球面并联机构范文（精选5篇）

球面并联机构 第1篇

机构实体制造中只能尽力减小各种误差, 而不可能彻底消除误差, 为此并联机构运动学模型中的理想结构参数与实际结构参数之间必然存在偏差, 这样并联机构运动精度就会受到影响。并联机构在加工完成后, 不靠改变本体结构及控制系统硬件部分解决精度问题, 经济且有效的方法之一就是运动学标定[1,2,3,4,5]。运动学标定通常包含4个步骤:建立运动学标定模型、末端执行器位姿测量、参数识别、误差补偿[4]。文献[1]构造了具有分层递阶格式的参数辨识模型, 研究了少自由度并联构型装备运动学标定方法;文献[2]得到了相对位置测量的标定参数识别矩阵, 为少自由度并联机床的标定提供了较为通用的解决方案;文献[3]提出了一种基于相关性分析的并联机床标定方法, 有效简化了标定过程, 为并联机床标定提供了新思路;文献[4]通过改进标定建模方式将测量参考系与运动参考系统一, 消除了测量的系统误差, 提高了并联机器人的标定精度;文献[5]提出了一种基于逐次逼近算法的运动学参数标定方法, 并借助三自由度并联坐标测量机进行了计算机仿真验证。综合上述标定研究方法, 基于球面5R并联机构特点, 本文提出采用运动学外部标定法对球面5R并联机构样机进行运动学标定, 即利用外部传感器检测末端位姿误差, 构造其与模型计算值间的残差, 进而通过相应的逆解辨识模型识别几何参数。

1 球面5R并联机构及标定用位置反解模型

球面并联机构中最简单的结构形式是球面2自由度5R并联机构。该机构具有重要的实际应用价值, 例如作为球面上点的定位设备[6]及卫星自动跟踪设备[7]等。

如图1所示, 该并联机器人选取广义参考点P作为输出, 具有沿球面曲线移动的2个自由度, 它通过两个串联3R运动链分支PB1A1、PB2A2与固定平台弧A1A2相连接, 该机构所有运动链的转动副轴线皆交汇于球心O点, 为此, 与i连杆相关的D-H参数偏置di、杆长ai (i=1, 2, , 5) 均为零, 即ai=0, di=0, Ri (i=1, 2, , 5) 为各转动副中心到球心O点的距离, 各转动副轴线间夹角 (即对应连杆圆心角) 分别为αi (i=1, 2, , 5) , 相邻连杆所在平面间夹角分别为θi (i=1, 2, , 5) , 其中θ1、θ5为驱动角。固连在第i根连杆上的局部坐标系 (简称i系) 原点皆为球心O点, xi (i=1, 2, , 5) 轴沿各转动副轴线方向, yi (i=1, 2, , 5) 轴位于i连杆所在平面上且在实体杆一侧, zi (i=1, 2, , 5) 轴垂直于对应连杆所在平面, 构成右手直角坐标系。基坐标系Ox0y0z0与坐标系Ox5y5z5重合。

Ti (i=1, 2, , 5) 为基于D-H参数相邻i (i=1, 2, , 5) 连杆坐标系之间的逆向变换矩阵。即

Ti-1 (i=1, 2, , 5) 为基于D-H参数的相邻i (i=1, 2, , 5) 连杆坐标系之间的正向变换矩阵。即

转动副B1在分支坐标系Ox1y1z1中坐标为

b11=[R20 0]T

b11由式 (1) 变换到基坐标系Ox0y0z0中坐标为

转动副B2在分支坐标系Ox4y4z4中坐标为

b15由式 (2) 变换到基坐标系Ox0y0z0中坐标为

主轴OP的轴线矢量为p, p的位置坐标为p=[x y z]T, 令p与z5轴夹角为, p在Ox5y5平面上投影与x5轴正向的夹角为φ。有

根据机构结构特点, 可以得到如下约束方程[8]:

并整理得

令tan (θi/2) =ηi, 则sinθi=2ηi/ (1+ηi2) , cosθi=1-ηi2/ (1+ηi2) , 有

所以求得

2 误差参数的确定及运动学标定建模

采用D-H参数, 基于环路增量法构建球面5R并联机构理论误差模型[9]:

其中, dX1、dX2分别为末端执行器测量位置和姿态上的测量值与理论值之间的偏差矩阵;W1、W2分别为该测量位置和姿态的参数识别矩阵, 均为37维矩阵, 是并联机构位姿的函数;dU1、dU2分别为位置和姿态误差参数识别矩阵, 均为71维矩阵, 其中

式中包含了全部原始误差源, 即dai (i=1, 2, , 5) 表示各转动副轴间距误差 (包括各转动副间隙误差) ;ddi (i=1, 5) 表示驱动副轴向间隙量;dαi (i=1, 2, , 5) 表示机构的连杆参数误差;dθi (i=1, 5) 表示驱动关节运动参量误差。

标定模型的简化过程如下:对于连杆参数误差dαi (i=1, 2, , 5) 以及各转动副轴间距误差dai (i=1, 2, , 5) , 由于在实际加工中, 选定同一个加工基准, 通过镗床加工与电机轴相连的机架上的两个轴承座上的孔, 一次成形, 严格按120°分布, 精度由镗床保证 (0.02mm) , 这样可保证结构参数α5以及两个电机轴线通过球心的精度, 即在标定模型中可以不考虑dα5和da5的影响。对于各转动副中心点距球心半径Ri (i=1, 2, , 5) , 其误差可由各转动副轴向间隙量ddi (i=1, 2, , 5) 来修正。由文献[9]可知, ddi (i=2, 3) 可由各转动副轴间距误差dai (i=1, 2, , 5) 与驱动副轴向间隙量ddi (i=1, 5) 以及结构和运动参数显式表达, 因此在标定模型中只考虑驱动转动副在电机轴上的安装位置误差, 即驱动副轴向间隙量ddi (i=1, 5) ;同时在标定中认为输入误差无控制, 即不考虑dθi (i=1, 5) 的影响, 则标定模型可简化为

式中, dX′1、dX′2分别为标定模型简化后末端执行器测量位置和姿态上的测量值与控制值之间的偏差矩阵;W′1、W′2分别为标定模型简化后测量位置和姿态的参数识别雅克比矩阵;W′1为36维矩阵;W′2为34维矩阵;dU′1、dU′2分别为标定模型简化后位置和姿态误差参数识别矩阵;dU′1为61维矩阵;dU′2为41维矩阵。

式 (7) 即为该机构最终标定模型, 通过最小二乘法来求解, 理论上只要W′1和W′2非奇异, 标定过程就可以进行。

3 末端执行器位姿测量

3.1 基于PMAC并联机构控制系统

球面5R并联机构样机如图2所示, 该运动控制系统采用“PC机+运动控制卡”的主从分布式结构体系, PC机实现人机界面接口及后台管理与运算。系统采用的是TURBO PMAC2CLIP-PER运动控制卡, 实现前台实时运动控制与检测, PC机与TURBO PMAC2CLIPPER的通讯功能通过Ethernet实现。TURBO PMAC2CLIPPER控制1号、2号伺服电机。考虑到电机通过减速比为40∶1的减速机与机构相连, 系统选择400W带有17位增量式编码器的松下伺服电机, 并使伺服放大器工作于位置控制模式下。在以PMAC为核心控制器的系统中, PMAC卡为用户提供了PID+速度/加速度前馈+NOTCH滤波的控制环算法, 能够满足大部分应用场合的要求, 本系统即采用这种控制算法。

