分数阶微分方程（精选10篇）
分数阶微分方程 第1篇
近几年,分数阶微分方程的计算与求导已在很多科研领域出现,例如,扩散,热传导. 分数阶导数在描述黏粘性时也相当灵活,因此,在接下来的几十年里,分数阶扩散方程的研究将会备受关注.
为了简便起见,本文讨论当c = 1时,分数阶微分方程问题解的适定性. 即
当x→∞ 时,u( x,t) 有界,
我们想要通过测量数据gδ( t) 来确定u( x,t) ,其中0≤ x < 1. 为了运用Fourier变换,我们需要 定义u ( x,· ) , g( ·) ,gδ( ·) 在t < 0时的值为零,将其延拓到整个线性空间上,即 - ∞ < t < ∞ . 在以下部分中,‖·‖定义为L2范数,即
假设数据函数gδ( t) 满足‖g - gδ‖≤δ,其中测量误差δ > 0.
( 2) 式两边关于t作Laplace变换,根据Caputo导数的Laplace变换的性质,得
其中s是关于t的Laplace变换的变量,应用齐次初始条件
对于这个二阶常微分方程. 使用边界条件,得
函数g( t) 在t的负半轴不存在,它的Fourier变换和Laplace变换的关系为
因此,在( 8) 中,取s = iξ,问题的解在频域中的表达式为:
其中
摘要：本文研究如下分数阶扩散方程的反问题Uβt=a U xx+b U x+c U,x>0,t>0,0<β<1,U(x,0)=0,x≥0,U(1,t)=g(t),t≥0{,(1)其中a,b和c为常数(a≥0).这是一个严格不适定的问题.这个问题是用Caputo分数阶导数β(0<β<1)代替古典扩散方程中关于时间的一阶导数得到的.对于这个不适定的问题,我们采用一些方法来解这种不适定性问题,使其成为一个相对适定的问题.
分数阶微分方程 第2篇
偶数阶中立型偏微分方程系统的振动准则
研究一类偶数阶中立型偏微分方程系统的振动性,利用Green公式和微分不等式方法,建立了该类系统在两类不同边值条件下所有解振动的.充分判据,主要结果由一些实例加以阐明.
作 者：罗李平王艳群 LUO Li-ping WANG Yan-qun 作者单位：衡阳师范学院数学系,湖南,衡阳,421008刊 名：广西大学学报(自然科学版) ISTIC PKU英文刊名：JOURNAL OF GUANGXI UNIVERSITY(NATURAL SCIENCE EDITION)年，卷(期)：33(2)分类号：O175.4关键词：偶数阶 中立型 偏微分方程系统 振动
一阶线性非齐次微分方程的解法探悉 第3篇
关键词：非齐次线性微分方程常数变易法变量代替法
引言
微积分中研究变量的各种函数及函数的微分与积分.这里讨论了一阶线性非齐次微分方程的几种解法。
一、一阶线性非齐次微分方程的基本概念
定义1[1]：一阶线性微分方程dy1dx=P（x）y+Q（x）（1） ，（P（x），Q（x）在考虑区间上是x连续函数） ，若Q（x）=0，（1）变为dy1dx=P（x）y（2）， （2）稱为一阶齐次线性微分方程.若Q（x）≠0，（1）称为一阶非齐次线性微分方程。
二、一阶线性非齐次微分方程的解法及例题分析
（一） 常数变易法
1.常数变易法概念[2]
现用常数变易法来求（1）解。由（2）是分离变量，得dy1y=P（x）dx积分得ln|y|=∫P（x）dx+c1（c1是任意常数）。由对数定义得y=±ec1e∫P（x）dx，令±ec1=c得y=ce∫P（x）dx，这是（2）的通解，令y=c（x）e∫P（x）dx（3），得dy1dx=dc（x）1dx=e∫P（x）dx+c（x）P（x）e∫P（x）dx（4），由（1）（3）（4）得dc（x）1dx=Q（x）e-∫P（x）dx，即c（x）=∫Q（x）e-∫P（x）dxdx+c（c是任意常数），将上式代入（4），得到方程（1）通解y=e∫P（x）dx∫Q（x）e-∫P（x）dxdx+c，这将常数变易为待定函数的方法，称常数变易法。
2.伯努利微分方程概念
定义2[3]：形如dy1dx=P（x）y+Q（x）yn方程，称为伯努利微分方程，这里P（x），Q（x）为x连续函数，n≠0，1是常数，对于y≠0，用y-n乘上式两边，得y-ndy1dx=y1-nP（x）+Q（x），引入变量变换z=y1-n，得dz1dx=（1-n）y-ndy1dx由此得dz1dx=（1-n）P（x）z+（1-n）Q（x）（5），这是线性微分方程，可按常数变异法求（5）的通解.n>0时，还有解y=0。
（二）变量代替法
1.变量代替法概念[4]
设y=u（x）v（x）是方程（1）的解，其中u（x）为（2）特解，将y′=u′（x）v（x）+u（x）v′（x）代入（1），得u′（x）v（x）+u（x）v′（x）=P（x）u（x）v（x）+Q（x）
即[u′（x）-P（x）u（x）]+u（x）v′（x）=Q（x）
因u（x）是（2）特解，有u′（x）-P（x）u（x）=0，得u（x）=e∫P（x）dx
对u（x）v′（x）=Q（x）积分，得v（x）=∫Q（x）e-∫P（x）dxdx+c
所以（1）通解为y=e∫P（x）dx∫Q（x）e-∫P（x）dxdx+c
2.变量代替法例题分析
求y′-21x+1y=（x+1）512
解：设y=uv是原方程的解，且u是对应齐次方程特解。
把y′=u′v+uv′代入原方程即得[u′-21x+1u]v+uv′=（x+1）512
由u′-21x+1u=0，得u=（x+1）2由uv′=（x+1）512，得v=213（x+1）312+c
故通解为y=（x+1）2[213（x+1）312+c]
（三）分项可积组合法
1.分项可积组合法概念[5]
该方法是用观察凑微分，把方程左边一些项组合成两个函数乘积的导数，再求解。即用适当函数f（x）乘原方程两端，把（1）化为f（x）dy1dx=P（x）f（x）y+Q（x）f（x），于是d[f（x）y]1dx=Q（x）f（x），所以f（x）y=∫Q（x）f（x）dx。
2.分项可积组合法例题分析
求y′+2x1x2+1y=4x21x2+1
解：原方程两端同乘以x2+1，有（x2+1）y′+2xy=4x2，即[（x2+1）y]′=4x2，通解为（x2+1）y=413x3+c。
3.利用积分因子转化为可积组合法
用观察法困难时，可先求积分因子u（x）或u（y），在原方程两端同乘u（x）或u（y），把方程左边一些项组合为两个函数之积的导数。
由（1）设N（x，y）=1，M（x，y）=-P（x）y
1）若11NM1y-N1x=φ（x）则u（x）=e∫φ（x）dx
2）若11MM1x-N1y=φ（y）则u（y）=e∫φ（y）dx
4.利用积分因子转化为可积组合法例题分析
求解y′+ycosx=e-sinx.
