课题研究的阶段小结范文第1篇

本课题自2013年4月申报立项。至今已有近半年时间。半年来，主要在以下几个方面做了一些学习、交流、探索。一是生成性资源概念的界定;二是理清生成与预设的关系;三是如何才能促进小学数学课堂教学中的“动态生成”以及我们的应对策略，其中第一点我们主要是做了一些再学习，第二点和第三点是我们研究的具体内容，第三点是研究活动的重点。现将具体活动情况汇报如下：

一、 进一步确定和修改研究的内容

本课题以新课程教学理念为目标，“生成性资源”又是小学数学课堂的核心理念之一，小学数学课堂是一个动态的、不断发展推进的、有着灵活生成性和不可预测性的过程。

因此，数学教学应是预设与生成、封闭与开放的统一体，应在精心预设的基础上追求课堂教学的动态生成与主动建构，应为师生教学过程创造性的发挥提供时空余地，既要有课前的巧于预设，也要有课堂的妙于生成。为此，在课堂教学中，利用科学的策略，构建有利于学生终身可持续性发展的动态生成课堂。

本课题从教师学生的实际出发，立足于我校的课题组成员所任教班级作为研究对象，对搞好教师的教科研能力和提高小学数学课堂有效性有着重要作用，得到全体课题组成员的高度认同。

二、 实施和操作阶段

1、 建立课题研究制度和计划，确保研究顺利完成。加强理论学习，领会课题的精神，深入探讨，分析交流，提出改进之处，确定课题实施方案，学习可采用集中学习、分散学习、积极参加市局教科室举办的各种培训。

2、确立典型课例和上课的老师，课题组成员听课，了解学生在课堂上的表现，师生互动和生生互动的情况、课堂气氛、教学效果和三维目标的落实。每次上课均确定主题，具体实施过程中将知识体系划分为四个只是块，每个知识块均从前述的几个方面展开，并注重对比。不可否认，仍有个别教师的课堂结构依旧是线性发展，课堂气氛不活跃，学生对问题不去思考，学生没有自由支配的时间，没有思考的时间和空间，课堂上老师唱主角，学生成了忠实的听众，学生学习积极性不高，教学效果不理想，教师感到很累。

3、课后调查学生，听取学生现在在课堂上的想法，自己想怎样参与课堂上的学习，问清学生的心理需要，掌握的动态，分析形势共有的认识，为研究提供依据参考。发放问卷调查，对问卷进行详细分析，撰写调查报告。

4、开展初步的研究活动，课题组成员分析写好典型的案例，课堂观察，调查报告，及时分析总结，运用已掌握的策略上好研究课。

三、研究中期的反思

1、课题组成员通过各种调查和理论学习，统一了思想达成了共识，转变了观念，搞好课题研究的积极很高，有不少的现象和课改精神不相符合，很有必要通过课题研究解决我校数学教师在课堂教学中普遍存在的问题，优化课堂教学。

2、 切实落实科研兴校的思想，通过此课题研究，影响更多的教师去投身教科研，在研究中提高自己，发展自己，向优秀教师学习。

3、 在各自的教学实践中探求动态生成的策略，具有现实的指导意义，既有针对性和有效性，也能影响其他学科教师，借鉴一些策略，运用到自己的教学中去，让学生全面发展。

四、初步成效

通过课题组成员的调查和各自的实践研究，探求一些策略，在课堂教学中起到了很好的效果。

1、准确理解预设与生成的关系。

课堂是一个充满活力的生命整体，处处蕴含着矛盾，其中生成与预设之间的平衡与突破，是一个永恒的主题。预设与生成是辩证的对立统一体，课堂教学既需要预设，也需要生成，预设与生成是课堂教学的两翼，缺一不可。预设体现对文本的尊重，生成体现对学生的尊重;预设体现教学的计划性和封闭性，生成体现教学的动态性和开放性，两者具有互补性。教学既要重视知识学习的逻辑和效率，又要注重生命体验的过程和质量，但是生成对教学目标的达成有利亦也弊，所以，我们的课堂教学实际上总是在努力追寻着预设与生成之间的一种动态平衡。