3.2 测量坐标系建立及采样点位姿测量

位于基座的两个电机轴孔, 精度由镗床加工保证。通过三坐标测量机 (图3) 测量功能可以确定出两条电机轴线, 并以“.igs”格式保存数据到三维绘图软件中, 如图4所示。规划样机运动轨迹如图5所示, 由点 (0, 0, 410) (mm) 出发, 先绕y轴旋转20°, 再绕z轴逆时针旋转360°, 最后再绕y轴旋转20°回到起始点, 在规划轨迹上取24个测量点, 其理论数值如表1、表2所示。控制样机在24个测量点处分别暂停30s, 由三坐标测量机采集数据, 记录下样机运动轨迹采样点处位置坐标数据, 并将其和由测量确定的两条电机轴线保存在同一个igs文件中, 注意前后测量过程均在由三坐标测量机确定的同一个测量坐标系中完成。在Solidworks软件中可以打开此文件进行处理, 通过Solidworks软件的测量功能, 可以测得两条电机轴线的最大距离为0.0532mm, 满足样机精度要求。由此进一步在Solidworks软件中利用两条电机轴线处理出一个近似的球心 (误差不超过两条电机轴线的最大距离) , 并以此为原点建立和标定与位置反解模型一致的测量坐标系, 如图4所示。这样就可以通过Solidworks软件的测量功能, 将三坐标测量机记录下的采样点重新测量并记录数据, 这些数据就是样机运动轨迹采样点处的实际位置坐标, 并可由这些数据在并联机构测量坐标系中进一步折算出对应采样点的实际姿态, 其测量数值如表1、表2所示。

4 参数识别及误差补偿

4.1 参数识别及误差补偿流程

参数识别是并联机器人运动学标定中的一个核心环节。这一过程是将并联机器人运动学测量数据代入运动学标定模型中, 通过有效的数据处理手段来辨识出并联机器人机构的实际结构参数, 并将这些所得参数植入机构的标定用位置反解模型中代替原有的结构参数, 从而实现并联机构末端的运动学误差补偿。整个参数识别的计算过程是通过MATLAB软件编程来实现的, 根据文献[5, 10]提出计算流程, 如图6所示。

(1) 在初始时刻, k=0 (k为迭代次数) , 机构的结构参数识别矩阵Uk=U0, 其中U0为理想结构参数。

(2) 将Uk代入标定用位置反解模型中修正结构参数即进行误差补偿, 将修正后得到的位置反解作为机构驱动输入, 控制样机按规划轨迹运动, 并利用三坐标测量机获取机构末端执行器的实际位置矩阵Xjk, j为测量位置点序号, j=1, 2, , 24。

(3) 用实际位姿和理论位姿作差求出末端执行器位置误差dX1jk和姿态误差dX2jk, 分别得到24组数据, 分别组合成两个原始误差矩阵dX1k和dX2k, 两个矩阵均为721维矩阵。

(4) 计算末端执行器位置误差dX1k和姿态误差dX2k的模数‖dX1k‖和‖dX2k‖, 并利用该模数值作为迭代运算终止条件, 即取合适的正数ε, 当‖dX1k‖ε和‖dX2k‖ε同时满足时, 迭代过程结束, 并取此时的结构参数识别矩阵Uk中的元素作为机构的实际结构参数Ua, 若‖dX1k‖>ε和‖dX2k‖>ε有一个条件不满足, 则程序继续下一次迭代。

(5) 计算机构的参数识别雅克比矩阵W1和W2。

(6) 计算dU1k和dU2k:

(7) 利用Uk+1=Uk+dUk进行修正, 同时迭代计数加1 (k←k+1) , 转至步骤 (2) 继续执行程序, 直到满足‖dX1k‖ε和‖dX2k‖ε为止。

4.2 参数识别及误差补偿结果

参数识别是测量-计算-再测量这样一个循环进行的过程, 本次标定共进行了5次上述实验过程, 得到最终参数辨识结果如表3所示, 标定前后位置和姿态误差如表4、表5所示。

为了评价运动学标定效果, 定义综合误差值[11]

作为误差评价指标, 依据表4、表5中相关数据, 可以得到标定前后机构末端执行器运动学位置和姿态综合误差, 如图7、图8所示。从图7、图8中可以看出标定后, 并联机构的位姿精度得到了明显的改善, 标定前位置精度的平均误差为4.40mm、姿态精度的平均误差为0.74°;标定后, 位置精度的平均误差为1.23mm, 姿态精度的平均误差为0.21°, 精度提高了近4倍。而且可以看出x、y、z的单方向跳动值也有明显的减小。

4.3 算法及误差分析

在实际的运算过程中, 若采用标定模型式 (6) 直接对样机进行标定运算, 其参数识别雅克比矩阵W1和W2分别为727维的矩阵, 经观察发现矩阵第4列、第5列数值大小十分接近, 导致矩阵接近奇异, 算法失效。在标定模型中经过简化处理后可以不考虑dα5和da5的影响, 进而在标定运算中, 将第5列去掉进行计算, 保证了算法的有效性。同时这也是本标定方法的一个缺陷, 若在机构加工前没有进行模型简化, 不能严格保证两个电机轴孔加工精度, 就会导致方法失效。

5 结论

(1) 基于D-H参数建立了包含球面5R并联机构全部结构参数的标定用位置反解模型, 通过参数辨识结果对其进行修正, 使反解模型更接近于样机实际。

(2) 针对实体样机, 通过三坐标测量机确定了机构的测量坐标系, 实现了测量参考系与运动参考系的统一, 方便了末端执行器位姿的测量。

(3) 建立了机构位置和姿态运动学标定简化模型, 通过位置误差、姿态误差同时对样机结构参数进行修正, 收敛速度快, 经过5次迭代, 精度可提高近4倍, 验证了标定方法的有效性。

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球面并联机构 第2篇

人形机器人是机器人领域最活跃的分支之一,其关节的结构和性能直接决定其整体性能,受到国内外学者的广泛关注。人体肌肉群多以并联驱动的形式来完成关节运动。

三自由度球面机构具有结构紧凑、灵活可靠等特点,可用于人体髋关节[1]、灵巧眼[2,3]等,实现空间三自由度的转动。众多学者对该机构进行了分析研究。Tao等[4]提出了一种基于增大机构工作空间和减少杆件之间干涉的系统设计方法,并依据此方法得到了3-RRR球面并联机构的优化结果。杨加伦等[5]基于旋量理论计算,探讨了正交三自由度球面机构位置正反解的方法,获得了机构的雅可比矩阵,运用牛顿迭代法求解得到了3个被动角的数值解,利用指数积公式直观地得到了该机构的位置正解。Saafi等[6]在对三自由度球面机构正运动学进行分析时,采用了冗余传感器的方法,使运动学正解变得简单化,控制精度也大大提高了。文献[2-3,7-12]也对三自由度球面机构进行了相关研究。

另有众多学者对髋关节也进行了深入研究。日本东京大学提出了一种双球面髋关节运动单元,该运动单元采用双球面作为机构原型,具有6个自由度[13]。程刚等[14,15]对3SPS+1PS并联机构的设计和控制进行了分析,对机构的工作空间进行了优化,将此机构应用到人体髋关节,并制作了髋关节实物样机。

侯雨雷等[1]以3-RRR三自由度球面并联机构为原型,在其静力学及刚度特性分析基础之上,从仿生学角度出发,通过植入中心球面副的方式,提出可应用于人形机器人髋关节的3-RRR+(S-P)球面并联机构,实现了静力卸载及刚度均衡。

目前的研究都是对球面机构进行运动学、动力学分析,鲜有将其与人体构型结合,基于仿生关节分析进行关节设计。本文则从仿生学角度出发,通过确定机构偏置角度和安装定位角度,将偏置输出3-RRR+(S-P)球面并联机构[16]应用于人体髋关节,给出仿生关节空间与机构空间的映射关系,求解基于偏置输出3-RRR+(S-P)球面并联机构仿生髋关节的运动学正反解。在此基础上,对本机构模型进行数值验证和具体人体髋关节信息采集分析,进一步说明本文分析结果的正确性和仿生关节的应用价值。

1 仿生髋关节空间与人体空间的协调性

人体髋关节的结构属于传统被动球面铰链结构,但是其运动空间明显大于传统被动球面铰链的工作空间[16,17]。研究人体髋关节结构发现,人体股骨与传统被动球面铰链的输出杆有明显不同:股骨整体呈弯拐状,股骨颈与股骨体夹角为55°~62°,如图1所示。同时,人体髋关节的运动范围也存在一定规律性,表1所示为医学统计数据。