解：设N（x，y）=1，M（x，y）=ycosx
有N1x=0，M1y=cosx及11NM1y-N1x=cosx，
得到u（x）=e∫cosxdx=esinx
原方程两端同乘esinx，得esinxy′+ycosxesinx=1，即esinxy=x+c
（四）简捷解法
1.简捷解法定理
定理[6]：若一阶线性非齐次微分方程具有如下的形状：
F（x）dy1dx+F′（x）y=Q（x），它通解为： y=11F（x）∫Q（x）dx
证明：将原方程化为d[F（x）y]=Q（x）dx，两边积分得F（x）y=∫Q（x）dx即y=11F（x）∫Q（x）dx
2.简捷解法例题分析
求解lnxdy1dx+y1x=xlnx
解：利用定理有
y=11lnx∫xlnxdx=11lnx[x212lnx-112∫xdx]=x2112-114lnx+c1lnx
分数阶微分方程 第4篇
关键词：分数阶扩散方程,迭代法,先验选取法
一、引言
我们在第一象限内考虑一下正问题:
其中a, b为常数 (a>0) , 为了确保问题有唯一解, 要求‖u (x, ·) ‖有界, 相应地, 我们来考虑反问题, 也就是假设 (t) 是未知的, 我们通过g (·) ∶=u (1, ·) 来确定u (x, ·) , 其中0≤x<1.这个反问题是一个严格不适定的问题:对于x∈[0, 1) , 数据g的一个微小扰动可能造成u (x, t) 极大的误差.本文我们只考虑L2 (R) 上的这种问题.假设当t>0时, u (x, t) , f (t) =u (0, t) , g (t) =u (1, t) 以及其他与t有关的函数值为零, 因为u (x, o) =0, 在t=0时, 这种延拓是连续的, 假设测量数据gδ (t) ∈L2 (R) 满足
数值方法已被用来解这种问题, 并且稳定性理论以及收敛性结果都已有了证实[1][2][3], 本文中我们需要假设函数f (t) 的一个先验界,
此处‖f‖p (t) 在HP (R) 上的范数, 它的定义如下:
f (t) 的Fourier变换定义为:
因为在实际应用中, 我们找不到f (t) 确切的上界, 所以我们需要重构f (t) , 事实上, 对于一些方法来说, 包含先验界的正则化分数阶微分方程, 例如, Landweber迭代法, 就被广泛地用来解决一些反问题, 我们需要证实:我们的方法在先验中的阶数是最优的, 那么, 我们就需要知道f的先验界, 为了进一步的讨论, 我们首先需要给出一个引理
引理:设w (x, ξ) 是下面常微分边值问题的解:
对于ξ=0我们要求, 当x→∞时, w (x, 0) 有界, 上面这个问题的解为
假设问题 (1.1) 的解为u, 则
其中
二、一类迭代
我们给出如下的迭代格式:
其中Xξ1是[-ξ1, ξ1]上的特征函数, 并且
我们取有以下定理:
定理:假设 (1.7) 的齐次形式有唯一的解, u (x, t) 是反问题的精确解, 其中0≤x<1, 且是满足 (1.2) 的测量温度函数uκδ (x, t) 满足迭代格式 (2.1) 且u0 (x, t) =0.如果先验界 (1.4) , 我们选择, 其中姨t姨表示不超过t的最大整数, 那么
成立, 其中c是一个与δ和M无关的常数.
证明:
由于
根据 (1.12) 和 (2.3) , 有
其中
将 (2.5) 和 (1.13) 代入上式, 得
将代入上式可知,
将 (2.4) 和 (1.13) 代入上式, 得:
分数阶微分方程 第5篇
一类具有转移条件的四阶微分算子的特征值问题
研究一类具有转移条件的四阶微分算子,建立了一个与其相关的新的空间框架.证明这类微分算子的自共轭性,确定其基本解并给出这类微分算子特征的`相关性质.
