三角形全等范文（精选10篇）

三角形全等 第1篇

三角形全等方法有SSS (边边边) , SA S (边角边) 、A A S (角角边) 、A SA (角边角) 、H L (直角三角形) , 将这些方法一一探讨出来后, 学生感到棘手的是, 由题中已知的某一两个条件后, 怎么去找第三个判定条件呢?为了不找错条件, 耽误工夫, 笔者编出了已知两个条件去找第三个条件的顺口溜:

有两边找夹角 (SA S) 或者去找第三边 (SSS) : (1) 有两角找一边, 夹边 (A SA) 对边 (SA S) 都可以; (2) 一边一角怎么办, 去找一组对应角 (A A S) 或 (A SA) ; (3) 边角相邻有特例, 去找角的另一边 (SA S) 。

应用举例:

例1:如图1, A B=C D、A D、B C相交于O, 要使ΔA B O≌ΔD C O, 应添加的条件为 () 。

解析:由已知可得A B=C D (一边) , ∠A O B=∠C O D (一角) , 所以由 (3) “一边一角怎么办, 去找一组对应角”, 可知须一组对应角相等, 添∠A=∠D, ∠B=∠C或A B∥C D。

例2:如图2, A、B、C、D在同一直线, A B=C D, D E∥A F, 若要使ΔA C F≌ΔD B E, 则还要补充一个条件 () 。

解析:由已知可得A C=B D (一边) , ∠A=∠D (一角) , 可用 (3) (一边一角怎么办, 去找一组对应角) , 所以可添条件∠E=∠F或∠EB C=∠B C F, 又因为已知中的边角是相邻的, 所以也可用 (4) (边角相邻有特例, 去找角的另一边) 因此可添A F=D E。

例3:如图3, ΔA B C和ΔC EF是两个大小不等的等边三角形, 且有一个公共顶点C, 连接A F和B E, 线段A F和B E有怎样的大小关系?试证明你的结论。

解析:把A F与B E分别放在ΔA FC和ΔB EC中, 易知A C=B C (边) , FC=C E (边) , 可根据 (1) (有两边找夹角或者去找第三边) , 易找到∠A C F=∠B C E。

例4:如图4, 在ΔA B C中, ∠C=90°, A C=B C, 过点C在ΔA B C外作直线M N, A M⊥M N于点M, B N⊥M N于点N, 则M N、A M、B N之间的关系为 () 。

解析:本题是全等三角形的应用, 只须证ΔA M C≌ΔC B N中, A C=C B (边) , ∠A M C=∠B N C (角) , 可用 (3) (一边一角怎么办, 去找一组对应角) 。

全等三角形题型展示 第2篇

一、命题判定型

（2011年上海市中考题）下列命题中，真命题是（ ）

A.周长相等的锐角三角形都全等

B.周长相等的直角三角形都全等

C.周长相等的钝角三角形都全等

D.周长相等的等腰直角三角形都全等

解析 全等三角形的判定方法有4种，直角三角形的判定方法有5种，本题选项A、B、C中命题的正确性都不容易判定，但容易直观发现答案D满足了三组角都对应相等，只要能够找到一组边对应相等即可，等腰直角三角形的周长与其直角边有特殊的关系，当周长相等时等腰直角三角形的三条边长一定相等，故答案选D。

二、条件添加型

（2011年黑龙江省黑河市中考题）如图1，点B、F、C、E在同一条直线上，点A、D在直线BE的两侧，AB∥DE，BF=CE，请添加一个适当的条件：___________，使得AC=DF。

解析 要判断两个三角形中的两条边相等，可转化为考虑两个三角形全等。由已知条件得到一条对应边相等，一个对应角相等，要使AC=DF，则必须满足△ABC≌△DEF，已知AB∥DE，BF=CE，则可得到∠B=∠E，BC=EF。

方法一：考虑用SAS判定△ABC≌△DEF，则添加AB=DE即可；

方法二：考虑用ASA判定△ABC≌△DEF，则添加∠ACB=∠EFD即可；

方法三：添加AC//FD可得∠ACB=∠EFD；

方法四：考虑用AAS判定△ABC≌△DEF，则添加∠A=∠D即可。

因此，可以添加的条件为AB=DE或∠A=∠D或∠ACB=∠EFD或AC//FD中的任意一个。

三、全等计数型

（2011年湖南省郴州市中考题）如图2，已知∠1=∠2=90°，AD=AE，那么图中有_________对全等三角形。

解析 根据三角形全等的判定方法来解答，注意不重不漏。图中的全等三角形有：△ADC≌△AEB，△BOD≌△COE，△BDE≌△CED。所以，本题答案填“3”。

四、实际应用型

（2011年湖北省十堰市中考题）工人师傅常用角尺平分一个任意角。作法如下：如图3，∠AOB是一个任意角，在边OA、OB上分别取OM=ON，移动角尺，使角尺两边相同的刻度分别与M、N重合。过角尺顶点C作射线OC。由作法得△MOC≌△NOC的依据是（ ）