人体髋关节在运动过程中各个角度间存在耦合,关系十分复杂,为近似获得人体髋关节的运动空间,基于上述数据,同时假定髋关节各个关节运动角度间相互独立,则可获得人体髋关节最大运动空间的形状,如图2所示。

依据仿生设计原则,为使仿生髋关节工作空间包含或等于人体髋关节空间,达到最优仿生效果,将偏置输出3-RRR+(S-P)球面并联机构应用于仿生髋关节,其输出杆轴线向任意方向偏折,释放输出杆绕z轴的转动对机构输出的影响,从而扩大机构的工作空间。

偏置输出的3-RRR+(S-P)仿生关节机构如图3所示。偏置输出杆轴线与直输出杆轴线的夹角称为偏摆角αh。偏置输出杆的末端点P与球心的连线OP是实际输出杆轴线,OP的长度定义为Lt,它与直输出杆轴线的夹角称为偏置角t,其表达式为

其中,αh为股骨骨干与股骨颈的夹角。在本仿生机构中,t为动平台z轴与OP的夹角,αh为动平台z轴与输出杆轴线的夹角。

依据人体尺寸模型,机构球半径r0取80mm、股骨颈长度取90mm,大腿(按身高1700mm设计)为473mm。则得到t的取值范围约为46°~54°。

为便于分析,建立机构的结构参数和坐标系如下(图3):α1、α2、β1、β2、η1i、η2i(i=1,2,3),球半径R,其中,η1i(i=1,2,3)为zi1(i=1,2,3)与z11在下平台的投影所成角度;η2i(i=1,2,3)为zi3(i=1,2,3)与z13在上平台投影所成角度。zi1、zi2、zi3为过球心的三条转动副轴线。选取机构的中心点O为坐标原点,建立固定坐标系{C}(Ox0y0z0)、动坐标系{D}(Oxyz)和偏置坐标系{P}(Ox1y1z1)。其中,固定坐标系与支撑杆固连,z0轴与支撑杆轴线重合,正向向上,x0轴由z0轴转到z11轴及右手螺旋法则确定,y0轴由右手螺旋法则确定;动坐标系与输出杆固连,z轴与直输出杆轴线重合,正向指向外,x轴由z轴转到z13轴及右手螺旋法则确定,y轴由右手螺旋法则确定;偏置坐标系与输出杆固连,假定直输出杆和偏置输出杆所构成的平面与Ozy面重合,取OP为z1轴,正向向外,x1轴与x轴正向重合,y1轴由右手螺旋法则确定。

当t=0°时,偏置输出的3-RRR+(S-P)仿生关节机构的安全工作空间的形状及相对固定坐标系的位置如图4所示。当46°≤t≤54°时,仿生关节机构的安全工作空间变大,其形状及相对固定坐标系的位置如图5所示。

对比图2与图5不难发现,偏置输出3-RRR+(S-P)球面并联机构的安全工作空间可以完全覆盖人体髋关节的最大运动空间,它完全可以满足机构工作空间与人体髋关节运动空间的协调性要求。综上,该偏置输出3-RRR+(S-P)球面并联机构满足仿生运动要求,可应用于仿生髋关节。

2 安装定位角度与空间映射关系

2.1 安装定位角度α0、β0、γ0

经研究人体骨盆和髋关节的实际结构发现,髋关节的髋臼的中心线并不是位于球窝的中心位置,而是向前下方倾斜的,与各个平面均存在一定的夹角:髋臼中心射线与水平面成30°~40°的夹角,与冠状面之间的夹角呈30°~40°。股骨在矢状面内运动范围较大(-45°~120°),人体髋关节球窝的特点是中性线与水平面存在夹角,男性比较大,约为22°~30°,女性的约为20°~25°,如图6所示,同时,(无论男女)其中性线均向前偏转约12°~20°(与冠状面夹角)。股骨结构如图1所示,股骨骨干呈弯拐形状向两侧伸出,股骨颈与股骨骨干夹角约50°~60°[18]。

在进行仿人髋关节设计时,需考虑髋关节应如何摆放安装,使机构的工作空间(输出杆运动范围)与人的肢体运动范围相协调,两个空间的中心区域重合或机构的工作空间覆盖肢体运动空间。因此按照人体特征,以及仿生关节机构工作空间的对称特性,为确定安装位置,本文提出了基准坐标系相对过渡坐标系安装定位角:α0、β0、γ0,下标“0”表示髋关节。

为获得安装定位角,建立过渡坐标系{B}。{B}中z′0轴与人体坐标系{A}的ym轴重合,正向相同;x′0轴与人体坐标系zm轴重合,方向相反;y′0轴与人体坐标系xm轴重合,正向相反;两坐标系原点重合,即过渡坐标系用Ox′0y′0z′0表示,如图7所示。

机构的固定坐标系{C}(Ox0y0z0)(初始位姿与过渡坐标系重合)绕过渡坐标系{B}(Ox′0y′0z′0)三次旋转:绕z′0轴反向旋转γ0,绕y′0轴反向旋转α0,绕x′0轴正向旋转β0,使机构的零点位姿所对应的偏置杆端部轴线z1恰好处于关节运动空间区域的中心区域附近,同时满足偏置杆在矢状面内运动范围较大(-45°~120°),见图8。

安装到人体中的机构与人体坐标系如图9所示,此时机构的固定坐标系改称为机构在人体中的基准坐标系。根据人体的实际结构,保证机构工作空间与肢体运动范围相协调,兼顾机构工作空间的对称特性,经过反复计算和比对,取基准坐标系相对过渡坐标系安装定位角α0=25°,β0=20°,γ0=45°。

2.2 仿生关节空间与机构空间映射关系

具有偏置输出的三自由度球面并联仿生关节的输入端为3个驱动电机的转角θ11、θ21、θ31;输出端则为关节肢体在人体坐标系的三个摆角φxzt、φyzt、φzzt,由于关节采用偏置输出、机构在人体中的定位姿态不同,因此两端参数的关系比较复杂。必须建立仿生关节空间与机构工作空间的映射关系,即基于安装定位角度α0、β0、γ0,建立3-RRR+(S-P)并联机构动平台位姿角φx、φy、φz与关节肢体的3个摆角φxzt、φyzt、φzzt的关系。再利用3-RRR+(S-P)并联机构的运动学反解,最终求得3个驱动电机的输入转角与关节肢体的3个摆角的关系。

由图7可知过渡坐标系{B}在人体坐标系{A}中的描述如下:

式中,AX′0、AY′0、AZ′0分别为X′0、Y′0、Z′0三个轴方向在人体坐标系中的表达。

基准坐标系{C}在过渡坐标系{B}中的描述如下:

式中,s代表sin,c代表cos,下同。

基准坐标系{C}在人体坐标系{A}下的描述为

进一步变换,得到人体坐标系{A}在基准坐标系{C}中的描述:

根据动坐标系在固定坐标系中的描述,求得偏置坐标系{P}在基准坐标系{C}中的描述为

另一方面,肢体运动位姿为φxzt、φyzt、φzzt时,关节肢体上的坐标系{I}在人体坐标系{A}中的描述为

肢体在基准坐标系中描述如下:

整理得

式(4)、式(5)为同一构件经由不同的途径在同一坐标系下的描述,矩阵中的所有元素对应相等,即

解方程组求得机构的姿态角函数

依据仿生学原理,经上述过程,定义本仿生髋关节在人形机器人中的安装定位角度为α0、β0、γ0,依据该定位角度和偏置输出角t,综合给出了肢体运动空间与3-RRR+(S-P)机构空间映射关系(φxzt、φyzt、φzzt与φx、φy、φz之间的关系,即式(2)~式(5)),再结合仿生髋关节运动学正反解,就可完成本髋关节的设计和控制系统输入输出的关系。

3 仿生髋关节运动学正反解

3.1 运动学反解

3-RRR球面并联机构的反解为已知球面三自由度机构上平台相对于下平台的姿态,求输入转角。根据中间转动副ωi和动平台转动副νi之间的约束关系ωi·νi=cosα2(i=1,2,3)可求得机构的运动学反解:

将相关参数代入式(7)整理得髋关节运动学反解:

其中,参数θ11h、θ21h、θ31h为髋关节驱动器输入角,根据装配条件表达式中的“±”应取“-”,Ai、Bi、Ci是已知参数和机构参数的函数表达式。

3.2 运动学正解

3-RRR球面并联机构的正解为已知球面三自由度机构输入转角,求上平台相对于下平台的姿态矩阵,利用两点间距离在不同坐标系中的表达不变,求解运动学正解[8]。

中间转动副轴线方向矢量可表示为在定系中的表达和在动系中的表达。

在定系中的表达式为

在动系中的表达式为

其中,φi为中间转动副的转角,i=1,2,3。

由以上分析将动坐标系{D}和定坐标系{C}之间的转换矩阵设为DCR,则有

所以有

求具有偏置输出的三自由度球面并联仿生髋关节的正解,即是给定主动输入转角θi1,求得偏置输出杆的姿态矩阵PCR,又有PCR=PDRDCR,而PDR为已知,故只需求得DCR。在动坐标系和定坐标系下,两点之间的距离是一样的,即有

当输入转角给定时,由上可知|ωi-ωj|的值为已知量,令|ωi-ωj|等于e、f、g,则有|ω′i-ω′j|等于e、f、g,所以有|ω′i-ω′j|2等于e2、f2、g2,将已知条件代入,可得到一组关于被动转角φi的闭环代数方程,即

式中,dk、hk、lk(k=1,2,…,9)为已知参数和机构参数的函数表达式。

引入半角公式:

将半角公式代入式(13),并经过消元最终整理得

其中,A16,A15,…,A1,A0为已知参数和几何参数的函数表达式。可解出t2,从而得到φ2,将其代入式(12)、式(14)可得出φ1和φ3,进而可得出正解姿态矩阵PCR。

4 数值验证与模拟实验

4.1 数值验证

原型机构基本参数:α1=90°,α2=90°,β1=60°,β2=45°,上下平台铰链点分别位于等边三角形顶点上,即η11=η21=0,η12=η22=2π/3,η13=η23=4π/3。结合上文求得的安装定位角度,同时取偏置角度t=50°,使用空间间的映射关系,对髋关节在不同运动姿态时,基准坐标系的偏转角进行求解。

如图4所示,3-RRR+(S-P)球面并联机构的安全工作空间为:φx0、φy0在(-63°,63°)内,φz0在(-90°,90°)内,由表2中的计算结果可清晰看出,各个运动姿态所需在基准坐标系的旋转角度,均在机构的安全工作空间内,故该仿生关节可实现人体髋关节的各个运动姿态。

4.2 模拟实验

基于上述模型分析,为进一步验证安装角度和偏置角度的合理性,建立映射关系和正反解的正确性,及该仿生关节复现人体运动的能力,设计并进行了模拟实验。具体模拟实验的过程如下:如图10所示,使用可穿戴式完全无线3D身体惯性跟踪仪及磁性运动跟踪器,采集人体髋关节在外伸、内收、前摆和后摆这些髋关节实际运动状态下的位姿信息。依照前文获得的数学映射关系、偏置角度t和安装定位角度,将传感器采集到的信息数据(图11)在MATLAB下进行整合处理,实现信息由人体关节空间到该机构空间的变换,再利用求解的正反解关系,可获得模型驱动的角速度随时间变化的关系,图12是其中一个驱动关节的角度、角速度随时间变化的关系。

将运算得到的关节驱动信息,作为已建立模型的驱动输入,导入到ADAMS模型中,进而校验模型偏置端的运动姿态与实际人体关节姿态的关联性。由于篇幅限制,本文只将髋关节屈伸运动(前后摆腿运动)的模拟结果予以展示,图13为ADAMS中测绘到的仿生髋关节偏置端绕x轴转角变化曲线。

从实验结果易于看出,在人体大腿往复进行4次前后摆动的过程中(图13),人体大腿部分绕x轴的转动角度变化约在-15°~58°,忽略步伐间的误差,4次中彼此运动变化规律相仿,该运动近似呈周期性,符合人体实际运动规律。ADAMS仿真模型的偏置端角度(偏置端轴线与竖直垂线夹角)变化为-14.76°~56.38°,结合图11、图12和图14,仪器测得的偏置端绕人体x轴的角度随时间的变化关系与仿真结果相仿,误差在10-5(°)(图15),该仿生髋关节基本上复现人体前后摆腿过程。

忽略具体人体与所建模型存在的差异性,该仿生髋关节的运动输出和实际人体关节运动相仿,故本文所建立偏置输出3-RRR+(S-P)球面并联仿生髋关节的机构空间和人体关节空间映射关系和正反解运算是可以应用到实际仿生关节控制和信息处理的算法中的,同时也说明了本文建立的偏置角度和安装定位角度的合理性。

5 结论

(1)仿生关节空间可覆盖髋关节的运动空间。提出基于3-RRR+(S-P)机构的关节机构工作空间与人体髋关节运动空间相协调的设计原则,进而确定关节机构的安装定位角度,完成人形机器人髋关节的设计。

(2)从仿生学角度建立了该机构的工作空间与人体关节的运动空间的映射关系,并给出了仿生髋关节运动学正反解的解析表达式。

球面并联机构 第3篇

球面三自由度并联机构中最具代表意义的机构为3-3R球面并联机构[1,2],这种机构的静动平台用3条完全相同的3R运动链连接,所有转动副轴线汇交于机构转动中心。Gosselin等[3,4]对3-3R球面并联机构作了系统研究,在3-3R球面并联机构的运动学分析、奇异研究、尺寸综合等方面取得大量开拓性成果,并研制出了摄像定位装置灵巧眼。黄田[2]首次提出了3-3R球面并联机构全参数解析尺度综合法,刘辛军等[5,6]应用空间模型理论系统地研究了3-3R球面并联机构的优化。

在球面转动并联机构构型综合方面,Karouia等[7]研究了非对称球面并联机构的型综合。Kong等[8]用螺旋理论研究了对称球面三自由度并联机器人的型综合,得到了许多新的球面并联机构。Gregorio等[9]提出了3-URC球面并联机构。李秦川等[10]提出了3-PC(RR)N球面三自由度并联机构,其分支运动链由一个带环形导轨的移动副PC和两个转动副(RR)N(下标N表示3个分支中转动副的轴线都交于一点)构成,由于引入了带环形导轨的移动副PC,因此该机构动平台绕z轴的转动自由度和其他转动自由度解耦。

本文对3-PC(RR)N球面并联机构的运动学进行分析,推导位置逆解和雅可比矩阵,给出可达工作空间和灵活工作空间的数值搜索方法,分析该机构的约束奇异和运动学奇异,给出样机的运动学分析。

1 3-PC(RR)N并联机构的运动学分析

1.1 3-PC(RR)N球面三自由度并联机构的结构参数

3-PC(RR)N球面三自由度并联机构如图1所示,每条支链由一个带有环形导轨的移动副PC和两个转动副R组成;全部3条支链中的6个转动副的轴线都交于一点,该点称为机构中心点。

滑块实际上只能绕环形导轨的中轴线转动,滑块的刚体运动为一个转动轴线沿z轴且过中心点的一维转动位移子群{R(N,z)},因此在运动学上,带有环形导轨的移动副PC等价于一个转动副Rz,此处下标z表示沿z轴方向,转动副Rz的轴线和环形导轨的中轴线重合,3-PC(RR)N球面三自由度并联机构在运动学上等价于图2中的3-(RzRR)N球面三自由度并联机构。

一般的3-3R球面并联机构包含4个独立的结构参数[6],而3-PC(RR)N球面并联机构只有2个独立的结构参数。考虑到工作空间的对称性,与动平台相连的3条转动副轴线与动平台所在平面构成一个等腰四面体。令3-PC(RR)N球面并联机构中心点为定坐标系ox0y0z0的原点,如图2所示。为计算方便,设o为所有坐标系的原点。ox1y1z1为动平台的连体坐标系,这里z0垂直于定平台,z1垂直于动平台。