作 者：杨秋霞 王万义 YANG Qiu-xia WANG Wan-yi 作者单位：杨秋霞,YANG Qiu-xia(内蒙古大学,数学科学学院,呼和浩特,010021;德州学院,计算机系,山东,德州,250023)王万义,WANG Wan-yi(内蒙古大学,数学科学学院,呼和浩特,010021)
刊 名：内蒙古师范大学学报(自然科学汉文版) ISTIC英文刊名：JOURNAL OF INNER MONGOLIA NORMAL UNIVERSITY(NATURAL SCIENCE EDITION) 年，卷(期)：2009 38(6) 分类号：O175.3 关键词：微分算子 转移条件 特征值基于分数阶微分的边界扫描 第6篇
关键词：分数阶微分,边缘检测,微分阶数,掩膜模板
图像的边缘检测是图像分割的一种重要手段,是图像的一种紧描述,为目标识别和图像解释提供了一种有价值的特征参数[1]。在图像处理中,基于一阶和二阶微分的边缘提取算子是边缘检测常用的方法,而如何减少噪声的影响是该方法需要解决的问题[2,3,4,5]。理论研究表明,对信号进行阶微分运算,当微分阶数较小,时,信号高频分量被大幅提升,中低频有所加强,甚低频进行了非线性的保留。本文从经典分数阶微分定义中的分数阶差分方程出发[6],给出分数阶微分的掩膜模板,实验表明,基于分数阶微分的边缘检测可以有效地提取图像的边缘信息。
1 分数阶微分运算用于图像处理
1.1 微分运算对信号的作用
现有任一能量型函数f(t)∈L2(R),设其傅里叶变换为。假设f(t)的整数k(k∈Z+)阶微分存在,则其傅里叶变换为,其中,称为k阶微分乘子函数。的指数形式为:
将上式阶数k推广至任意阶v(v∈R2),可得算子Dv,相应的分数阶微分f(v)(t)在频域的形式,其中乘子d赞v(ω)在频域的指数形式为:
信号的分数阶微分从信号处理的角度可以理解为广义的调幅调相,其中振幅随频率的变化呈分数阶幂指数变化,而相位为频率的广义Hilbert变换。由(1)(2)两式可画出一阶、二阶和分数阶微分的幅频特性曲线(略)。分析可得,微分运算有提升信号高频、消弱信号甚低频的作用,且二阶微分明显强于一阶微分。可见,分数阶微分一方面可加强信号高中频分量,另一方面可对信号甚低频分量进行非线性保留。
1.2 分数阶微分用于图像边缘处理
对于图像,低频对应图像的平滑区,即图像的非边缘区;中频对应图像的纹理信息;高频对应图像的边缘区和噪声区。用整数阶微分进行处理,图像中灰度变化不大的纹理细节信息将会遭到大幅的线性衰减,导致其结果几乎为零,不能很好的检测出平滑区域的纹理细节信息;而用分数阶微分进行处理,这些信息则可在一定程度上得到非线性保留。可见,分数阶微分比整数阶微分更有利于提升图像平滑区中的中、高频信息。
2 分数阶微分算子的实现
目前为止,分数阶微分并没有一个统一的标准定义,比较著名的是G-L定义。该定义将微积分的阶数由经典定义的整数扩展到分数阶推导而来。
其中,函数,其值有限,图像信号灰度的最大变化量也是有限的。由于两相邻像素是灰度变化发生的最短距离,对于二维数字图像,x和y轴方向上持续时间的度量就要以像素为单位。若一元信号f(t)的持续期t∈[a,t],将其按单位h=1进行等分,得,则信号f(t)分数阶微分的差分表达式为:
一般来说,在MN大小的图像f上,用mn大小的滤波器掩膜进行线性滤波:
其中a=(m-1)/2且b=(n-1)/2。为了得到一幅完整的经过滤波处理的图像,需要对图像中的所有像素点进行处理,也就是说要依次对x=0,1,2,,M-1和y=0,1,2,,N-1应用上式。
若二维数字图像信号中x和y的持续期间为x∈[x1,x2]和y∈[y1,y2],对图像的微分运算可以使用33模板、55模板或者77模板中当前像素点的4个方向或者8个方向进行,根据(6)式可得模板一至模板六。如图2所示。
模板四是33模板当前像素点的8个不同方向,各个方向上的分量依次为:1,-v;
模板五是55模板当前像素点的8个不同方向,各个方向上的分量依次为:1,-v,(vv-v)/2;
模板六是77模板的8个不同方向,各个方向上的分量依次为:
3 图像边缘提取实验仿真
对于二维灰度图像,边缘和噪声对应图像中局部特性的不连续点,即对应邻域像素的灰度发生了较大变化,为高频信号。两者也存在区别,即边缘具有邻域一致性、结构性和方向性,且相对于噪声,边缘具有较大的能量和范围。我们可以利用临近像素点信息减少或抵消噪声的作用,适当扩大信号处理的范围,从而加强边缘信号。
3.1 不同模板实验效果分析
通过模板一、模板二和模板三实验效果分析表明,当分数阶为0.5时边缘既清晰噪声又比较少。
通过模板四、模板五和模板六实验效果分析表明,阶数的大小对图像边缘的检测有直接的影响,随着阶数的增加,边缘逐渐清晰。
3.2 分数阶固定效果分析
通过实验效果可以看出,当阶数固定时,随着迭代次数的增加,图像逐渐不清晰,出现双边缘现象,但图像边缘亮度变化基本不大。当分数阶阶数小于0.5时,第一次得到的效果图亮度最好,以后的每次迭代都会削弱图像的亮度信息;当阶数大于0.5时,迭代次数越多,图像越亮,但会伴有噪声的出现。
4 结论
仿真实验表明:基于分数阶微分的边缘检测算法在不同的分数阶阶数时具有不同的提取图像边缘信息的能力,总体来说随着阶数的增大,边缘提取的能力逐渐增强;但是边缘的有效提取虽然随着模板大小的增大而有所提升,但不总是成正比例提升。但基于分数阶微分的边缘检测相对于传统的一阶和二阶微分算子的边缘检测效果有很好的抗噪性。
参考文献
[1]才辉,张广新,张浩,等.一种新的基于多信息测度融合的边缘检测方法[J].浙江大学学报:工学版,2008,42(10):1671-1675.
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[4]Elder J H,Zucher S W.Local scale control for edge detection and blur estimation[J].IEEE Trans on Pattern Analysis and Machine In-telligence,1998,20(7):699-716.
[5]Andrew P P.Directional filtering in edge detection[J].IEEE Trans Imaging Processing,1998,7(4):611-615.