A.AASB.SAS

C.ASAD.SSS

解析 根据题意，在△MOC和△NOC中，有OM=ON、CM=CN，还有公共边OC=OC，因此判断△MOC≌△NOC的依据是SSS，故答案选D。

五、推理计算型

（2011年重庆市江津区中考题）如图4，在△ABC中，AB=CB，∠ABC=90，F为AB延长线上一点，点E在BC上，且AE=CF。

（1）求证：Rt△ABE≌Rt△CBF；

（2）若∠CAE=30°，求∠ACF度数。

分析 （1）根据直角三角形的全等的方法判定；（2）利用（1）的结论得出∠BCF=∠BAE=15°，从而求出∠ACF=60°。

解 （1）因为∠ABC=90°，所以∠CBF=∠ABE=90°。

在Rt△ABE和Rt△CBF中，因为AE=CF，AB=BC，

所以Rt△ABE≌Rt△CBF；

（2）因为AB=BC，∠ABC=90°，所以∠CAB=∠ACB=45°。因为∠BAE=∠CAB—∠CAE=45°—30°=15°。由（1）知Rt△ABE≌Rt△CBF，所以∠BCF=∠BAE=15°，所以∠ACF=∠BCF+∠ACB=45°+15°=60°。

六、猜想证明型

（2011年四川省内江市中考题）如图5，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AC=2AB，点D是AC的中点，将一块锐角为45°的直角三角板如图5放置，使三角板斜边的两个端点分别与A、D重合，连接BE、EC。试猜想线段BE和EC的大小及位置关系，并证明你的猜想。

分析 先证明△EAB≌△EDC，可得∠AEB=∠DEC，EB=EC，从而可证得BE和EC的大小及位置关系。

全等三角形考题精选 第3篇

A. 1 对 B. 2 对

C. 3 对 D. 4 对

2.(2015·浙江绍兴)如图,小敏做了一个角平分仪ABCD,其中AB=AD,BC=DC, 将仪器上的点A与∠PRQ的顶点R重合,调整AB和AD,使它们分别落在角的两边上,过点A,C画一条射线AE,AE就是∠PRQ的平分线.此角平分仪的画图原理是:根据仪器结构,可得△ABC≌△ADC,这样就有 ∠QAE=∠PAE.则说明这两个三角形全等的依据是().

A. SAS B. ASA

C. AAS D. SSS

3.(2015·江西省)如图,OP平分∠MON, PE⊥OM于E,PF⊥ON于F,OA=OB.则图中有 _______ 对全等三角形.

4.(2015·湖南娄底)已知AB=BC,要使△ABD≌△CBD,还需要加一个条件,你添加的条件是 _______.(只需写一个,不添加辅助线)

5.(2015·湖南永州)如下图,在△ABC中,己知∠1=∠2,BE=CD,AB=5,AE=2,则CE=________.

6.(2015·福建福州)如图,∠1 = ∠2, ∠3=∠4,求证:AC=AD.

7. (2015·四川宜宾) 如图,AC=DC, BC=EC,∠ACD=∠BCE.求证:∠A=∠D.

8.(2015·湖南永州)如图,在四边形ABCD中,∠A=∠BCD=90°,BC=DC,延长AD到E点,使DE=AB.

(1)求证:∠ABC=∠EDC;

(2)求证:△ABC≌△EDC.

9.(2015·四川南充)如图,△ABC中, AB=AC,AD⊥BC,CE⊥AB,AE=CE.

求证:(1) △AEF≌△CEB;(2) AF= 2CD.

参考答案

1. D 2. D 3. 3

4. AD=CD 或∠ABD=∠CBD

5. CE=3.

6. 证明:∵∠3=∠4,

∴∠ABC=∠ABD.

在△ABC 和△ABD 中,

∴△ABC≌△ABD(ASA).

∴AC=AD.

8.(1)证明:在四边形ABCD中,

(2)证明:连接AC.

《全等三角形》测试题 第4篇

——艾尔夫雷德•怀特海(19世纪、20世纪英国数学家)

一、填空题（每小题4分，共32分）

1． 如图1，△ACB≌△DEF，其中A与D、C与E是对应顶点，则CB的对应边是__，∠ABC的对应角是__.

2． 如图2，沿直线AC对折，△ABC与△ADC重合，则△ABC≌__，AB的对应边是__，AC的对应边是__，∠BCA的对应角是__.

3． 已知△ABC≌△A′B′C′，∠A=60°，∠B=70°，AB=20 cm，则∠C′=__，A′B′=__cm.

4． 已知△ABC≌△A′B′C′，△A′B′C′≌△A″B″C″，则△ABC与△A″B″C″的关系是__.

5． 如图3，已知△ABC≌△DEF，∠B=45°，∠D=70°，则∠ACB=__.

6． 已知△ABC≌△A′B′C′，且△A′B′C′的面积为12.如果BC=4，那么BC边上的高为__.

7． 如图4，在△ABC中，∠CAB=140°.将△ABC绕点A顺时针方向旋转25°后得到△ADE，则∠CAD=__.

8． 如图5，△ABC≌△DEC，∠A∶∠BCA∶∠ABC=3∶10∶5，则∠D=__，∠BCD=__.

二、选择题（每小题4分，共32分）

9． 下列各组图形中是全等图形的是（）.

10． 有下列说法：①所有的等边三角形都全等；②两个全等三角形的最大边是对应边；③两个全等三角形的对应角相等；④面积相等的两个三角形全等.其中正确的有（）.

A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个

11． 如图6，已知△AEC≌△AFB，AE与AF、AC与AB是对应边，则一定和∠EAC相等的角是（）.

A. ∠EAB B. ∠CAB C. ∠FAB D. ∠ACE

12． 如图7，△ABC≌△CDA，AB=4，BC=5，AC=6，则AD的长为（）.

A. 4 B. 5 C. 6 D. 不确定

13． 如图8，AC与BD相交于点O，△AOB≌△COD.若把△AOB绕O点旋转180°，则与点B重合的是（）.