初始位置时,x1与y0重合,3个相邻的下连杆间的夹角为120°,动平台与定平台平行。定义ηi1(i=1,2,3)为下连杆i在定坐标系下的位置角:

ηi1=2(i-1)π/3+θi (1)

式中,θi为下连杆i相对于初始位置转过的角度。

在坐标系ox1y1z1下,与动平台相连的转动副轴线在动平台上的投影的位置可以由角ηi2表示:

ηi2=2(i-1)π/3+η (2)

式中,η为z12在动平台上的投影与x1的夹角。

设γ为侧面棱边间的夹角,β为半锥角,α为上连杆的结构角,并有

$\sin \beta =\frac{2}{\sqrt{3}}\sin \frac{\gamma }{2}(3)$

图3为3-PC(RR)N球面并联机构初始状态时的简图。坐标轴zi1平均分布在一个圆上,z11和z21、z21和z31、z11和z31的夹角均为120°,x1与z11平行,zi2与zi1的夹角为α,zi2与z0的夹角为β。非奇异状态下,zi2的位置有两种情况,即在zi1的右边或左边,所以3-PC(RR)N球面并联机构共有8种工作模式。如图2所示,zi2在zi1的左边(从机构外看zi2),当α、β确定后,

3-PC(RR)N机构基本构型确定,而动平台中心o′到球心o的距离是可调整的。

由图3可见,η为zi2在定平台上的投影与zi1的夹角,通过几何关系得到

$|\eta |=\arccos \frac{\cos \alpha }{\sin \beta }(4)$

因此,3-PC(RR)N机构只有α和β两个独立参数。

1.2 位置反解

位置反解的主要目的是在结构参数和动平台欧拉角φ1、φ2和φ3给定的情况下,计算出下连杆转过的角度。动平台相对于定坐标系的坐标变换矩阵R01由欧拉变换表示:

设oxi1yi1zi1为下连杆i的连体坐标系,zi1与转动副Ai的轴线方向一致,xi1垂直于zi1和z0。oxi2yi2zi2表示上连杆的连体坐标系,zi2与转动副Bi的轴线重合,xi2垂直于zi2和z1。R0i1为从ox0y0z0到oxi1yi1zi1的坐标变换矩阵,R1i2为从ox1y1z1到oxi2yi2zi2的坐标变换矩阵。以上两个坐标变换的D-H参数如表1所示。

R0i1和R1i2可表示为

$\mathit{R}{}_{0i1}=\left[\begin{array}{ccc}\begin{array}{l}\\ \cos \eta {}_{i1}\end{array}& \begin{array}{l}\\ 0\end{array}& \begin{array}{l}\\ -\sin \eta {}_{i1}\end{array}\\ \sin \eta {}_{i1}& 0& \cos \eta {}_{i1}\\ 0& -1& 0\end{array}\right](6)$

$\mathit{R}{}_{1i2}=\left[\begin{array}{ccc}\begin{array}{l}\\ -\sin \eta {}_{i2}\end{array}& \begin{array}{l}\\ -\cos \eta {}_{i2}\cos \beta \end{array}& \begin{array}{l}\\ \cos \eta {}_{i2}\sin \beta \end{array}\\ \cos \eta {}_{i2}& -\sin \eta {}_{i2}\cos \beta & \sin \eta {}_{i2}\sin \beta \\ 0& \sin \beta & \cos \beta \end{array}\right](7)$

令ui和vi分别表示为沿转动副Ai和Bi轴线方向的单位矢量,于是得到

ui=R0i1e3=(uix,uiy,uiz)T (8)

vi=R01R1i2e3=(vix,viy,viz)T (9)

显然向量ui和vi满足以下约束方程:

uTivi=cosα (10)

将式(8)和式(9)代入式(10)得

Aisinηi1+Bicosηi1+Ci=0 (11)

Ai=-[(c1c3-s1c2s3)cosηi2sinβ+

(-c1s3-s1c2c3)sinηi2sinβ+s1s2cosβ]

Bi=(s1c3+c1c2s3)cosηi2sinβ+

(-s1s3+c1c2c3)sinηi2sinβ-c1s2cosβ

Ci=-cosα

将ti=tanηi1/2代入式(11),得

Eit${}_i^2$+2Fiti+Gi=0 (12)

Ei=Ci-BiFi=AiGi=Ci+Bi

所以有

$\eta {}_{i1}=-2\arctan \frac{F{}_i\pm \sqrt{F{}_i^2-E{}_{i}G{}_i}}{E{}_i}(13)$

从式(12)可以发现ηi1有2个解,所以3-PC(RR)N球面并联机构共有8组解。

1.3 雅可比矩阵

利用文献[11]中求一般球面并联机构速度雅可比矩阵的方法,得3-PC(RR)N球面并联机构的输出角速度与输入角速度关系:

$\mathit{\omega }=\mathit{J}\dot{\mathit{\theta }}(14)$

J=J${}_2^{-1}$J1

J1=diag((z0u1)Tv1,(z0u2)Tv2,(z0u3)Tv3) (15)

z0=[0 0 1]

$\mathit{J}{}_2=\left[\begin{array}{c}\begin{array}{l}\\ \mathit{u}{}_1\mathit{v}{}_1\end{array}\\ \mathit{u}{}_2\mathit{v}{}_2\\ \mathit{u}{}_3\mathit{v}{}_3\end{array}\right]{}^{\text{Τ}}(16)$

式中,$\dot{\mathit{\theta }}$为主动关节的角速度向量,$\dot{\mathit{\theta }}=(\dot{\theta }{}_1,\dot{\theta }{}_2,\dot{\theta }{}_3){}^{\text{Τ}}$;ω为动平台的角速度向量,ω=(ωx,ωy,ωz)T;J为从主动关节角速度到动平台角速度的映射矩阵。

1.4 可达工作空间与灵活工作空间

工作空间是机器人末端执行器上的参考点所能达到的范围,工作空间又分全工作空间、可达工作空间、灵活工作空间和有效工作空间等等。可达工作空间指机器人末端参考点可达到的空间点的集合;灵活工作空间指给定任意姿态,机器人末端参考点都能达到的空间点的集合。令动平台中心o′表示动平台位置参考点。向量oo′与z1重合,向量oo′可表示动平台的法向量。当机构各参数确定后,o′始终处于一球面上。

考虑到连杆与连杆、连杆与静动平台、动平台与静平台间的干涉,以及下连杆的行程限制等因素,3-PC(RR)N球面并联机构的可达工作空间是球面的子集。利用逆运动学分析,我们可以得到o′的行程范围。设定φ1、φ2、φ3的范围分别为0°～360°、-90°～90°、0°～360°。当给定动平台的一个位置与姿态时,我们将判断是否存在一个输入满足这样的输出。同时,在程序中应当考虑所有的干涉。

灵活工作空间又是可达工作空间的一部分,为方便程序设计和更直观地表达出机构的灵活工作空间,本文采取从可达工作空间中去掉非灵活工作空间部分来表示灵活工作空间。这时,φ1、φ2、φ3的范围取为可达工作空间的范围,若给定一组φ1、φ2、φ3的值,但是位置逆解不存在实数解,则可认为由该φ1、φ2、φ3确定的位置不属于灵活工作空间。由于灵活工作空间与可达工作空间的搜索范围不同,所以事实上是分两步执行的。图4给出了确定工作空间的流程图。

1.5 奇异分析

1.5.1 约束奇异

在少自由度并联机构中,当机构的分支约束螺旋线性相关时,机构约束螺旋系的最大线性无关数将减少,导致机构瞬时自由度增加,该现象称为约束奇异[12]。每条PC(RR)N支链施加给动平台3个线性无关的约束力[13],施加在动平台上的9个约束力线性相关,并且最大线性无关数为3,使得机构的自由度不能增加。所以,3-PC(RR)N球面并联机构不存在约束奇异。