图像边缘检测的分数阶微分算子研究 第7篇
边缘检测是图像处理的一个重要环节,也是进行信息提取与模式识别的一个基本手段。传统的边缘检测主要是利用整数阶微分算子模板与图像进行卷积运算来实现,如Roberts算子、Prewitt算子、Sobel算子、Canny算子、Lo G算子等[1]。
近年来,随着分数阶微积分理论在图像处理领域中的成功应用[2,3,4,5],利用分数阶微分进行边缘检测逐渐成为一个研究热点。Mathieu等人[6]提出了分数阶鲁棒轮廓边缘检测器,适当选择分数阶微分的阶数时,该检测器不仅能选择性地检测出边缘;杨柱中等人[7]构造了一种基于0 ~ 1 阶分数阶微分的Tiansi掩模模板,相对于传统的微分算子,该模板在有效提取图像边缘的同时具有较高的信噪比; 王卫星等人[8]根据Tiansi掩模模板的特点,提出了一种改进的Tiansi算子,该算子在进行边缘检测时可大幅增强图像的纹理细节边缘信息值; Pu等人[9]和Gao等人[10]分别利用分数阶微分替换传统一阶微分,构造了两种不同的分数阶边缘检测算子; 汪成亮等人[11]针对Tiansi模板的最佳分数阶阶数需要人为指定这一缺陷,提出了一种基于图像纹理复杂度的自适应分数阶微分算法; 何春等人[12]首先利用分数阶微分和分数阶积分组成复合导数,然后在此基础上提出了一种基于复合导数的边缘检测算子。
基于分数阶微分的边缘检测方法不仅能有效提取图像的边缘信息,而且还能保留图像的纹理细节,比常用的整数阶微分算子具有更好的边缘检测效果。
虽然Roberts算子、Prewitt算子与Sobel算子等常用的一阶微分算子的边缘检测效果不够理想,但不可否认的是,由于具有较强的普适性和较快的运算速度,这些常用的一阶微分算子仍具有较为广泛的应用。因此,若能将分数阶微分引入到常见的一阶微分算子中,一方面可以继承常见一阶微分算子的优点,另一方面还能改善边缘检测效果,可为图像的边缘检测提供一种有效的新途径。针对这一问题,蒋伟等人[13]基于0 ~ 1 阶分数阶微分理论和传统的Sobel算子,提出了一种分数阶Sobel算子的边缘检测模型,该模型不仅能较好地提取图像的边缘信息,而且还更好地保留图像的纹理细节,对噪声也具有一定的抑制作用。但注意到,文献[13]仅利用了水平和垂直方向的传统Sobel算子构造分数阶微分算子,其边缘检测效果也有待进一步改善。为此,本文首先分析了0 ~ 1 阶分数阶微分对信号的作用,然后基于0 ~ 1 阶分数阶微分和4 - 方向的Roberts算子、Prewitt算子和Sobel算子构造了3 种0 ~ 1 阶分数阶微分算子,分别称为0~ 1 阶Roberts算子、0 ~ 1 阶Prewitt算子与0 ~ 1 阶Sobel算子,所构造的3 种0 ~ 1 阶分数阶微分算子在边缘检测方面更有优势。
1 0 ~ 1 阶分数阶微分对信号的作用分析
对任意能量型信号f( t) ∈ L2( R) ,设其整数k( k ∈ Z+) 阶微分为,则整数k阶微分对应的Fourier变换为[7]:
式中称为k阶乘子函数,其在频域的指数形式为:
将式( 1) 中的整数阶微分算子Dk推广为任意阶微分算子Dv( v∈ R+) ,则分数阶微分fv( t) 在频域的形式可表示为[7]:
式中在频域的指数形式为:
由式( 1) 与式( 2) 可得一阶、二阶和0 ~ 1 阶分数阶微分对信号的幅频特征曲线如图1 所示。
由图1 可知,随着微分阶数的增加,微分运算对高频信号的提升作用呈非线性增长,同时不同阶数的微分运算对低频信号都有一定的削弱作用。一阶微分运算对甚高频信号的提升作用明显小于二阶微分,且对甚低频信号的削弱作用也明显大于二阶微分。虽然0 ~ 1 阶分数阶微分对甚高频信号的提升作用小于一阶与二阶微分,但也获得了较大幅度的提升; 同时,0 ~ 1 阶分数阶微分对中低频信号有所增强,且对甚低频信号进行了非线性保留。由此可见,0 ~ 1 阶分数阶微分可以较大幅度地提升甚高频信号、增强中低频信号、非线性保留甚低频信号。因此,对于纹理细节较为丰富的图像,采用0 ~ 1 阶分数阶微分进行边缘检测不仅可以有效地提出图像的边缘信息,而且还能较大程度地保留图像的纹理细节,对噪声也具有一定的抑制作用。
2 0 ~ 1 阶分数阶微分的定义
分数阶微分也称为非整数阶微分,是整数阶微分运算的一种推广。从不同的应用角度分析问题可得到不同的分数阶微分定义。经典的分数阶微分定义主要有Grümwald-Letnikov、Riemann-Liouville和Capotu定义[14]。由于Grümwald-Letniko定义是通过将经典微分定义中的阶数由整数扩展到分数推衍而来,在信号的数值实现中表现的更为精确,因此成为图像处理中较为常用的一种分数阶定义。
设函数f( t) ∈[a,t]存在m + 1( m ∈ Z) 阶连续导数,对于v ∈ R( 包括分数) ,当v > 0 时,m至少取到v的整数部分,则f( t)的v阶Grümwald-Letniko导数可定义为[7]:
其中,Gamma函数。
若将一元函数f( t) 的持续期按单位间隔h = 1 进行等分,可得n = [( t - a) /h] = [t - a],由此可导出函数f( t) 的分数阶微分的差分表达式为[7]:
其中0 < v ≤ 1 。
将式( 3) 定义的分数阶微分称为0 ~ 1 阶分数阶微分。将式( 3) 推广至二维形式,可得到二元函数f( x,y) 在x方向和y方向上0 ~ 1 阶分数阶微分的差分表达式可表示为:
其中0 < v ≤ 1 。
3 0 ~ 1 阶分数阶微分算子的构造
