两个方面的属性.数形结合就是把抽象的数学语言、数量关系与直观的几何图形、位置关系结合起来, 通过“以形助数”或“以数助形”, 即通过抽象思维与形象思维的结合, 使复杂问题简单化, 抽象问题具体化, 从而起到优化解题途径的目的.

2.1.4.2 坐标方法的分类

作为一种数学思想方法, 数形结合的应用可分为两类情形:或借助于数的精确性来阐明形的某些属性, 即“以数解形”;或者借助形的几何直观性看、来阐明数之间的某种关系, 即“以形助数”.

2.1.4.3 坐标方法主要解决的问题

数形结合的思想方法是数学教学的主线之一, 应用数形结合思想方法主要解决集合问题、函数问题、方程与不等式的问题、三角函数问题、线性规划问题、数列问题、解析几何问题、立体几何等等.

2.2 技巧性的数学思想方法

技巧性的数学思想方法, 一般指解题的具体方法, 如换元法、消元法、代入法、分离系数法、待定系数法、判别式法、分项法、添项法、配方法、错位相消法、三角法、复数法、向量法、构造法、初等变化法、常数变异法、放缩法、割补法、特征值法、迭代法、累加法、累乘法等.适用面较广的技巧性方法, 习惯上我们称之为解题方法;适用面较窄的技巧性方法, 我们习惯称之为解题技巧.关于技巧性的方法, 这里不再一一赘述.作为示例, 仅介绍比较常用的两种方法:换元法和待定系数法.

2.2.1换元法

2.2.1.1 换元法及其实质

换元法又称辅助元素法、变量代换法.通过引进新的变量, 可以把分散的条件联系起来, 隐含的条件显露出来, 或者把条件与结论联系起来, 或者变为熟悉的形式, 把复杂的计算和推理简单化.

换元法的实质是转化, 关键是构造元和设元, 理论依据是等量代换, 目的是变换研究对象, 将问题移至新对象的知识背景中去研究, 从而使非标准型问题标准化、复杂问题简单化, 变得容易处理.

2.2.1.2 换元法的分类

换元的方法有:局部换元法、三角换元法、均值换元法等.

局部换元法:在已知或者未知中, 某个代数式几次出现, 而用一个字母来代替它从而简化问题, 当然有时候要通过变形才能发现.例如, 解不等式:4x+2x-2≥0先变形, 再设2x=t (t>0) , 从而变为熟悉的一元二次不等式求解和指数方程的问题.

三角换元法:应用于去根号, 或者变换为三角形式易求时.主要利用已知代数式中与三角知识有某联系进行换元.如求函数的值域时, 易发现x∈[0, 1], 设x=sin2α, , 问题变成了熟悉的求三角函数值域.

均值换元法:如遇到x+y=S形式时, 设, 等等.

2.2.1.3 换元法在实际中的应用

例2 (全国高中数学联赛题) 实数x, y满足4x2-5xy+4y2=5 (记作 (1) 式) , 设的值.

解法1 设, 代入 (1) 式得

因为-1≤sin 2α≤1, 所以

解法2由S=x2+y2, 设

代入 (1) 式得

移项平方整理得

所以

此题第1种解法属于“三角换元法”, 主要是利用已知S=x2+y2与三角公式cos2α+sin2α=1的联系, 想到用三角换元法, 将代数问题转化为三角函数值域问题.第2种解法属于“均值换元法”, 主要是由等式S=x2+y2而按照均值换元的思路, 设, 减少了元的个数, 使问题变得容易求解.

2.2.2 待定系数法

2.2.2.1 待定系数法及其理论依据

要确定变量间的函数关系, 设出某些未未知系数, 然后根据所给条件来确定这些未知系数的方法, 叫待定系数法.其理论依据是多项式的恒等, 也就是利用了多项式f (x) ≡g (x) 的充要条件:对于任意的a值, 都有f (a) ≡g (a) ;或者两个多项式各同类项的系数对应相等.

2.2.2.2 待定系数法在实际中的应用

例3已知函数的最大值为7, 最小值为-1, 求此函数的表达式.

分析求函数的表达式, 实际上就是确定系数m, n的值;已知最大值、最小值, 就是已知函数的值域.对分子或分母为二次函数的分式函数的值域易联想到“判别式法”.

解函数式变形为

不等式 (1) 的解集为 (-1, 7) , 则-1, 7是方程

的两根, 代入两根得

此题也可由 (1) 的解集为 (-1, 7) , 而设 (y+1) (y-7) ≤0, 即y2-6y-7≤0, 再与不等式 (1) 比较系数而得解出m, n, 进而求得函数表达式y.

4 数学思想方法的培养

数学思想方法是知识转化为能力的杠杆.由于数学思想方法比其他数学知识更抽象、更概括, 同样更具说服力和诱惑力, 学生一般难以在教材中自我独立获得.教师只有在教学中引导、点拨并坚持运用, 才能使学生真正感受到数学思想方法居高临下、举一反三、事半功倍的作用.“授之以鱼, 不如授之以渔.”但从学生的认识规律来看, 数学思想方法的掌握不像知识的理解掌握, 可以在短期内完成, 而要经历一个过程, 简单表述为“了解”、“理解”、“掌握”、“会用”、“综合运用”的过程.从学生的个别差异来看, 也存在着认识不同步的现象, 因此数学思想方法的教学以采用渗透为佳.渗透教学应遵循以下原则:

渗透性原则:数学思想方法是融合在数学知识、方法之中的, 所以采用渗透方式要不失时机地抓住机会, 密切结合教材, 不断地、一点一滴地再现有关数学思想方法, 逐步地加深学生对数学思想方法的认识.

渐进性原则:数学思想方法的渗透必须结合两个实际, 即教材实际和学生实际, 不同的教材内容有不同的要求, 不同的学生也有不同的要求, 要讲究层次, 不能超越, 要反复多次, 小步地渐进.

发展性原则:用渗透方式进行数学思想方法教学, 开始时起点要低, 但 “低”是为了“高”.通过一个阶段的学习, 应该在原有的基础上有所提高, 要求学生“学会”并“会学”, 在思维素质方面有所发展.

学生参与原则:所谓参与就是要求学生在教学过程中充分发挥他们的主体作用, 遵循认识规律, 运用他们自己的器官 (五官、手、脑) , 通过他们自己的学习活动, 去探索数学思想方法的真谛.

综上所述, 数学思想方法是数学的生命和灵魂, 是数学知识的精髓, 是把知识转化为能力的桥梁.只有掌握了数学思想, 才能体会数学的奥妙, 实现从知识到技能的转化, 为以后学习打下坚实的基础.这对于引导学生分析、认识数学的实践性与抽象性, 增强辩证唯物主义观念, 都有重要而深远的意义.

参考文献

[1]龚彦琴.哲学视角下的数学思想方法[J].数学教学研究, 2014, 33 (5) .

[2]龚彦琴.思维观下的数学思想方法[J].数学教学研究, 2015, 34 (4) .

[3]华罗庚.华罗庚科普著作选集[M].上海:上海教育出版社, 1984.

[4]米山国藏.数学的精神、思想和方法[M].成都:四川教育出版社, 1986.

[5]张定强.数学课改新视点:数学思维方式的培养[J].数学教学研究, 2014, 33 (2) .