2.捕捉动态生成的亮点资源，让智慧闪耀光芒。

课堂中学生的回答往往会不经意地出现一些亮点。这些亮点是学生学习的顿悟、灵感的萌发、瞬间的创造，稍纵即逝。我们必须用心倾听、及时捕捉和充分肯定，让智慧闪耀光芒。

3.倾听学生的独特见解，及时进行提炼。

教学中不仅要努力捕捉学生的亮点，还要留心倾听学生的独特见解，及时进行提炼。

4.点拨偏差，重拾信心，迸发创新之花 .。

教学的过程是师生互动的过程，教师手握的是已知的教材，面对的永远是学生未知的答案。我们不仅要学会发现学生动态生成的亮点资源，也要及时捕捉学生出现尴尬的问题所在。巧妙地挖掘其中的“问题”资源，通过分析、比较，学生自我探索、自我体验等方式，把尴尬化为一次新的学习。

5.引发争论，让思维擦出火花 。

学习的过程绝不仅是被动接受的过程，西方学者狄德罗曾说过：“怀疑是走向哲学的第一步”数学也是如此，当学生能够提出自己的疑问，就说明对所学内容有了独立思考，这是学习的深入，更是一种进步!数学学习是学生认识矛盾转化的过程，鼓励学生在提出问题的基础上解决问题，在解决的基础上完善。我们反复地研究发现：一旦激发起学习的欲望，孩子们的学习劲头是很大的，根本不用教师去催。教师首先要做的是创设一个师生融洽的教学环境，鼓励孩子大胆提出问题，组织他们去解决发现的问题。在彼此思维的碰撞中，就会闪现智慧的火花!

五、阶段性成果

1、部分论文

2、典型案例 我们搜集的案例，注重弹性设计，注重时空预留，注重过程中的调控。

3、课题组成员的观察记录。

六、研究中存在的问题

1、教科研的基础知识，基本的研究方法仍需要继续学习，深刻理解操作的步骤，并能在实践中正确应用。

2、深入钻研相关理论知识，特别是本学科专业知识，这是能否准确、迅速应对“生成”的基本保证。

3、大力营造研究的氛围，让每位成员理解，教学即研究，课题研究就在我们身边，不能为研究而研究，让研究为课堂教学服务。

4、养成勤写勤记录的习惯，有时不能及时把研究的成功经验、课后反思、典型案例进行梳理总结，只是到某一阶段需要材料时才整理。

课题研究的阶段小结范文第2篇

一、优点：

(一)、学案教学能“用活”教材。“导学案”的使用，使得教师不再是照本宣科的讲教材，而是根据教材提供的知识，从生活实际取材，按照由易到难或者其他的逻辑顺序提出问题，这样不但让学生学会了解决问题，更能了解到知识来源于生活，又反作用于生活。 (二)、教师由传统的知识传授者转变为学习的组织者。以前的教学，都是教师讲，学生听，满堂灌的教学模式，学生掌握的好与坏只是通过提问几个同学来了解，也不能全面的掌握，课堂上忽视了学生自主学习能力的培养，教师主宰课堂，学生被动的接受，效果不好。新课堂下教师角色的重新定位教师是学习的参与者、引导者和合作者。“导学案”的使用,使教师的教学观发生了根本性的转变。每位教师充分利用“导学案”的特点重视学生良好的学习习惯的培养，鼓励学生主动学习，课堂上小组内相互讨论，既促进了学生的学习兴趣，又融洽了同学之间的关系，同时，教师更多的是授予学习方法，引导学生解决问题，归纳方法，教师成为了学生学习活动的引导者。