A. 点DB. 点CC. 点AD. 不能确定

14． 如图9，△ABE≌△ACD，∠B=50°，∠AEC=120°，则∠DAC为（）.

A. 120°B. 70°C. 60°D. 50°

15． 如图10，△ABC与△DBE是全等三角形，即△ABC≌△DBE，那么图中相等的角（对顶角除外）有（）.

A. 3对B. 4对C. 6对D. 8对

16． 如图11，在△ABC中，点D、E分别是边AC、BC上的点.若△ADB≌△EDB≌△EDC，则∠C为（）.

A. 15° B. 20° C. 25° D. 30°

三、解答题

17． （6分）图12是用10根火柴棒摆成的一个三角形.你能否只移动其中的3根，摆出一对全等三角形？

18. （6分）如图13，已知△ADE≌△BCF，AD=6 cm，CD=5 cm，求BD的长.

19． （8分）如图14，∠ACB=90°，△ABC≌△DFC.请问：DE与AB互相垂直吗？

20． （10分）如图15，已知△OA′B′是△OAB绕点O沿逆时针方向旋转60°得到的，那么△OA′B′与△OAB是什么关系？若∠AOB=40°，∠B=50°，则∠A′OB′有多大？∠A′与∠AOB′呢？

四、拓展题

21． （12分）如图16，△ABC≌△ADE，且∠CAD=10°，∠B=∠D=25°，∠EAB=120°.试求∠DFB和∠DGB的大小.

22． （14分）如图17，在正方形ABCD中，E是AD的中点，F是BA延长线上的一点，AF=1/2AB.

（1）指出图中线段BE与DF之间的长度关系和位置关系.

略谈《全等三角形》的教学策略 第5篇

一、以多种形式让学生历经探索两个三角形全等的条件的过程。

在探索的过程中, 要以激发学生的学习兴趣为主, 充分调动学生解决问题的欲望, 引导学生动手实验、操作, 发现数学规律, 体验知识的生成过程。教学中, 充分利用纸片裁剪, 几何画板等工具把全等三角形的探究融入情境创设、例题、活动设计及作业的布置, 同时加强学生在现实生活中应用全等三角形解决问题的意识。

1. 变“静”为“动”, 有效运用纸片裁剪三角形并进行图形变换探索三角形全等。

《课程标准》要求我们关注学生的操作能力与创新能力的发展, 学生在小学对图形平移、对称、旋转等变换已有初步的认识, 八年级的学生具有好动、富于想象的个性, 纸片是学生所熟悉的易于取到的原材料, 在了解全等三角形时, 学生通过动手折叠、平移、旋转手中的三角形, 感受全等的涵义, 同时要求学生能迅速找到对应边、对应角。使学生初步建立常见几种位置的全等三角形模型。

在探索判定三角形全等的条件的时候, 引导学生体验“作图裁剪比较归纳应用拓展应用”的学习过程, 充分利用好纸片进行折叠、平移、旋转等图形变换的操作, 以培养学生的观察能力, 动手能力, 想象能力。

2. 教学中, 教师要利用好几何画板动态演示图形的变化及度量功能, 进一步帮助学生探索三角形全等的条件。

在学生探索三角形全等的条件的过程中, 教师可以利用几何画板特有的动态和度量功能帮助学生进一步探究三角形全等的条件, 如在“边角边”判定的探究过程中, 一方面我们可以由几何画板的平移等功能将三角形裁剪并移出, 同时改变图形大小并利用度量功能让学生感受数学从特殊到一般的思想方法。另一方面, 根据裁剪纸片对三角形进行折叠、平移、旋转等图形变换, 我们可以设计几组常见简单位置如下列图形的三角形全等的模型图, 让学生在几何画板动态演示或学生操作纸片的过程中去寻找公共边、公共角等图形隐含条件使之满足三角形全等的条件, 以充分发展学生的几何直觉。

3. 为学生探索三角形全等搭建适当的平台。

首先, 在情境创设方面可以与生活紧密联系, 激发学生解决问题的欲望, 如在“边角边”的引入中, 可以利用多媒体幻灯片播放超人在保卫战中不小心打碎了学校的玻璃, 展示两块破碎的三角形玻璃, 问学生带其中的哪块去装饰店可以配成原来大小形状一样的玻璃。这样, 在调动学生观察、猜测的同时, 也渗透了环保意识教育。其次, 注意给学生提供独立探索及合作学习的空间, 如每次探索出全等三角形的判定条件后, 纸片可以可由部分学生上黑板摆放不同位置的两个三角形, 并给定部分条件, 其余学生练习寻找对应边、对应角。这样, 既培养了学生合作学习的能力, 又为学生学习编题打下了基础。

二、关注学生证明思路的形成及证明格式的书写

1. 推理及格式书写的学习历程应是一个简单到复杂的过程。

全等三角形的学习是学生在学完直线、射线、线段, 角, 平行线的判定等基础后对证明命题的首次学习, 学生刚开始接触推理论证的学习方法, 要求学生准确地表达推理过程是比较困难的, 对证明的推理及格式书写的训练, 可以按“多梯度, 小步走”的原则, 先培养学生对图形的观察能力, 再训练口头表达, 最后进行书写格式的练习。