1.5.2 运动学奇异

当并联机构发生运动学奇异时,雅可比矩阵的行列式的值为零或无穷大。Gosselin[14]将并联机器人的奇异分为三类。

对于3-PC(RR)N球面并联机构,当J1的行列式为0,即存在非零向量$\dot{\mathit{\theta }}$使得向量ω为零向量时,发生第一种奇异,从式(15)可以得到要使|J1|为零,需满足

(z0ui)Tv1=0 i=1 or 2 or 3 (17)

式(17)的几何意义为至少存在一组向量z0、ui和vi共面,即环形导轨中轴线和上连杆的两个转动副轴线共面,由于z0与定平台垂直,因而必然要求机构至少存在一条PC(RR)N支链,其平面(即ui与vi构成的平面)与定平台平面垂直。

第二种奇异发生在|J2|=0时,即使锁定主动关节,动平台仍可瞬时运动,从式(16)可以得到|J2|=0的条件,由定义可知,ui和vi不重合,因此要求由uivi得到的3个向量共面。由于u0、u2、u3共面,因而存在两种情况:一种情况是由uivi确定的3个平面重合,另一种情况是由uivi确定的3个平面相交于一条公共轴 。若出现第一种情况,则v1、v2和v3共面,而此时v1、v2和v3不可能构成等腰锥体的三个侧边,所以这种情况不会发生。考虑第二种情况,当α+β=90°,下连杆以120°的角间距平均分布,此时机构的3条PC(RR)N支链平面与定平台垂直,由(ui,vi)分别确定的三个平面相交于一条公共轴,该公共轴为坐标轴z0。因此得出结论,当机构的结构参数满足α+β=90°时将出现第二种奇异。

当J1和J2的行列式同时为0时发生第三种奇异。此时,主动关节输入和末端执行器输出不为零,且不会影响各自的瞬时运动,这种奇异的发生与动平台的位置和姿态无关,而与机构参数有关。由以上分析得知当α+β=90°,下连杆以120°的角间距平均分布时,3-PC(RR)N球面并联机构的|J1|和|J2|同时为零,发生第三种奇异。

2 3-PC(RR)N球面并联机构样机

2.1 样机基本结构参数

图5所示为3-PC(RR)N球面三自由度并联机构样机,用3个行星轮和1个中心轮来替代具有环形导轨的移动副PC,3个步进电机驱动3个行星轮,主要参数如表2所示。应该指出,由于电机没有固定在定平台上,增加了运动部分质量,从而会影响整机的动态特性。

2.2 样机工作空间

由于动平台可实现绕z轴的连续圆周转动,在不考虑连杆间相互干涉的情况下,3-PC(RR)N球面并联机构完整的可达工作空间在x0y0平面上的投影应是一个中心圆加上一些相互隔离的同心圆环。

对于图5所示的3-PC(RR)N样机,当向量vi的z轴分量大于零并且下连杆的位置在其行程范围之内时,机构不发生干涉。以此为条件,可按1.4节中所述的方法得出该样机无干涉可达工作空间,如图6所示,从中我们可以看到它是一个球冠,动平台法向量z1与定平台法向量夹角的最大值为46.002°。图7为样机无干涉灵巧工作空间,即球冠中心空白的部分。动平台法向量z1与定平台法向量夹角的最大值为是16.002°。

改变机构尺寸α和β的值,能增大3-PC(RR)N球面的灵巧工作空间,在不考虑机构干涉的情况下,取α=90°,β=80°时,动平台法向量z1与定平台法向量夹角可达最大值80°。对3-3R球面并联机构,当α1=90°,α2=90°时,动平台法向量z1与定平台法向量夹角可达90°,即整个上半球面。

2.3 样机奇异位形

因为3-PC(RR)N球面并联机构的动平台可以以任意姿态绕z0轴作360°旋转,当输入转角θ1、θ2、θ3分别增加相同的角度值θ时,该机构的结构不发生变化,只是动平台绕z0轴转过θ角。此时虽然θ1、θ2、θ3的值不同,但相邻分支中两根下连杆间的夹角保持不变。令下连杆1和下连杆2的夹角为σ1,下连杆2和下连杆3的夹角为σ2,下连杆3和下连杆1的夹角为σ3。当|J1|=0,σ1、σ2、σ3为78.9059°、182.2566°、98.8375°时,如图8b所示,样机发生第一类奇异,此时样机的一个分支平面正好与定平台垂直。

当|J2|=0时,σ1、σ2、σ3为279.2034°、0°、80.7966°或σ1、σ2、σ3为297.6665、62.3335°、0°,此时两个分支中的下连杆重合,样机在结构上不能实现,因此样机在其工作空间内不会发生第二种奇异。由于第二种奇异不能发生,显然样机也不能发生第三种奇异。

3 结论

(1)3-PC(RR)N球面并联机构只有α和β两个独立结构参数,在一定程度上简化了其运动学分析。

(2)动平台可绕z轴连续转动360°,3-PC(RR)N球面并联机构的可达工作空间和灵活工作空间均为一球冠,这和一般3-3R并联机构的工作空间有明显差别。

(3)选取合适的结构参数,可以避免3-PC(RR)N球面并联机构第二种和第三种运动学奇异的发生。

球面并联机构 第4篇

关键词：机器人,弹药装填,并联球面腕关节,粒子群算法,优化

0 引言

本文依据弹药装填机器人灵巧度和可达工作空间要求,将球面并联机构引入装填机器人的设计中[1,2],并针对并联机器人空间约束条件,运用粒子群优化算法对装填机器人3-RRR并联球腕关节进行了优化设计。

1 装填机器人并联球面腕关节及数学模型

由于大负载高冲击的要求,弹药装填机器人需设计一种合适的腕关节,图1是为弹药装填机器人设计的3-RRR并联球腕关节三维结构模型与简化模型。整个3-RRR并联球面腕关节为对称机构,自由度为3,是一种角台形式结构,由静角台、动角台和三组由具有一定弧度的连架杆和连杆构成,其中固连在静角台上的伺服电机与连架杆、连架杆与连杆、以及连杆与动角台间用转动副铰接,各转动副轴线汇交于球面机构的转动中心。在伺服电机的驱动下,动角台绕转动中心相对于静角台转动,从而实现三维空间的转动[3]。该机构的特点是所有运动副均采用双面支撑,联接下平台(动角台)的3个运动副、中间的3个运动副和联接上平台的3个运动副参考中心分布在同一个球面上,为正交机构。3-RRR并联球面腕关节结构紧凑,刚性高,承载能力强,实际工作空间较大且对称。

以球腕关节的回转中心为原点,静、动角台上分别建立固定参考系O-X0Y0Z0和O-X'0Y'0Z'0。连体系。连杆与动角台相连转动副轴线的单位矢量分别为ui、vi和wi(i=1,2,3)。z0和z'0分别与下、上角台的底面垂直,x0和x'0轴分别位于ui与z0,wi与z'0所张成的平面内,则动角台的姿态矩阵可表示为

其中,ψ1,ψ2,ψ3分别为进动角,章动角,自旋角,且ψ3=Φ-ψ1。

2 装填机器人并联球腕关节运动分析

图2为3-RRR并联球腕关节平面机构简图,该结构对称,三个固定点构成三角形A1A2A3,其与动平台三个连接点构成的三角形B1B2B3均为等边三角形,三根驱动杆AiCi的长度相同,三根连接杆CiBi的长度也相等。

3RRR并联机器人的设计尺寸主要有四个:驱动杆AiCi的长度、连接杆CiBi的长度、三角形B1B2B3外接圆半径和三角形A1A2A3外接圆半径,现分别使用l1、l2、r1和r2表示上述参数。

在其上建立直角坐标系Oxy,其原点O和点A1重合,Ox轴和A1A2重合;建立运动坐标系O'x'y',它固定在动平台上,其原点和点B1重合,O'x'轴和B1B2重合。