(三)“导学案”的使用，使教师成为学生学习的参与者。课堂上，不再是教师提问题学生回答，而是根据质疑问难环节学生根据自己的学习情况提出问题，教师和同学共同回答，或共同讨论问题的解决方法，教师参与到学生的讨论中来，既让学生学到了知识，又拉进了学生与教师之间的距离。学案教学，可以把教师的教与学生的学紧密结合起来，提高教师“导”的技能，增加学生“学”的活动，变教为诱，变学为思，以诱达思，学生多多参与，教师巧妙点拨、指导。既有利于培养学生学习数学的兴趣，又是变被动学为主动学的好方法，它顺应了学习内容越来越丰富、学习活动趋于多样化的教育发展的趋势。因此，学案教学特别有利于发挥学生的主体作用，使学生生动活泼、积极主动地得到发展。

二、困惑

在这一段时间学生运用导学案进行自主学习，最初的豪情壮志，在实施过程中发现与实际情况相差甚远，开学一周，从来没有在一节课中完成学习任务，总是一节课40分钟只能完成双向五环中的一个或几个环节，一张导学案却需要2至3个课时才能完成，就是这样检测反馈回来的成绩不太理想。

回想这段时间的课堂情况，我们教研组反复讨论研究发现，是由多种因素造成的：在这种新型模式学习下，教师的评价跟不上、学生的不适应等等，最关键的还是导学案编制的实用性和教师的引导上出了问题，而我们并没有灵活运用，只是一味的想着设问导读环节不交流，没有让学生有一种遇到问题就探讨的学习习惯，只是在责怪学生。另外在课堂展示的过程中只注重了学生的说，学生眼高手低，从而导致了诸多问题。

课题研究的阶段小结范文第3篇

一、工作回顾：

我校的课题研究是“高效教学”， 自该课题立项以来，课题组成员按课题研究计划稳步推进教学研究，在前一阶段研究的基础上又做了大量的工作，现就工作情况小结如下。

二、取得的成绩

(一)通过研究，进一步明晰了我校小学数学教学研究的方向 在研究中，我们进一步明确了新课程背景下我校小学数学课堂教学的发展目标，即“轻负高效”，有效地促进学生全面地发展。为了达成这个目标，我们进一步规范了教学常规管理的流程，细化了有效课堂教学实施的评价标准，来引领教师的教学工作向着健康、有效的方向发展。

(二)通过研究，促进了教师的发展

1、教师对有效教学的理念和教学策略有了较为深入地了解 研究促使教师走进“有效教学”，研究“有效教学”，实施“有效教学”。在过程中，老师们进一步认识到了有效教学的本质，理解了开展有效教学的目的，感受到实施有效教学的必要性。在研究中，他们了解了新课程背景下小学数学有效课堂教学实施的基本流程，并且对优化每个流程的有效策略有了较为清晰地认识。

2、教师的科研意识普遍增强，科研水平显著提高，名师成长梯队已经形成

教师们深刻认识到科研给学校带来的活力，他们都力图借助课题研究提升学校教学品位，改变教师的教学状态，提升自身的工作质态。不少教师在课题研究中脱颖而出，成为学校的教学骨干。他们既是科研课题的参与者、研究者，又是教科研的直接受益者。

3、教师的教学能力不断提升，教学水平不断提高

我校小学数学教学通过课题的引领，教研风气空前浓厚，教学策略和方法的优化正成为广大教师数学教学的追求目标。教师们在一次次研究、追寻、反思、改进中，教学水平得到了提高，教学能力不断提升。

(三)通过研究，促进了学生的发展 随着学习方式的不断优化，创新意识和实践能力的不断增强，受到了社会的广泛好评。

三、存在的不足：

经过努力，课题研究取得了一定的成绩，但也存在一些问题。一是受研究能力和理论水平的限制，课题研究前瞻性不够，创新程度不高，有的停留于浅层次的验证性研究上，未能取得重大的突破性研究成果。二是有效教学的策略提炼侧重于对一般化的教学方法进行探索，虽然研究得还比较深入，但是对于数学“四大领域”内容的分类研究策略还显得不够。三是师资培训是一个较为严重的问题，教师的自身知识系统的完善、教师教学观念的进一步更新等等问题也是制约课题研究深入开展的瓶颈之一。四是对子课题的管理还要进一步加强，由于是区域性的研究，子课题的发展不是十分均衡。这些问题再下一阶段的研究中要大力完善。