2. 合理安排推理论证方面学习的教学内容。

对学生推理论证方法的学习在不同的时期应有不同的安排, 依然是按照从简单到复杂的过程安排, 基本可以分成三个阶段, 同时也要重视数学思想的渗透。第一阶段应以培养学生观察能力为主, 要能找到常见的简单位置的两个三角形全等的条件, 并能口头推理, 会简单书写。第二阶段, 会利用三角形的全等证明角和线段相等的相关问题, 能掌握简单的综合法证明格式书写, 体会执果索因及综合法的思考方法。第三阶段, 融入角平分线、平行线等相关概念及性质, 让学生进一步体会综合法分析问题。学有余力的部分学生可以练习位置比较复杂的图形推理。

三、加强全等三角形在生活中的应用意识

1. 在课堂教学中适时地渗入全等三角形在现实生活的应用实例。

教学中, 在情境创设或例题中可以设计与学生生活背景紧密联系的例子, 用全等三角形可以说明实际测量的道理, 如在“边角边”的教学完成后, 拓展应用中可以讲述在抗日战争中一个战士为炸掉敌人的碉堡, 先利用帽檐、视线作为工具看碉堡, 再调整帽檐与视线看可以步行到达位置的树木, 从而测量出与敌人碉堡的距离, 是为什么?这样, 在讲故事的同时就调动了学生积极地利用全等三角形去思考问题。又如测量池塘两端的距离, 测量河两岸的距离, 测量旗杆的高度, 测量内槽的直径等。可以选适当的内容作为课外作业, 让学生去实际操作、测量, 进而感受数学在现实生活中的应用。

2. 布置学生调查生活周围与全等图形有关的资料, 并利用尺规或电脑上由全等图形设计美丽的图案并在班级板报或数学专栏上展示优秀作品。

总的来说, 在《课标》的指引下我们要以学生为主体, 充分挖掘教材, 用“活”教材, 八年级的学生处于学习平面几何的关键期, 全等三角形的教学, 要重视探究过程, 循序渐进, 对于证明格式书写不要急于求成, 应有计划、有步骤地设计发展学生的合情推理能力, 教学中注重数学思想与方法的渗透, 注重全等三角形与现实生活的紧密联系。在实际教学中全等三角形的教学教法、学法还有待我们继续挖掘、探索。

摘要：全等三角形是进一步学习四边形、多边形及圆的重要基础。全等三角形的教学, 要重视探究过程, 循序渐进, 对于证明格式书写不要急于求成, 应有计划、有步骤地设计发展学生的合情推理能力, 使学生增强全等三角形在现实生活中的应用意识。

变化多端的全等三角形 第6篇

一、平移

例1(2016·湖北武汉)如图1,点B、E、C、F在同一条直线上,AB=DE,AC=DF,BE=CF,求证:AB∥DE.

【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质,解题的关键是根据已知条件结合图形选择合适的方法.要证AB∥DE,需证∠ABC=∠DEF,因此考虑证明它们所在的两个三角形全等.已知有两组边分别相等,再证明另一组边分别相等,利用“SSS”证明即可.具体步骤:

【点评】纵观本题,图中的△DEF与△ABC是通过平移得到的,平移不改变图形的形状和大小,平移前后对应线段相等且平行(或在同一直线上).在有两组对应边分别相等的前提下,可以求第三组对应边相等,或者求两组对应边的夹角相等,注意必须是夹角;若有三组对应边分别相等,则可以直接根据“SSS”求解.已知两边和其中一边的对角分别相等,不能判定三角形全等,即不存在“SSA”判定三角形全等的方法.如图2所示,AB=DE,∠B=∠DEF,AC=DF,但是△ABC与△DEF不全等.

二、轴对称(翻折)

例2(2016·江西)如图3,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,将Rt△ABC向下翻折,使点A与点C重合,折痕为DE,求证:DE∥BC.

【分析】本题考查了三角形的折叠和平行线的判定,解题的关键是运用轴对称图形的性质.要证明DE∥BC,必须考虑到∠AED=∠ACB=90°,而如何得到∠AED=90°,就联想到ED平分一个平角,这可以由折叠得到.

【点评】图中的△ADE与△CDE是通过折叠得到的,折叠属于轴对称变换,根据轴对称图形的性质,折叠前后图形的形状和大小不变,进而可以找出位置变化前后相应的角相等,线段相等,进而转化为全等判定的条件.

三、旋转

例3(2016·湖北荆门)如图4,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,点D、E分别在AB、AC上,CE=BC,连接CD,将线段CD绕点C按顺时针方向旋转90°后得CF,连接EF.

(1)补充完成图形;

(2)若EF∥CD,求证:∠BDC=90°.

【分析】本题是一道作图与证明的综合题,其中涉及直角三角形、图形的旋转、全等三角形的判定、平行线的性质等,在解第(2)问时,关键是得到△BCD≌△ECF,结合条件推出∠F=90°,通过全等三角形对应角相等,得到∠CFE=∠BDC=90°.具体步骤:

【点评】图中的△CEF是通过旋转△CBD得到的,旋转不改变图形形状和大小,旋转角相等,由此可以得到相应的角相等,为全等三角形的判定和角度的计算提供了条件.

四、旋转与平移的组合

例4(2016·河北)如图6,点B、F、C、E在直线l上(F、C之间不能直接测量),点A、D在l异侧,测得AB=DE,AC=DF,BF=EC.

(1)求证:△ABC≌△DEF;

(2)指出图中所有平行的线段,并说明理由.