利用0 ~ 1 阶分数阶微分替换4 - 方向的Roberts算子、Prewitt算子和Sobel算子中的一阶微分,可分别构造出相应的0 ~ 1阶Roberts算子、Prewitt算子和Sobel算子。下面以0 ~ 1 阶Roberts算子为例,给出其构造过程,0 ~ 1 阶Prewitt算子和Sobel算子的构造可依此类推。
传统Roberts算子也称为四点差分法,是采用对角方向相邻两像素之差来估计梯度值[1]。传统Roberts算子两对角方向的模板可表示为:
由于传统Roberts算子仅采用了2 个方向的卷积模板,其边缘检测效果不是很理想。为此,采用3 × 3 窗口,在传统Roberts算子的基础上,分别定义0°、45°、90° 和135° 等4 个方向的模板为:
设灰度图像函数为f( x,y) ,则Roberts算子4 个方向的梯度值分别为:
设灰度图像函数为f( x,y) ,若将图像按等间隔h = 2 进行采样,则有:
依据式( 10) 与式( 11) ,可将式( 6) - 式( 9) 分别改写为:
用0 ~ 1 阶分数阶微分替换式( 12) - 式( 15) 中的一阶微分,并选择式( 4) 与式( 5) 的前3 项作为分数阶微分的近似,则Roberts算子4 个方向的0 ~ 1 阶分数阶梯度可定义为:
由式( 16) - 式( 19) 可得0 ~ 1 阶Roberts算子4 个方向的模板为:
传统Prewitt算子采用水平和垂直两方向的模板,是通过先求平均再求差分来估计梯度值[1]。在传统Prewitt算子的基础上,分别定义0°、45°、90°和135°等4 个方向的模板为:
与0 ~ 1 阶Roberts算子类似,构造的0 ~ 1 阶Prewitt算子4个方向的模板为:
传统Sobel算子采用水平和垂直两方向的模板,是通过对当前行或列的值加权后再进行平均差分来估计梯度值[1]。在传统Sobel算子的基础上,分别定义0°、45°、90°、135°等4 个方向的模板为:
与0 ~ 1 阶Roberts算子类似,构造的0 ~ 1 阶Sobel算子4个方向的模板为:
与Roberts算子、Prewitt算子和Sobel算子相比,相应的0 ~1 阶分数阶微分算子含有分数阶参数v,参数v的取值对图像边缘信息的提取和纹理细节的保留具有重要作用。对于不同的图像,可通过调整分数阶参数v的取值达到不同的边缘检测效果。
在构造0 ~ 1 阶分数阶微分算子时,可采用0°、45°、90°、135°、180°、225°、270°和315°等8 个方向的卷积模板,但前4 个模板与后4 个模板对同一个像素点进行卷积运算后,所得的梯度值互为相反数。因此,采用前4 个或后4 个模板进行卷积运算后,由不同方向梯度幅值取最大所确定的结果是相同的。因此,本文仅保留8 个方向中的前4 个模板,这样可使运行速度得到较大的提高。
4 算法步骤
设灰度图像函数为f( x,y) ,则利用本文构造的0 ~ 1 阶分数阶微分算子对图像进行边缘检测的步骤为:
Step 1
适当选取分数阶参数v( 0 < v < 1) ,利用0 ~ 1 阶分数阶微分算子的4 个模板Ri( i = 1,2,3,4) 对图像进行卷积运算,得两方向的分数阶梯度分别为Fi( x,y) ( i = 1,2,3,4) 。
Step 2
计算梯度幅值。
Step 3
适当选取阈值T,得二值化的边缘图像e( x,y) 为:
由上述步骤可知,在利用本文算法进行边缘检测时,分数阶参数v和阈值T的大小决定了边缘检测效果。因此,要根据具体的图像合理地选取分数阶参数v和阈值T。在实际应用中,可先对分数阶参数v和阈值T赋予一个适当的数值,若所获得的结果不满意,则可将v和T的取值作适当修改,直到满意为止。
5 实验结果及分析
在PC机上( CPU: Pentium T4400,RAM: 2 GB,OS: WIN7Basic) 利用MATLAB 7. 0 软件进行边缘检测仿真实验。实验分为2 组。
第1 组实验以tire图为例,对比观察常用整数阶微分算子及本文算法的边缘检测效果,如图2 所示。在实验中,Roberts算子、Prewitt算子、Sobel算子及Canny算子的阈值采用Matlab7. 0 自带的边缘检测函数edge. m中的默认阈值,该阈值是算法根据图像梯度幅值的概率密度而确定; 本文算法的分数阶参数取v = 0. 95,阈值取T = 55 。
由图2 可知,Roberts算子检测到的边缘出现了较为严重的不连续现象; Sobel算子和Prewitt算子的边缘检测效果基本相当,都要优于Roberts算子,但纹理细节丢失较多; Canny算子与Lo G算子的边缘检测效果较为理想,但由于都利用了高斯函数进行滤波处理,因此也丢失了部分纹理细节; 适当选取分数阶参数v与阈值T时,本文构造的3 种0 ~ 1 阶分数阶微分算子不仅能较好地提取图像的边缘信息,而且还较大程度地保留图像的纹理细节,对噪声也具有一定的抑制作用。
因此,本文构造的3 种0 ~ 1 阶分数阶微分算子在边缘检测方面要优于常用的整数阶微分算子。另外,由图2 也可看出,在本文构造的3 种0 ~ 1 阶分数阶微分算子中,0 ~ 1 阶Prewitt算子与0 ~ 1 阶Sobel算子的效果基本相当,且总体上都要略好于0 ~ 1 阶Roberts算子。