在直角坐标系Oxy中,Ai点和Ci点的坐标分别为

其中,θi为驱动杆AiCi和Ox轴的夹角。

在运动坐标系O'x'y'中,Bi点的坐标为

设0'点在直角坐标系Oxy中的坐标为(x,y)以及Ox'轴和Ox轴的夹角为α。由于杆组CiBi的长度相等,因此经过推导,得该球腕关节的运动学方程组

对(2)式两侧求导,得

其中

将(6)式记为MX=Nθ

当矩阵M非奇异时,有X=M-1Nθ

上式转化为fi(x)=X-M-1Nθ

令J=M-1N,矩阵J就是3-RRR并联机器人球腕关节机构的雅克比矩阵。

3 装填机器人尺寸参数的优化

并联球腕关节机器人的雅可比矩阵定义为关节空间到操作空间之间速度的映射矩阵,它是描述机器人运动学特征的重要参量。当机器人接近奇异形位时,其雅可比矩阵将成为病态的矩阵,从而使机器人的输入与输出运动之间的传递关系失真,衡量这种运动失真程度的指标就是灵巧度。机器人的灵巧度以机器人雅可比矩阵的条件数作为评价指标进行评价,认为条件数越接近1时机器人的性能越好,当条件数为1时机器人处于最佳的运动学传递状态,此时的机器人位形可称为运动学的各向同性。

3-RRR并联球腕关节机器人机构的雅克比矩阵得出后,为了确定机器人的设计参数,就要保证其可达工作空间的要求,然后在此基础上以灵巧度为目标进行搜索[4,5]。

首先对机器人参数范围进行进一步确定。当l1=l2且时,3-RRR并联机器人球腕关节的工作空间比较大,且容易找到没有空洞的尺寸组合。以上述结果作为对参数范围的进一步约束,在参数空间中进行搜索:先确定工作空间,然后在工作空间中搜索灵巧度最小值,经过比较灵巧度最小值来确定机器人的尺寸参数。

(5)式为3-RRR并联球腕关节机器人位置解的适应度函数。

则可得优化算法流程如下:

1)在参数空间中给定一组尺寸组合并初始化运算条件:群体规模m,平面机构空间维数n=2,设定随机位置和尺寸参数,且令k=2;

2)确定一定直径范围的圆(即搜索空间)的工作空间,计算每个位置的适应度值fitness(Xj(k))(j=1,2,...,m),将初始位置作为个体历史最优位置Pj,并求全局最优位置Pg。在设定直径范围内进行搜索,如果有一点不在该机器人的工作空间内,则返回1)步骤;

3)对每个解位置,用式(1)和式(2)计算速度Vj(k=1)和下一代位置Xj(k=1);

4)对每个解位置,将其适应度值fitness(Xj(k))与其历史最好位置Pj的适应度值fitness(Pj)比较,若较好,则将其作为当前的最好位置Pj;

5)对每个解位置,将其适应度值fitness(Xj(k))与全局所经历的最好位置Pg的适应度值fitness(Pg)比较,若较好,则重新设置Pg;

6)若达到终止条件则结束,返回当前全局最优个体Pg即为结果;否则,k←k=1,转3)步;

7)同理,使用前述粒子群算法在工作空间中寻找最小灵巧度;

8)重复上述步骤,确定所有最小灵巧度中的最小值,直到满足结束条件。

4 结论

本文在杆长约束条件下,建立了基于粒子群算法3-RRR并联球腕关节弹药装填机器人机构运动学分析的解算及优化模型,此解算及优化方式能够求出并联弹药装填机器人机构的尺寸参数及灵巧度,算法简捷,效率高,全局优化能力强。

参考文献

[1]徐达,王中盛,刘广洋,张迎.基于串并联结构的弹药装填机器人设计[J].装甲兵工程学院学报,2008,22(5).

[2]刘辛军,汪劲松,高峰.一种串并联结构拟人七自由度冗余手臂的设计[J].中国机械工程,2002,(2).

[3]徐达,帅元,郝琢.弹药装填机器人自适应PD控制算法研究[J].装甲兵工程学院学报,2011,25(1).

[4]姚耀中,徐玉如.粒子群优化算法分析[J].哈尔滨工程大学学报.2007,(11).

球面并联机构 第5篇

球面4R机构是所有转动副轴线汇交于球心的铰链四杆机构[1,2,3]。作为机构学中的一个重要命题,研究其四位置综合问题有着重要的理论和实际意义。Burmester理论指出[4],任意两个圆心曲线点(或圆点曲线点)可以产生一组满足导引要求的四杆机构。由于球面圆心曲线(或圆点曲线)本身计算的复杂性以及选取的盲目性,故四位置综合问题的解决有较大难度。为此,加州大学欧文分校Robotics and Automation实验室在综合软件SphinxPC中提出了类型图的方法[5],以解决传统方法的不足。由于国内对此研究较少,相关文献对其具体方法尤其是缺陷甄别等阐述不够明确,因此,本文基于MATLAB平台,从纯几何的视角,对类型图综合展开了探索和研究。

1 球面Burmester曲线的求解

1.1球面刚体位置的给定

如图1所示,刚体在单位球面上的位置PT规定如下:取刚体上一点P作为参考点,其球坐标为(θ,φ),同时令过点P且与纬度线重合的某正向弧线段PT0绕极轴轴线OP逆时针旋转Δκ角度到PT,则刚体位置唯一确定,表达为P(θ,φ,Δκ)。

给定球面上四组刚体位置Pi(i=1,2,3,4),求解一球面4R机构OABCD,如图2所示,使得该机构的连杆部分在运动过程中经过前述给定位置,即本文所述四位置综合问题。

1.2圆点曲线和圆心曲线的生成

文献[5]由几何代数方法推导出了Burmester曲线的求解公式,形式简单但不够直观,为此,本文基于文献[3]中提出的Maple下几何建模的思想,通过自编的MATLAB图形函数包,用几何作图法实现Burmester曲线的绘制。据Burmester理论,首先求得由镜极P12P24-1P34-1P13构成的球面镜极4R机构,如图3所示。当主动杆P12P24-1旋转角度ω时,4R机构处于新的位置P12P′24-1P′34-1P13。则大圆弧段P′24-1P24-1与P′34-1P34-1的垂直平分面与球面相交于点CP,该点即圆点[3,4]。需要注意的是,在图示位置处圆点CP有两个,它们关于球心对称。另外,因球面镜极4R机构具有两种分支构形P12P24-1P34-1P13和P12P24-1P″34-1P13,故两者所得圆点坐标均是可用解。

在图3中,当角度ω以一定步长在区间(0,360°)内连续取值时,所获得的一系列CP点即构成球面Burmester圆点曲线。由于圆心曲线与圆点曲线有严格的对应关系,可参考平面Burmester理论作类似推广,本文不再赘述。

算例:给定球面上四个刚体位置P1～P4(表1),本文在MATLAB下生成的Burmester曲线如图4所示。

1.3Burmester曲线的规整和分组

在前述求得的圆心曲线和圆点曲线中,有两点需要注意。一是虚数解问题。当镜极4R机构的主动杆为摇杆时,其在某些角度ω下会得到虚数形式的圆点坐标解,需要剔除。二是分组问题。以圆心曲线为例,每个圆心点均存在一个与之对应的即关于球心的镜像,需要对其进行分组:以直角坐标面yoz为分割面,将其两侧的圆心点分别移到组G0-a(x轴正向)和组G0-b(x轴负向)中。同理,亦将圆点分别移到组G1-a(x轴正向)和组G1-b(x轴负向)中。

2 类型图的原理

2.1球面4R机构的类型划分与表达出于类型图表达的需要,

需建立起不同机构类型与颜色标识之间的关系映射,即用不同的颜色标识不同的机构类型,如图5所示。8种机构类型的划分方法参考文献[6]。

2.2类型图的绘制

指定一组圆心曲线和圆点曲线(如组G0-a和组G1-a),对组G0-a中的圆心点进行编号。假定该组中有N个圆心点,任选其中一个为起始点,赋予编号1,然后寻找与其球面距离最近的另一点赋予编号2,如此反复迭代,直到所有圆心点被赋予编号。