【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质,关键是寻找全等三角形判定的条件.第(1)问中,已知两边分别相等,再根据BF=EC得BC=EF,可根据“SSS”证得△ABC≌△DEF;(2)由△ABC≌△DEF可得∠ABC=∠DEF,∠ACB=∠DFE,再根据“内错角相等两直线平行”可证得AB∥DE,AC∥DF.具体步骤:

“五步法”突破全等三角形的证明 第7篇

我校山区学生较多, 面对全等三角形的证明题, 他们往往不知从何做起.虽然有很少一部分同学表面上知道方法, 但他们叙述不清楚, 说不出理由, 几乎不会写逻辑推理的过程.因此, 才有了“几何几何, 磨烂脑壳, 老师怕讲, 学生怕学”这种诙谐的说法.在此, 笔者根据自己的教学经验, 尝试运用以下五个步骤来解决全等三角形的证明问题.

步骤一:分析题目与图形

首先, 教师应引导学生认真审题, 弄清楚题目中所涉及的数学概念和专业术语的含义, 并结合图形, 理清已知条件, 明确求证内容.为了能使条件一目了然, 可以在已知条件前标注序号, 也可以将已知条件在图形中相应位置直接标注出来.此外, 图形中往往还有一些隐含条件, 比如, 对顶角、公共边、公共角等, 它们也是已知条件, 在证明中常常具有举足轻重的作用, 需要学生火眼金睛, 最大限度地从图形中挖掘有用信息.下面就举例具体分析一下.

例1如图, AC和BD相交于点O, OA=OC, OB=OD.求证:DC//AB.

认真审题后, 学生容易整理出两个已知条件: (1) OA=OC, (2) OB=OD.在此基础上, 教师可以引导学生在已知条件前标注数字序号, 并在图中相应位置进行标记.如, 学生可以在一组相等的线段上标注一点 (或者用红笔涂色) , 在另一组相等的线段上标注两点 (或者用蓝笔涂色) .这样一来, 所有的信息就都集中在图形上, 一目了然, 便于学生根据求证的内容迅速从图形中搜寻相关信息, 并且根据证明的需要挖掘隐含条件———对顶角相等.

步骤二:确定证明思路, 找到证明的条件

熟记定理是进行几何证明的前提.在证明过程中, 定理是联系题目中题设和结论的“桥梁”.例如, 要想证明两个三角形全等, 首先要把判定定理记得滚瓜烂熟, 只有这样, 才能在证明时审时度势, 深入探究已知条件和所求结论之间的内在联系, 确定具体使用哪个定理判定三角形全等, 并在此基础上, 进行严密的证明.证明命题时, 通常有以下三种思维模式:

1.正向思维.即执因索果, 证明的思路是从已知条件出发, 最终得出题目的结论.对于思路明了的简单题目, 通过正向思考, 不难得出答案.这种思维模式一般用于求线段的长度、角的度数等.

2.逆向思维.即由果导因, 证明的思路是从结论出发, 一步步探寻使结论成立的条件, 故称为“逆向思维”.在判定三角形全等的题目中, 使用逆向思维往往能使证明的思路更清晰, 证明的过程更简洁, 避免走弯路.如, 在例1中, 要想证明结论DC//AB, 就从结论出发, 找出使DC//AB成立的条件.根据平行的判定定理, 一般有三种思路: (1) 同位角相等, 两直线平行; (2) 内错角相等, 两直线平行; (3) 同旁内角互补, 两直线平行.结合图形不难看出, 从判定定理 (2) 内错角相等, 两直线平行入手, 即可证明.接着再寻找使定理 (2) 成立的条件——内错角相等.这样一来, 解题的目标从证明两直线平行转化为证明两个角相等.而在初中几何中, 要想证明两个角相等, 一般可以通过证明两个三角形全等, 进而得到对应角相等.通过两步推导, 题目变成了常规证明题———求证两个三角形全等.根据判定定理可知, 要证明两个斜三角形全等, 一般要具备三个条件.而此题题目中已经给出了两个条件, 即两组对应边分别相等.回顾所学的斜三角形全等的四个判定定理——AAS, ASA, SAS和SSS, 不难发现, 涉及两组对应边分别相等的判定定理只有SAS和SSS.所以, 此时要么想办法证明第三组对应边也相等, 要么确定两组对应边的夹角相等.带着这个任务回归图形, 寻找隐含条件, 发现由于AC与BD相交于点O, 显然OA与OB的夹角和OC与OD的夹角恰为对顶角, 不难推知, 用SAS即可证明△DOC与△BOA全等, 从而得到DC//AB.

逆向思维流程图如下:要证明两直线平行→ (找两直线平行的条件) 内错角相等→ (找角相等的条件) 证明三角形全等→接着找斜三角形全等的三个条件→根据题目所给条件并结合图形, 确定所用的判定定理.

3.从已知条件和结论同时出发, 综合使用正向思维和逆向思维, 得到结论.

步骤三:规范地书写证明过程

书写判定三角形全等的证明过程, 要求步骤清楚, 格式规范, 每一步都要有理有据.在教学中, 常常会出现这样的情况:学生能大致口述证明思路, 但不知道该如何书写证明过程, 或者有的学生索性先把已知条件全部罗列, 然后直接得出结论 (即题目的求证部分) .因此, 教师应教会学生使用标准的格式书写证明过程, 并重点强调以下要点:

1.证明哪两个三角形全等, 首先要写清楚在哪两个三角形中.

2.书写三角形全等的三个条件时, 用哪个判定定理, 就按照该定理的字母顺序相应地在大括号内罗列边和角.如, 例1, 用SAS证明, 就按边角边的顺序在大括号中相应地写出对应的边和角, 并着重强调这个角是两边的夹角, 避免学生误用判定定理进行证明.

3.写的时候, 对应点要写在对应位置上.

按照上述要求, 教师可向学生示范例1规范的书写格式.