第2 组实验以cameraman图为例,对比观察Tiansi算子[7]、分数阶Sobel算子[13]以及本文构造的3 种分数阶微分算子等5种0 ~ 1 阶分数阶微分算子的边缘检测效果,结果如图3 所示。在实验中,文献[7]方法的最佳分数阶参数取v = 0. 2,阈值取T= 8; 文献[13]方法的最佳分数阶参数取v = 0. 8,阈值取T =90 ; 本文0 ~ 1 阶Roberts算子的最佳分数阶参数取v = 0. 95、阈值取T = 60 ,0 ~ 1 阶Prewitt算子与0 ~ 1 阶Sobel算子的最佳分数阶参数取v = 0. 8,阈值取T = 65 。这里,所谓最佳参数指的是使得边缘信息提取、纹理细节保留以及噪声抑制等方面同时取得最好效果时的参数。
由图3 可知,本文构造的3 种0 ~ 1 阶分数阶微分算子的边缘检测效果在总体上都要好于文献[7]与文献[13]的方法,这是因为本文构造的3 种0 ~ 1 阶分数阶微分算子考虑了4 个方向的模板,相对于仅考虑2 个方向模板的文献[13]的方法而言,能检测出更为丰富的边缘信息和纹理细节。
在时间复杂度方面,虽然本文构造的3 种0 ~ 1 阶分数阶微分算子是4-方向的3 × 3 模板,但由于各方向可采用并行计算,因此其复杂度与传统Prewitt算子和Sobel算子基本相当,是符合实际需要的。
6 结语
本文利用0 ~ 1 阶分数阶微分替换4-方向的Roberts算子、Prewitt算子和Sobel算子中的一阶微分,构造了相应的3 种0 ~1 阶分数阶微分边缘检测算子。实验表明,当参数适当取定时,本文构造的3 种0 ~ 1 阶分数阶微分算子简单有效,不仅能较好地提取图像的边缘信息,而且还能较大程度地保持图像的纹理细节,总体效果要优于常用的整数阶微分算子及现有的一些0 ~ 1阶分数阶微分算子,为图像的边缘检测提供了3 种新方法。由于分数阶微分算子的阈值和分数阶参数需要人为设定,对于实时性要求较高的场合不太适用,因此如何根据图像的特点自适应选取阈值及分数阶参数值将是进一步的研究问题。
摘要：针对常用整数阶微分边缘检测算子不能较好保持图像纹理细节的不足,在4-方向的Roberts算子、Prewitt算子和Sobel算子的基础上利用0~1阶分数阶微分替换一阶微分,构造了3种用于图像边缘检测的0~1阶分数阶微分新算子。实验结果表明,所构造的3种分数阶微分算子不仅能有效地提取出图像的边缘信息,而且还能较大程度地保留图像的纹理细节。检测效果优于常用整数阶微分算子及现有的一些0~1阶分数阶微分算子。
分数阶微分方程 第8篇
近年来随着分数阶导数成为描述各类复杂力学与物理行为的重要工具, 分数阶微分方程的数值算法研究也备受关注.针对不同类型的分数阶微分方程已经提出不同的数值算法, 这些算法主要有, 有限差分法、Adomian分解法, 广义微分变换法等.小波法求分数阶微分方程数值解是最近新型的数值方法.根据小波基函数的不, 相应的提出了许多小波方法求解分数阶微分方程, Rehma和Khan利用Legendre小波求解线性和非线性分数阶微分方程.Saeedi等采用CAS小波求解一类非线性Fredholm积分微分方程.但就该方法误差分析的研究还相对较少.本文基于Haar小波分数阶积分算子矩阵研究一类分数阶微分方程, 重点讨论该算法的误差分析.
1 分数阶微积分的定义
分数阶微积分理论在发展过程中, 出现了多种分数阶微分定义, 本文讨论Capotu分数阶微分定义及Riemann-Liouville分数阶积分定义.
定义1.Caputo定义分数阶微分算子D*α (·) 为:
定义2.Riemann-Liouville定义分数阶积分算子Jα (·) 为:
两者之间存在重要关系为:
2 Haar小波分数阶积分算子矩阵
式中, i=0, 1, 2, …, m-1, m=2p+1, p=0, 1, 2, …, j, k表示i的整数分解i=2j+k+1.
任意u (t) ∈L2 ([0, 1) ) , u (t) 可展开为:
实际应用中, 往往考虑式 (8) 前m项
式 (9) 也可写为:
式中, c T=[c0, c1, …, cm-1]T, Hm (t) =[h0 (t) , h1 (t) , …, hm-1 (t) ]T, 等距步长离散式 (10) 得:
式中, y=[y (t0) , y (t1) , …, y (tm-1) ]T, 由Haar小波的定义可知, H为正交矩阵, 则有:
下面根据Haar小波的定义和Riemann-Liouville定义推导Haar小波分数阶积分算子矩阵Pα.
式中,
Haar小波分数阶积分算子矩阵Pα= (PαH) ·HT.
由式 (10) 有:
3 算法的应用
对D*αu (t) 进行Haar小波近似:
由式 (17) 及Haar小波分数阶积分算子矩阵, 有:
将式 (19) 和式 (20) 代入式 (18) ,
系数a (t) 离散为a (ti) , 同样f (t) 离散为f (ti) , i=0, 1, 2, …, m-1.
则式 (21) 可以写成:
式 (23) 是线性代数方程组, 易求c T.
4 误差分析
假设D*αum (t) 是D*αu (t) 的Haar小波近似
式中, m=2p+1, p=0, 1, 2, …, 则:
定理1.假设D*αum (t) 为D*αu (t) 的Haar小波近似, 则有下面上界估计式成立
证明.由函数序列hmi (t) i的定义有:
所以有
利用积分中值定理, 存在t1, t2
使得:
定理2.由定理1易推.
由式 (30) 得, 当m→∞时, 有‖u (t) -um (t) ‖E→0.
进一步证明了上述算法式收敛的, 同时定理2又给出了Haar小波近似求解的误差上界.
因此t1<t2, 所以t1r-α-t2r-α<0.因此:
由式 (31) 可变为:
将式 (35) 代入式 (28) , 有:
5 数值算例
考虑如下分数阶微分方程:
利用该方法取不同m值得误差与误差上界见表1.