四、成果的推广与今后的研究思考

有效课堂教学是有效教学研究的一个重要方面，是实现有效教学最基本的，也是最重要的途径。影响有效课堂教学的相关因素很多，如教学设计、教学组织、教学方法、学习指导、练习巩固、作业批改与辅导、教学反思等等，狭义地来看，影响有效课堂教学的因素有备课，教学实施和课堂教学评价这几个方面。本课题就着重从这三个方面来探究和提炼有效的课堂教学策略。在探寻中，我们发现，提炼有效的教学策略不是无的放矢的东一榔头西一棒，在提炼有效教学策略时必须要遵循一些基本的原则，这样提炼出来的策略才是有效的、是能够真正提高课堂教学效率、促进学生发展的“真策略”。

教师方面：

教学设计建立在深入钻研教材的基础上，正确地把握教材的重难点，教学内容是科学的;教学板块清晰，重点突出，层次分明;教学设计有创意。

教学方法符合现代教学理念，善于创设问题情境，引导学生自主探究、合作交流;练习科学有效，注重及时反馈和矫正;面向全体，体现分层训练，科学评价学生，关注学生可持续发展。

教师普通话标准，表达清晰、规范，注重体态语言;教学有激情，富有亲和力，具备良好的课堂组织调控能力与教学机智;板书工整、清晰，有条理、教学手段先进，能恰当运用电教仪器或直观教具。 c.学生方面：精神状态饱满，积极参与学习活动，会倾听，认真书写，善于表达、合作、思考。

d.课堂效果方面：教学目标达成度高，师生身心愉悦，学生在情感、态度、价值观等方面得到相应的发展。

本课题自2006年3月申报立项以来，进行了扎扎实实的研究，在研究过程中采取边研究边反思，边反思边调整，边总结边推广的方法，不断促进我校小学数学老师关注该课题的研究进展。

课题研究的阶段小结范文第4篇

《认知建构模式在小学数学教学中的实验研究》

工

作

总

结

二0一三年十二月二日

指导学生自主建构学习的阶段总结

泗阳县众兴实验小学

此课题的研究我们尝试了一年多了，为了使课题研究落到实处，通过一个阶段地实验和研究，教师的学生观渐渐地发生了转变。现在我们大部分学生体会到数学并不那么枯燥乏味，离我们并不遥远，原来它就在身边，从而对数学产生亲切感。通过一个阶段地实验和研究，提高了课堂教学的质量、促进了教师的专业化成长。老师们在课题研究的过程中，渐渐养成了勤学习、勤实践、勤反思、勤总结的习惯，变得会教、善教，教学能力、科研能力也得到了提升。

课程强调要使学生能适应终身学习的要求，具有适应终身学习的基础知识、基本技能和方法，“改变课程过于注重知识传授的倾向，强调形成积极主动的学习态度”。在课程实施中要改变过去强调接受学习，倡导学生自主建构、主动参与、乐于探究、勤于动手，培养学生搜集和处理信息的能力，获取新知识的能力，分析和解决问题的能力。

(一)自主建构学习的本质

自主建构学习包括三个方面的含义: 第

一、自主建构学习是由学习者的态度、能力和学习策略等因素综合而成的一种主导学习的内在机制，也就是学习者指导和控制自己的学习能力。

第二、自主建构学习是指学习者对自己的学习目标、学习内容、学习方法以及使用学习材料的控制权，即指学习者在以上这些方面的自由选择程度。

第三、自主建构学习是一种学习模式，即学习者在总体教学目标的宏观调控下，在教师的指导下，根据自身的条件和需要制定并完成具体学习目标的模式。

自主建构学习的定义可归结为：自主建构学习是一种学习者在总体教学目标的宏观调控下，在教师的指导下，根据自身条件和需要自由地选择学习目标、学习内容、学习方法并通过自我调控的学习活动完成具体学习目标的学习模式。