步骤四:反思证明过程

反思是将解题思路升华的过程.学生证明完毕后, 教师应该指导学生反思证明过程.

第一, 反思证明思路.

第二, 反思如何规范地书写证明过程.

第三, 反思假如以后遇到类似的题目, 该怎么做.

步骤五:教会学生善于收集经典例题, 并把题型归类

全等三角形的证明题浩如烟海, 在教学中, 教师要引导学生抓住经典例题, 逐步掌握一些基本的证明方法, 归纳出带有规律性的一般结论, 力求举一反三.

在教学过程中, 教师可以改变经典例题的条件或者结论, 再让学生证明, 同时让学生自己把同类型的题目归类.比如, 哪些图形有隐含条件, 哪些题目用正向思维, 哪些题目用逆向思维等;或者说证明线段相等一般用什么方法, 证明角相等又用哪些方法, 在哪些图形中该怎么作辅助线等。既提高了学生的归纳总结能力, 又提高了学生的数学素养.

中考数学全等三角形问题教学探析 第8篇

关键词：中考数学,全等三角形,思想方法

全等三角形是研究图形的重要工具, 只有掌握好全等三角形的有关知识, 并能灵活应用才能学好四边形、圆等后续内容, 是中考的重要考点之一。根据全等三角形的定义:两个能够重合的三角形叫做全等三角形, 全等三角形的对应边相等, 对应角相等。全等三角形的判定方法有 (1) SAS; (2) ASA; (3) AAS; (4) SSS。对直角三角形全等的判定除以上方法外, 还有HL, 同时谨记:两个三角形的两边和一角对应相等, 或两个三角形的三个角对应相等, 这两个三角形不一定全等。中学生要熟悉掌握全等三角形的证明方法, 并在解题中灵活运用, 总结规律和方法, 有效提高数学成绩。

一、应注意问题和思想方法

(一)

应用全等三角形性质解决问题的前提是准确地确定全等三角形的对应边和对应角, 其规律主要有以下几点: (1) 以对应顶点为顶点的角是对应角; (2) 对应顶点所对应的边是对应边; (3) 公共边 (角) 是对应边 (角) ; (4) 对顶角是对应角; (5) 最大边 (角) 是对应边 (角) , 最小边 (角) 是对应边 (角) 。同时, 全等三角形的对应边和对应角可以依据字母的对应位置来确定, 如若△ABC≌△DEF, 说明A与D、B与E、C与F是对应点, 则∠ABC与∠DEF是对应角, 边AC与边DF是对应边。另外, 运用三角形全等可以证明两线段或两角相等, 在直接找不到两个全等三角形时, 可考虑添加辅助线构造全等三角形。

(二) 思想方法。

(1) 转化思想:应用全等三角形的知识解决测河宽、测池塘宽、测工件内径等实际问题就是转化思想的运用; (2) 运动变化思想:在研究三角形全等时, 经常会出现三角形按照某种特定的规律变化, 需要运用运动变化的思想进行解决; (3) 构造图形法:在直接找不到两个全等三角形时, 常常通过平移、对称、旋转等图形变换的方法构造全等三角形; (4) 分析综合法:从已知条件出发探索解题途径的方法叫综合法;从结论出发不断寻找使结论成立的条件与已知条件关系的方法叫分析法;两头凑的方法就是综合运用分析综合法去寻找证题的一种方法。

二、全等三角形题型分类解析

(一) 添加条件型

【例1】如图, 点E在AB上, AC=AD, 请你添加一个条件, 使图中存在全等三角形, 并给予证明。所添条件为＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿, 你得到的一对全等三角形是△＿＿＿＿＿＿≌△＿＿＿＿＿＿＿。

【解析】本题是一道条件和结论同时开放的试题。所添条件为CE=DE、∠CAB=∠DAB、BC=BD等条件中的一个, 可得到△ACE≌△ADE或者△ACB≌△ADB。证明过程略。

(二) 结论开放型

【例2】如图, △ABC中, ∠ACB=90°, AC=BC, 将△ABC绕点C逆时针旋转角α (0°<α<90°) 得到△A1B1C1, 连结BB1。设CB1交AB于D, A1B1分别交AB、AC于E、F。在图中不再添加其它任何线段的情况下, 请你找出一对全等的三角形, 并加以证明 (△ABC与△A1B1C1全等除外) 。

【解析】这是一道结论开放的试题, 由题目所隐含的条件易得△CBD≌△CA1F, 或△AEF≌△B1ED或△ACD≌△B1CF。以证△CBD≌△CA1F为例。∵∠ACB1+∠A1CF=∠ACB1+∠BCD=90°, 所以∠A1CF=∠BCD, 因为A1C=BC, ∴∠A1=∠CBD=45°, 所以CBD≌△CA1F。

(三) 阅读归纳型

【例3】我们知道, 两边及其中一边的对角分别对应相等的两个三角形不一定全等。那么在什么情况下, 它们会全等?