6 结论
利用Haar小波分数阶积分算子矩阵求解了一类分数阶微分方程, 将原问题转换为求解线性代数方程组问题.误差分析证明了该算法是收敛的, 同时给出了误差估计式, 得到了相应的误差上界.文中所提出的方法计算量小, 是一种有效的算法.
参考文献
[1]任建娅, 尹建华.小波方法求一类变系数分数阶微分方程数值解[J].辽宁工程技术大学学报:自然科学版, 2012, 31 (6) :925-928.
[2]尹建华, 任建娅.Legendre小波求解非线性分数阶Fredholm积分微分方程[J].辽宁工程技术大学学报:自然科学版, 2012, 31 (3) :405-408.
分数阶微分方程 第9篇
近年来, 混沌同步技术在保密通信中具有潜在的应用价值而得到了广泛研究。这些研究主要集中于整数阶系统, 理论已较为成熟。
分数阶微分方程是指微分阶次可以是非整数阶的, 它扩展了整数阶微分方程的描述能力, 为实际系统研究提供了更完善的数学模型。
投影同步指投影同步是指驱动响应系统按照一个尺度因子演化, 即系统的对应分量成比例。
针对以上分析, 本文对分数阶混沌系统投影同步问题进行了研究。通过结合分数阶混沌系统稳定性理论, 实现了一类基于Lyapunov方程的控制器设计, 完成了非线性混沌系统的投影同步以及控制, 证明了理论的正确性。
二、理论分析
考虑如下一类分数阶混沌驱动-响应系统 (1) 和 (2)
引理1对于分数阶受控系统 (3) , 当阶数 时, 如果控制项u (t) 能使分数阶受控系统 (3) 的系数矩阵A' (X) 满足Lyapunov方程, 即存在实对称正定矩阵P、半正定矩阵Q, 使得方程
对于任意的状态变量X恒成立, 则分数阶受控系统 (3) 渐近稳定。其中, 受控系统为:
定义1对于由 (1) 和 (2) 确定的两个动力系统, 如果存在常数使得, 则称驱动-响应系统达到了投影同步。
特别的, 当 , 称为全局反同步;当 时, 称为全局完全同步。因此, 投影同步可以看做是完全同步的一种推广。
对于分数阶Chen系统, 有如下驱动系统以及响应系统:
其中计控制器为:
用响应系统减去驱动系统得误差系统 (5) :
定理1若系统 (5) 满足如下条件:矩阵M (x, y) 满足Lyapunov方程, 即存在正定矩阵P, Q, 使得方程
对于任意的状态变量x, y恒成立, 则有系统渐进稳定, 驱动-响应系统达到混沌投影同步。
证明令正定矩阵P, Q为单位阵, 显然有 (6) 成立且:
定理1得证。
三、结论
本文基于lyapunov方程的稳定性理论, 设计达到了一类混沌系统的投影同步控制。通过比列调节, 极大改善了系统同步性能, 增强了保密性, 具有更强的实用价值。
参考文献
[1]T.Yang, A survey of chaotic secure communication systems, International Journal of Computational Cognition 2 (2) (2004)
[2]Li, G.H.:Modified projective synchronization of chaotic system.Chaos Solitons Fractals 32, 1786 1790 (2007)
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[4]Ning D, Lu J A 2005 Acta Phys.Sin.54 4590 (in Chinese)
[5]Deng, W., Li, C.P.:Chaos synchronization of the fractional Lüsystem.Physica A 353, (2005)
[6]张群娇, 超混沌Rossler和超混沌Lorenz系统的全状态混合投影同步.动力学与控制学报, 2009
[7]刘杰, 陈士华, 陆君安.统一混沌系统的投影同步与控制.物理学报, 2003, 52
[8]胡建兵, 韩焱, 赵灵冬.基于Lyapunov方程的分数阶混沌系统同步.物理学报, 2008
分数阶微分方程 第10篇
关键词：分数阶微分,近红外光谱,数据预处理,偏最小二乘法
目前在近红外光谱数据预处理中普遍使用由Savitzky-Golay提出的窗口移动多项式最小二乘法拟合对光谱数据进行平滑、1阶微分和2阶微分计算,最终目的是去除基线干扰,突出谱线的差别,增强信息量,提高预测准确率和模型的稳健性[1]。1阶微分和2阶微分曲线差异很大,一些过度信息容易遗漏,利用1阶微分和2阶微分的中间信息将会很有意义。笔者将分数阶微分的算法引入到光谱数据的预处理中,具体考察了不同阶数微分处理结果对建模的影响。丰富了光谱数据预处理方法,扩展了微分的概念,可以在分数阶微分空间范围寻找更适合的处理方式。
分数阶微积分是一门数学学科,用来计算函数的任意实数阶次微分[2],300多年前Bemoulli写给Leibnitz的信中提出了将微分阶次从整数推广到分数的问题,但是由于没有明确的物理概念一直被人们所忽略。1968年,KEITH B OLDHAM研究小组发现在电化学中卷积运算算符与数学上的半积分和半微分是一样的,并且能够获得比常规方法更好的效果。近几十年来,分数阶微分在应用数学、材料力学和生物物理方面的研究与应用,发现了更多的实际应用价值[3]。卢小泉等采用分数导数结合傅里叶最小二乘拟合对紫外含噪声信号进行了处理[4]。李远禄等设计了一种分数阶微分滤波器,应用于重叠伏安峰的分离[5,6]。王卫星等通过分数阶微分对岩石裂隙图像进行增强[7]。李大字等设计了一种分数阶预测控制器[8]。蒲亦非等将分数阶微分用于数字图像的纹理细节检测[9]。杨柱中等设计并改进了分数阶微分IIR滤波器[10]。杨久红和王小增将改进不完全微分算法用于ARM度控制系统设计[11]。白珍龙和耿继宏将分数阶微分用于适应控制[12]。