(二)自主建构学习的特点

自主建构学习是学生在学习活动中自我决定、自我选择、自我调控、自我评价反思，发展自身主体性的过程。自主建构学习具有能动性，独立性和异步性三个基本特点：

第一、自主建构学习的能动性。自主建构学习是把学习建立在人的能动性基础上，它以尊重、信任、发挥人的能动性为前提。能动性的表现形式有：自觉(自律)与主动(积极)。自主建构学习是一种自律学习，一种主动学习，这一转，转出了学生无可推诿的主体责任，也转出了原来处于压抑状态时的那种不能自己决定、自己判断的智慧。自主建构学习使学生的学习状态发生了根本变化：从他律到自律、从被动到主动、从消极到积极，不仅开发出了学生的潜能，而且培养了学生学习的责任心。

第二、自主建构学习的独立性。自主建构学习把学习建立在人的独立性基础上，自主建构学习的实质就是独立学习，独立性是自主学习的灵魂，要求学生能够不依赖教师和别人，自主独立地开展教学活动。

第三、自主建构学习的异步性。自主建构学习尊重学生的个别差异，学生在充分了解自身的客观条件，并进行综合评估的基础上，根据自身的需要，制定出具体的学习目标，选择相关的学习内容，并对学习结果做出自我评估。学习的异步性;使不少学生脱颖而出，使暂时落后的学生能够在教师的指导和帮助下尽快赶上来。

总之，自主建构学习是一种学生把自己置于主人地位上的学习，学习也就变成自己的事，自觉自愿的事。学习积极性的根源在于学生内部学习动机，而这种积极性一旦被调动起来，学生将主动参与到学习活动中去，学习也将是高效的。教师要放手给学生必要的个人空间，为学生创造、发现、表现，提供更多的机会，特别是为不同个性特点的学生提供必要的发展空间。

可以说自主建构学习不仅能开发出学生潜在的能力，而且能激活、诱导出学生学习的积极性，养成良好的学习态度和学习习惯。“一切天赋和诺言都不如习惯更有力量”。

(三)如何开展自主建构学习

在教学中如何来开展自主建构学习呢?我主要帮助学生做好以下几个方面的工作：

第一、要有一定的相关知识。教师在进行自主学习活动之前，先要做的事情就是要了解学生已有的知识储备和学习基础。其次学生能否理解您准备让他自主学习的内容。因此，要进行自主建构学习，首先就要研究学生。

第二、课题、目标要能被学生掌握。教师确定的目标，是经过学生努力可以达到的目标，教师确定的课题是学生经过努力能够掌握的课题。要设置切合学生实际的课题和目标。

第三、学生应掌握解决问题的方法。自主建构学习主要是学生自己学习，而自己学习就要有一定的科学合理的学习方法：这就要求教师在学科的教学中要注重引导学生掌握科学合理有效的方法。“授之以渔”会学比学会更重要。 第

四、学生能根据课题的性质改变学习方法，拥有解决新问题，发现新方法的能力。自主建构学习要求学生能够深入研究课题的基础上，及时调整使用合理的教学方法解决新问题，并在解决问题的过程中探讨使用有效的新方法。 第