(1) 阅读与证明:对于这两个三角形均为直角三角形, 显然它们全等;对于这两个三角形均为钝角三角形, 可证它们全等 (证明略) ;对于这两个三角形均为锐角三角形, 它们也全等, 可证明如下:

已知:△ABC、△A1B1C1均为锐角三角形, AB=A1B1, BC=B1C1, ∠C=∠C1。

求证:△ABC≌△A1B1C1 (请你将下列证明过程补充完整)

证明:分别过点B, B1作BD⊥CA于D, B1D1⊥C1A1于D1, 则∠BDC=∠B1D1C1=90°,

因为BC=B1C1, ∠C=∠C1, 所以△BCD≌△B1C1D1, BD=B1D1。

(2) 归纳与叙述:由 (1) 可得到一个正确结论, 请你写出这个结论。

【解析】: (1) 又因为AB=A1B1, ∠ADB=∠A1D1B1=90°所以△ADB≌△A1D1B1, 所以∠A=∠A1, 又因为∠C=∠C1, BC=B1C1, 所以△ABC≌△A1B1C1。

(2) 若△ABC、△A1B1C1均为锐角三角形或均为直角三角形或均为钝角三角形, AB=A1B1, BC=B1C1, ∠C=∠C1, 则△ABC≌△A1B1C1。本题的问题情境新颖, 既有阅读又有补充证明过程, 既有类比又有归纳, 突出考查学生的综合素质, 别具一格。

(四) 组合探索型

【例4】如图, 在△ABC和△DEF中, D、E、C、F在同一直线上, 下面有四个条件, 请你在其中选3个作为题设, 余下的1个作为结论, 写一个真命题, 并加以证明。 (1) AB=DE, (2) AC=DF, (3) ∠ABC=∠DEF, (4) BE=CF。

【解析】已知:AB=DE, AC=DF, BE=CF。

求证:∠ABC=∠DEF

证明:因为BE=CF, 所以BC=EF;因为AB=DE, AC=DF, 所以△ABC≌△DEF, 所以∠ABC=∠DEF。这类问题条件和结论都不确定, 需要答题者认定条件和结论, 然后组合成一个新命题, 在按题目具体要求给出必要的证明。本题可以构造三个不同命题, 而且正确的命题不止一个。

总之, 全等三角形是初中数学有关三角形教学的重要内容, 也是中考数学必考内容之一。学好全等三角形对于解答三角形、四边形、圆等综合性题目都有帮助, 教师要能够充分总结和归纳有关全等三角形的解答技巧和方法, 培养学生的解题能力。

参考文献

[1]邓安邦.全等三角形与相似三角形.天府数学, 1998 (6)

怎么教学生“全等三角形” 第9篇

下面本人说说自己粗浅的做法。

一、实物展示三角形

让学生观察实物，摆脱了抽象性，克服了难理解的弱点，从而更容易使学生记住该公理、定义或定理，更容易使学生学会灵活运用该公理、定义或定理。在解题时，更容易从已知入手，发现题中角与角、边与边等之间的关系。找到解题的钥匙，进一步解决问题。那么怎样制作实物三角形呢？现在不管有多偏僻的农村学校，硬纸是很容易找到的，彩色粉笔也很容易买到。教师每天把当天所讲的有关三角形都按照图形的原形扩大10倍在硬纸上画出来，然后再剪下来，并把不同的三角形涂上不同的颜色。特别是当两个三角形有一部分重合时，教师更要这么做，否则学生就明白不了。如：本人在讲解下面这个练习题时，事先就按上述方法做了准备工作。

已知：如图，AB=AC，点E、点F分别是AC、AB的中点，求证：BE=CF.从原图上看，这两个三角形重合了， 很多学生明白不了为什么BE与CF分别是两个不同的三角形的边？

要证明这两个三角形全等为什么可以通过“SAS”来证明。因本人做出了两个不同颜色的全等三角形，并把它们按照图形重叠了。在讲解时，本人反复展开与重叠，并边展开边指出相等的两组边，相等的两个角（即重叠的角）。这样学生很快就明白了。从此以后，学生在解题遇到类似的情况就很清楚了。

二、教师每天上课前要细研教材

教师坚持每天上课前细研教材，把教材的内容彻底弄清楚弄明白。本节课所讲的三角形全等的重点在哪？难点在哪？教师在课堂怎么抓重点，对于难点，教师应怎么讲解，学生才懂，教师都应铭记在心，还应写在备课本上。教师在讲解每个定义与定理时，要结合实物进行讲解，同时要求每个学生能背下来。教师经常抽查学生背诵情况。初中阶段，学生所学的三角形全等一共有5个定理，其中普通三角形有4个，直角三角形有一个。

即：①两边及其夹角分别相等的两个三角形全等，通常简写成“边角边”或“SAS”。②两角及其夹边分别相等的两个三角形全等；通常简写成“角边角”或“ASA”。③两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等，通常简写成“角角边”或“AAS”。④三边分别相等的两个三角形全等。通常简写成“边边边”或“SSS”。⑤斜边、直角边定理。斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等，通常简写成“斜边、直角边”或“HL”。

三、怎样教学生解题

教师在教完普通三角形全等时，归纳得出：无论证明哪两个普通三角形全等，必须要有三个条件成立。其中至少有一个条件是一组对应边相等，否则这两个普通三角形不会全等，同时教师要教会学生在图中用不同的颜色标出相等的条件，这样便于发现已知条件，便于找到缺少的条件，从而证明缺少的条件，当三个条件都有了，然后才写两个三角形全等。教师应引导学生思考，已经知道哪些条件了，还缺少哪些条件就可以运用哪个定理来证明。同时特别指出，所缺的条件必须要通过证明成立才成立，不要说看起来像就成立，不要想当然。在选择哪个定理来证明时，要选择最简单的，不要走弯路。另外应特别强调“HL”定理只适合直角三角形，在运用“HL”定理时，前面必须指出在Rt△什么与Rt△什么中，如：在Rt△ABC与Rt△DEF中，然后，才可以运用“HL”定理来证明。