在绘图平面上,构建一个NN的矩形网格阵列,任意一个网格所确定的整数坐标值(i,j),均对应于由编号为i和j的两圆心点所构成的球面4R机构。在这种映射之下,根据图5中的颜色标识,将各网格填充以代表其机构类型的颜色,即构成类型图(图6)。

需要指出的是,由于球面4R机构的4个铰链点ABCD(图2)均可以从圆心曲线或圆点曲线的两个分组中的任意一组进行选择,故而一共有24=16种情形[5],本文程序允许用户对其进行切换。

3 球面4R机构的缺陷甄别

由综合理论所获得的机构解可能存在回路、分支和顺序缺陷。近年来,国外对该类问题展开了研究[7,8],但这些方法稍显复杂,且缺乏系统性,为此,本文基于缺陷问题的几何定义,给出了适合类型图的缺陷甄别算法。

3.1回路缺陷甄别

回路缺陷即连杆在4个位置时分属于不同的回路,不经重新装配则无法通过所有给定位置。该类缺陷甄别需要求解主动杆所处的极限转角。文献[7]通过解析法求得了极限位置时的三类机构配置情况,由于主动杆在极限位置时,球面4R机构退化为球面三角,故而本文通过解析球面三角形(半角公式)的方法,可获得相同的结论,即极限位置的解的数量只能是4、2或0。如图7所示,若计算得到主动杆AB的运动极限位置为4个(其他情况方法一致),其对应的主动杆转角分别为θ′1+,θ′2+,θ′2-,θ′1-,则其运动区域可被划分为4个扇形子区间[θ′1+,θ′2+]、[θ′2+,θ′2-]、[θ′2-,θ′1-]、[θ′1-,0)∪(0,θ′1+]。给予每个子区间一个编号,只有在所有给定位置时主动杆ABi所处的区间编号相同时才表明无缺陷。

3.2分支缺陷甄别

分支缺陷即连杆在4个给定位置与从动杆在装配时处于不同的分支构形(如图3所示的球面镜极4R机构具有P12P24-1P34-1P13和P12P24-1P′34-1P13两种不同的分支构形),而不同的构形之间在运动中无法实现动态切换或确定性过渡。由球面三角原理[9],可以推得球面4R机构(图2)的输出转角θ3(θ1)与输入转角θ1之间满足方程:

τ1sin θ3(θ1)+τ2cos θ3(θ1)+τ3=0 (1)

$\begin{array}{l}\tau {}_1=\lambda {}_1\sin \beta \sin \theta {}_D-\lambda {}_2\sin \beta \cos \theta {}_D\\ \tau {}_2=\lambda {}_3\cos \phi {}_D\sin \beta -\lambda {}_1\sin \phi {}_D\cos \theta {}_D\sin \beta -\\ \lambda {}_2\sin \phi {}_D\sin \theta {}_D\sin \beta \\ \tau {}_3=\lambda {}_3\sin \phi {}_D\cos \beta +\lambda {}_1\cos \beta \cos \theta {}_D\cos \phi {}_D+\\ \lambda {}_2\cos \beta \sin \theta {}_D\cos \phi {}_D-\cos \eta \\ \lambda {}_1=\sin \theta {}_1\sin \alpha \sin \theta {}_A+\cos \alpha \cos \theta {}_A\cos \phi {}_A-\\ \sin \phi {}_A\cos \theta {}_A\sin \alpha \cos \theta {}_1\\ \lambda {}_2=-\sin \theta {}_1\sin \alpha \cos \theta {}_A+\cos \alpha \sin \theta {}_A\cos \phi {}_A-\\ \sin \phi {}_A\sin \theta {}_A\sin \alpha \cos \theta {}_1\\ \lambda {}_3=\sin \phi {}_A\cos \alpha +\cos \phi {}_A\sin \alpha \cos \theta {}_1\end{array}\}$

(2)

由此解出:

$\theta {}_3(\theta {}_1)=\{\begin{array}{c}2\arctan \frac{\tau {}_1+\sqrt{\tau {}_1^2+\tau {}_2^2-\tau {}_3^2}}{\tau {}_2-\tau {}_3}\\ 2\arctan \frac{\tau {}_1-\sqrt{\tau {}_1^2+\tau {}_2^2-\tau {}_3^2}}{\tau {}_2-\tau {}_3}\end{array}$

(3)

只有当4个位置的实际输出转角均由式(3)中同一子式给出(误差小于ε)时,为无缺陷机构。其中ε是人为设定的极小阈值,该值的给定具有主观不确定因素,因此也可以考虑使用几何法。机构学中常将两个不同的分支构型[10]记为+u和-u,其中,u为连杆与从动杆之间的转角,其符号满足右手螺旋定则,本文编写了专门的几何函数,通过一系列空间矢量运算求解该转角并提取其符号,亦可达到分支甄别的目的。经检验,几何法与代数法两者是等价的。

3.3顺序缺陷甄别

顺序缺陷即连杆在运动过程中不能按照给定顺序P1P2P3P4或P1←P2←P3←P4顺次通过球面上4个位置。当主动杆为曲柄时,基于定义,曲柄由参考位置P1逆时针转向位置P2～P4时的转角(分别表示为φ21、φ31、φ41)大小应当满足φ21<φ31<φ41或φ21>φ31>φ41。这种输入转角的单调递增或递减原理是以往大多顺序甄别方法诸如Filemon曲线分段、hoop[8]等方法的几何基础,但其仅适用于主动杆为曲柄的机构。当主动杆为摇杆时,为了避免连杆跨分支运行,本文将参考位置修正为主动杆所处的任一极限位置,设该位置为e(如图8所示,图中曲线为假想的某球面4R机构连杆曲线,各标号对应于主动杆所处的相应位置),当且仅当φ1e<φ2e<φ3e<φ4e或φ1e>φ2e>φ3e>φ4e时,为无缺陷机构。本文在MATLAB下验证了该方法,结果表明,对于平面[11]和球面4R机构均能获得可靠的甄别结果。

3.4缺陷甄别的类型无关性及层次结构

本文提出的类型图缺陷甄别算法是直接构架于几何原理之上的,因此较为直观,该算法的关键在于图形函数的编写。由于主动杆的周转性可由极限位置数目是否为0来确定,故而相比于SphinxPC[5],本文算法在缺陷甄别时无需判别机构类型,具有普遍适用性。同时需要指出的是,本文算法需遵循层次结构,即分支甄别以回路甄别为前提,且顺序甄别以分支甄别为前提。缺陷甄别后,将类型图中存在缺陷的机构解排除,并用图5中所规定的颜色(白色)填充(图9)。

4 综合结果

针对1.2节中的算例,如期望获得一球面双曲柄机构以满足表1中的导引要求,则只需在类型图中相应的颜色区域(参见图5)任意点(如图9上图中圆圈内星号所指处)单击鼠标,得到机构及其连杆曲线,如图9下图所示。可以看出,该机构在运动中能够精确通过4个给定位置,且无回路、分支和顺序缺陷。该机构各铰链点在位置P1时的球面坐标参数如表2所示(各符号含义同图2)。

5 结论与展望

(1)本文在MATLAB平台下对文献[5]所述类型图的实现方法进行了研究,做出如下工作:首先,基于文献[3]关于Burmester理论中经典的极四杆机构旋转法的Maple建模的探讨,本文就虚数解及分组等问题对其进行了改进,在MATLAB平台下,通过自编的绘图函数包实现了球面Burmester曲线及类型图的绘制。相比于文献[5],本文算法完全由几何图元的图形学计算实现,便于理解和使用。而后,本文提出了直接基于几何原理且与类型无关的球面4R机构缺陷甄别算法,对类型图的过滤机制展开了研究。

(2)算例表明,基于颜色导航的类型图应用于球面4R机构的四位置综合是可行而且高效的,工程人员只需在类型图中选择感兴趣的机构类型进行综合即可,从而提高了设计效率,在很大程度上避免了机构综合问题的盲目性及计算复杂性。

(3)类型图方法目前仍局限于特定的机构综合问题,如何使得这一方法在多连杆机构或空间一般连杆机构综合中得以应用,则是本文接下来的研究方向。

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