五、学生要与教师和其他同学共同探讨新方法，交流学习体会和学习材料，互相帮助。

课题研究的阶段小结范文第5篇

科目：数学

组员：

班主任：

2008年5月

关于函数的知识

简介

在数学领域，函数是一种关系，这种关系使一个集合里的每一个元素对应到另一个(可能相同的)集合里的唯一元素。

自变量，函数一个与他量有关联的变量，这一量中的任何一值都能在他量中找到对应的固定值。

函数两组元素一一对应的规则，第一组中的每个元素在第二组中只有唯一的对应量。 函数的概念对于数学和数量学的每一个分支来说都是最基础的。

数学中的一种对应关系，是从非空集合A到实数集B的对应。简单地说，甲随着乙变，甲就是乙的函数 。精确地说，设X是一个非空集合，Y是非空数集 ，f是个对应法则 ， 若对X中的每个x，按对应法则f，使Y中存在唯一的一个元素y与之对应 ， 就称对应法则f是X上的一个函数，记作y=f(x)，称X为函数f(x)的定义域，集合{y|y=f(x)，x∈X}为其值域(值域是Y的子集)，x叫做自变量，y叫做因变量，习惯上也说y是x的函数。

若先定义映射的概念，可以简单定义函数为：定义在非空数集之间的映射称为函数。

函数的类型

复合函数

有3个变量，y是u的函数，y=ψ(u)，u是x的函数，u=f(x)，往往能形成链：y通过中间变量u构成了x的函数：

xuy，这要看定义域：设ψ的定义域为U 。 f的值域为U，当U*ÍU时，称f与ψ 构成一个复合函数 ， 例如 y=lgsinx，x∈(0，π)。此时sinx>0 ，lgsinx有意义 。但如若规定x∈(-π，0)，此时sinx<0 ，lgsinx无意义 ，就成不了复合函数。

反函数

就关系而言，一般是双向的 ，函数也如此 ，设y=f(x)为已知的函数，若对每个y∈Y，有唯一的x∈X，使f(x)=y，这是一个由y找x的过程 ，即x成了y的函数 ，记为x=f -1(y)。称f -1为f的反函数。习惯上用x表示自变量 ，故这个函数仍记为y=f -1(x) ，例如 y=sinx与y=arcsinx 互为反函数。在同一坐标系中，y=f(x)与y=f -1(x)的图形关于直线y=x对称。

隐函数

若能由函数方程 F(x，y)=0 确定y为x的函数y=f(x)，即F(x，f(x))≡0，就称y是x的隐函数。

思考：隐函数是否为函数?因为在其变化的过程中并不满足“一对一”和“多对一”

多元函数 设点(x1，x2，，xn) ∈GÍRn，UÍR1 ，若对每一点(x1，x2，，xn)∈G，由某规则f有唯一的 u∈U与之对应：f：GU，u=f(x1，x2，，xn)，则称f为一个n元函数，G为定义域，U为值域。

一次函数

I、定义与定义式：

自变量x和因变量y有如下关系：

y=kx+b(k，b为常数，k≠0)

则称y是x的一次函数。

特别地，当b=0时，y是x的正比例函数。

II、一次函数的性质：

y的变化值与对应的x的变化值成正比例，比值为k 即 △y/△x=k

III、一次函数的图象及性质：

1. 作法与图形：通过如下3个步骤(1)列表;(2)描点;(3)连线，可以作出一次函数的图象一条直线。因此，作一次函数的图象只需知道2点，并连成直线即可。

2. 性质：在一次函数上的任意一点P(x，y)，都满足等式：y=kx+b。

3. k，b与函数图象所在象限。

当k>0时，直线必通过

一、三象限，y随x的增大而增大;