四、要教会学生识别角与边的所属

有很多学生在证明三角形全等时，随随便便把一组角相等或一组线段相等，当作三角形全等的直接条件，常常犯错。例如：已知：如图，点B，F，C，E在同一条直线上，AC//FD，∠A=∠D，BF=EC，求证：△ABC≌△DEF

题目中的BF不属于△ABC的边，EC也不属于△DEF的边，所以BF=EC不能作为△ABC≌△DEF的直接条件，但很多学生常把它作为直接条件来解题， 那没说的就错了。我们只能由BF=EC得到BF+FC=EC+FC，即BC=EF，然后把BC=EF作为△ABC ≌ △DEF的直接条件才可以。

本人教初中数学20多年，常用上面的方法来教学生三角形全等，效果还可以。

三角形全等 第10篇

一、平移

平移:在平面内,将一个图形沿某个方向移动一定的距离,这样的图形运动称为平移.“一定的方向”称为平移方向,“一定的距离”称为平移距离.

平移特征:图形平移时,图形中的每一点的平移方向都相同,平移距离都相等.

解题时要抓住平移前后两个图形是全等的,弄清平移后不变的要素.

例1 (2008·呼和浩特)将图1中的矩形ABCD沿对角线AC剪开,再把△ABC沿着AD方向平移,得到图2中的△A′B′C′,其中E是A′B′与AC的交点,F是A′C′与CD的交点. 在图2中除△ADC与△C′B′A′全等外,还有几对全等三角形(不添加辅助线和字母)?请一一指出,并选择其中一对证明.

分析本题是开放题,应先确定选择哪对三角形,再对应三角形全等条件求解.三角形全等条件必须是三个元素,并且一定有一组对应边相等.

解答:(1)△AA′E≌△C′CF.

(2)△A′DF≌△CB′E.

证明:(1)∵四边形ABCD是矩形,

∴AD//BC,∴∠DAC=∠ACB.

由平移的性质得:∠ACB=∠C′,AA′=CC′,∠AA′E=∠C′CF=90°,

∴∠DAC=∠C′.

∴△AA′E≌△C′CF.

(2)∵四边形ABCD是矩形,

∴AD=B′C′,且∠DAC=∠ACB,由平移的性质得:AA′=CC′,∠D=∠B′=90°,∠ACB=∠C′,∴A′D=CB′.

又∠DA′F=∠C′,∠ECB′=∠ACB,

∴∠DA′F=∠ECB′,∴△A′DF≌△CB′E.

【点评】本题重点考查了三角形全等的判定定理,普通两个三角形全等共有四个定理,即AAS、ASA、SAS、SSS,直角三角形可用HL定理,但AAA、SSA无法证明三角形全等.

二、旋转

旋转:在平面内,将一个图形绕一个定点沿某个方向转动一个角度成为与原来全等的图形,这样的图形运动叫做图形的旋转,这个定点叫做旋转中心,图形转动的角叫做旋转角.

旋转特征:图形旋转时,图形中的每一点旋转的角都相等,都等于图形的旋转角.

解题时要抓住旋转前后两个图形是全等的,弄清旋转后不变的要素.

例2(2013·攀枝花)如图3所示,在△ABC中,∠CAB=75°,在同一平面内,将△ABC绕点A旋转到△AB′C′的位置,使得CC′//AB,则∠BAB′=().

A. 30° B. 35°

C. 40° D. 50°

分析:根据旋转的性质可得AC=AC′,∠BAC=∠B′AC′,再根据两直线平行,内错角相等求出∠ACC′=∠CAB,然后利用等腰三角形两底角相等求出∠CAC′,再求出∠BAB′=∠CAC′,从而得解.

解答:∵△ABC绕点A旋转到△AB′C′的位置,

∴ AC=AC′,∠BAC=∠B′AC′,

∵ CC′//AB,∠CAB=75°,

∴∠ACC′=∠CAB=75°,

∴∠CAC′ =180° -2∠ACC′ =180° -2×75°=30°,

∵∠BAB′=∠BAC-∠B′AC,

∠CAC′=∠B′AC′-∠B′AC,

∴∠BAB′=∠CAC′=30°.

故选A.

【点评】本题考查了旋转的性质,主要利用了旋转变换只改变图形的位置不改变图形的形状与大小的性质、等腰三角形两底角相等的性质、平行线的性质.

三、翻折

翻折:翻折是指把一个图形沿某一直线翻折180°后所形成新的图形的变化.

翻折特征:平面上的两个图形,将其中一个图形沿着一条直线翻折过去,如果它能够与另一个图形重合,那么说这两个图形关于这条直线对称,这条直线就是对称轴.

解题时同样是抓住翻折前后两个图形是全等的,弄清翻折后不变的要素.

例3 (2013·十堰)如图4所示,将△ABC沿直线DE折叠后,使得点B与点A重合. 已知AC =5 cm,△ADC的周长为17 cm,则BC的长为( ).

A. 7 cm B. 10 cm

C. 12 cm D. 22 cm

分析:首先根据折叠可得AD=BD,再由△ADC的周长为17cm可以得到AD+DC的长,利用等量代换可得BC的长.

解答:根据折叠可得:△ADE≌△BDE,从而得到AD=BD,

∵△ADC的周长为17 cm,AC=5 cm,

∴ AD+DC=17-5=12(cm),

∵ AD=BD,∴ BD+CD=12 cm.

故选C.

【点评】本题主要考查了翻折变换,关键是掌握折叠是一种对称变换,它属于轴对称,折叠前后图形的形状和大小不变,位置变化,对应边和对应角相等.