1 算法理论基础1.1 常用的窗口移动多项式最小二乘法拟合算法
窗口移动多项式最小二乘法拟合算法是由Savitzky和Golay共同提出的[1],是近红外光谱平滑、1阶微分和2阶微分最常用的算法,此方法不仅能提高信号的信噪比,而且能保留分析信号中的有用信息。此算法的核心思想是:通过多项式对窗口内数据点进行多项式最小二乘拟合。窗口点数一般为5～25的奇数点,多项式次数为2、3、4或5次,在文献[1]中有所有的参数。笔者采用Savitzky-Golay算法进行的平滑、1阶微分和2阶微分均是采用3次多项式7点窗口进行的,以供与分数阶微分的计算结果进行对比。
1.2 分数阶微分算法
分数阶微积分在发展过程中形成Riemann-Liouville定义、Grumwald-Letnikov定义和Caputo定义。其中Grumwald-Letnikov数值算法最为常用[2],笔者采用此算法。f(λ)的q次微分的数值算法如下:
undefined (1)
式中 ΓGamma函数;
N 数据长度;
q 实数。
当q值为分数时,式(1)就给出分数导数结果。令δ=λ/N,整理为下式:
undefined
具体算法程序采用Matlab2008实现。
2 实验条件
汽油实验条件如下:
仪器 华夏科创阿达玛变化透射红近外光谱仪
波长范围 930～1 690nm
分辨率 8nm
试验温度 室温20℃
样品 全国各炼油厂93#汽油
测定方法 国标
煤炭实验条件如下:
仪器 华夏科创反射近红外光谱分析仪(采用Hadamamard数字分光技术设计)
波长范围 1 600～2 400nm
分辨率 8nm
试验温度 室温20℃
光谱扫描方式 漫反射光谱,连续扫描60次
后平均
样品 标准煤样共41个,粒径均为80目
测定方法 国标
3 结果与讨论
3.1 数据处理方式的比较和不同阶次处理结果的对比
图1、2分别是25个汽油样品的原始数据光谱和41个煤炭样品原始数据光谱。图3是Grumwald-Letnikov分数阶微分算法求的0.4、0.8、1.2、1.6、2.0阶微分曲线,数据曲线随着阶次的增加有一个渐变的过程。
为了考察不同数据处理方式对PLS数据模型的不同效果。首先分别对25个汽油样品光谱数据和41个煤炭样品光谱数据进行Savitzky-Golay算法和Grumwald-Letnikov算法处理。Savitzky-Golay算法处理包括:平滑处理、平滑后1阶微分和平滑后2阶微分;Grumwald-Letnikov算法处理包括:平滑后0.2～2.2阶21个微分处理。然后通过PLS对汽油处理后数据和汽油的辛烷值、初馏点指标数据建立数学模型,对煤炭处理后数据、煤炭的挥发分、氢含量和氮含量指标数据建立数学模型。建模过程中通过留一法全交互验证选取最优主成分,采用相关系数(R)和预测残差平方和(PRESS)评价模型质量,进而评估数据处理效果。
3.2 汽油指标预测评价结果
图4、5分别是汽油辛烷值、初馏点的微分阶数与相关系数和预测残差平方和的关系图。每幅图中横坐标0、1、2对应的“*”和“O”分别是Savitzky-Golay算法的平滑、平滑后一阶微分和平滑后二阶微分后进行PLS建模所得的相关系数和预测残差平方和。Grumwald-Letnikov算法求0.2～2.2阶微分后的PLS建模所得的微分阶数与相关系数的关系用实线表示,微分阶数与预测残差平方和关系用虚线表示,相关系数最大值点坐标和预测残差平方和最小值点坐标用“□”标出。图4是辛烷值的相关系数和预测残差平方和与微分阶数的关系,随着微分阶数的增加相关系数先增大后减小,预测残差平方和是先减小后增大。极值点都出现在1.4阶微分处。图5是初馏点的微分阶数与相关系数和预测残差平方的关系图,随着微分阶数的增加相关系数先减小后增大再减小再增大,预测误差平方和与其相反,极值点都出现在0.9阶微分处。可以看出相关系数和预测误差平方和随分数阶微分的变化有一定的连续性和规律性。表1是两种不同算法对汽油样品两指标建模的最优值,给出了最优值位置、相关系数和预测误差平方和。
4 煤炭预测评价结果
图6～8分别是煤炭挥发分、氢含量和氮含量的微分阶数与相关系数和预测误差平方和的关系图。每幅图中横坐标0、1、2点对应的“*”和“O”是Savitzky-Golay算法平滑,平滑后一阶微分和二阶微分后分别进行PLS建模所得的相关系数和预测残差平方和。Grumwald-Letnikov算法求0.2～2.2阶微分后的PLS建模所得的微分阶数与相关系数的关系用实线表示,微分阶数与预测残差平方和关系用虚线表示,相关系数最大值点坐标和预测残差平方和最小值点坐标用“□”标出。从几个图中可以看出:不同指标建模最优值对应的微分阶次是不同的;相关系数与预测误差平方和随分数阶微分的变化有一定的连续性和规律性。表2是两种不同算法对煤炭样品两指标建模的最优值,给出了最优值位置、相关系数值和预测残差平方和。
5 结束语
从分数阶微分阶数与相关系数和预测残差平方和的关系中可以看出,分数阶微分具有一定的连贯性和规律性。从表1、2的预测结果可以看出:分数阶微分的最优结果并不都在整数阶微分处,而是在0阶微分和1阶微分之间或1阶微分和2阶微分之间。通过Savitzky-Golay算法整数阶微分的最优值和Grumwald-Letnikov算法分数阶微分的最优值的比较,Grumwald-Letnikov算法的结果有时要优于Savitzky-Golay算法,分数阶微分的应用丰富了近红外光谱的数据预处理方式,可以在分数阶微分层面上对光谱数据信息进行更深入的挖掘,这种方法对于指标信息与光谱数据的微分信息关联比较强的情况,对所建模型的稳健性和预测的准确性将会有所提高。
参考文献
[1]梁逸曾,俞汝勤.分析化学手册第十分册化学计量学[M].第2版.北京:化学工业出版社,2000:162～172.
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