当k<0时，直线必通过

二、四象限，y随x的增大而减小。

当b>0时，直线必通过

一、二象限;当b<0时，直线必通过

三、四象限。

特别地，当b=O时，直线通过原点O(0，0)表示的是正比例函数的图象。

这时，当k>0时，直线只通过

一、三象限;当k<0时，直线只通过

二、四象限。

IV、确定一次函数的表达式：

已知点A(x1，y1);B(x2，y2)，请确定过点A、B的一次函数的表达式。

(1)设一次函数的表达式(也叫解析式)为y=kx+b。

(2)因为在一次函数上的任意一点P(x，y)，都满足等式y=kx+b。所以可以列出2个方程：

y1=kx1+b① 和 y2=kx2+b②。

(3)解这个二元一次方程，得到k，b的值。

(4)最后得到一次函数的表达式。

V、一次函数在生活中的应用

1.当时间t一定，距离s是速度v的一次函数。s=vt。

2.当水池抽水速度f一定，水池中水量g是抽水时间t的一次函数。设水池中原有水量S。g=S-ft。

反比例函数

形如 y=k/x(k为常数且k≠0) 的函数，叫做反比例函数。

自变量x的取值范围是不等于0的一切实数。

反比例函数的图像为双曲线。

如图，上面给出了k分别为正和负(2和-2)时的函数图像。

三角函数

三角函数是数学中属于初等函数中的超越函数的一类函数。它们的本质是任意角的集合与一个比值的集合的变量之间的映射。通常的三角函数是在平面直角坐标系中定义的，其定义域为整个实数域。另一种定义是在直角三角形中，但并不完全。现代数学把它们描述成无穷数列的极限和微分方程的解，将其定义扩展到复数系。

由于三角函数的周期性，它并不具有单值函数意义上的反函数。

三角函数在复数中有较为重要的应用。在物理学中，三角函数也是常用的工具。

它有六种基本函数：

函数名 正弦 余弦 正切 余切 正割 余割

符号 sin cos tan cot sec csc 正弦函数 sin(A)=a/h 余弦函数 cos(A)=b/h 正切函数 tan(A)=a/b 余切函数 cot(A)=b/a

在某一变化过程中，两个变量x、y，对于某一范围内的x的每一个值，y都有确定的值和它对应，y就是x的函数。这种关系一般用y=f(x)来表示。

高斯函数

设x∈R ， 用 [x]或int(x)表示不超过x 的最大整数，并用表示x的非负纯小数,则 y= [x] 称为高斯(Guass)函数，也叫取整函数。

任意一个实数都能写成整数与非负纯小数之和，即：x= [x] + (0≢<1)

复变函数

复变函数是定义域为复数集合的函数。 复数的概念起源于求方程的根，在二次、三次代数方程的求根中就出现了负数开平方的情况。在很长时间里，人们对这类数不能理解。但随着数学的发展，这类数的重要性就日益显现出来。复数的一般形式是：a+bi，其中i是虚数单位。

以复数作为自变量的函数就叫做复变函数，而与之相关的理论就是复变函数论。解析函数是复变函数中一类具有解析性质的函数，复变函数论主要就研究复数域上的解析函数，因此通常也称复变函数论为解析函数论。 复变函数论的发展简况

复变函数论产生于十八世纪。1774年，欧拉在他的一篇论文中考虑了由复变函数的积分导出的两个方程。而比他更早时，法国数学家达朗贝尔在他的关于流体力学的论文中，就已经得到了它们。因此，后来人们提到这两个方程，把它们叫做“达朗贝尔-欧拉方程”。到了十九世纪，上述两个方程在柯西和黎曼研究流体力学时，作了更详细的研究，所以这两个方程也被叫做“柯西-黎曼条件”。

复变函数论的全面发展是在十九世纪，就像微积分的直接扩展统治了十八世纪的数学那样，复变函数这个新的分支统治了十九世纪的数学。当时的数学家公认复变函数论是最丰饶的数学分支，并且称为这个世纪的数学享受，也有人称赞它是抽象科学中最和谐的理论之一。

为复变函数论的创建做了最早期工作的是欧拉、达朗贝尔，法国的拉普拉斯也随后研究过复变函数的积分，他们都是创建这门学科的先驱。

后来为这门学科的发展作了大量奠基工作的要算是柯西、黎曼和德国数学家维尔斯特拉斯。二十世纪初，复变函数论又有了很大的进展，维尔斯特拉斯的学生，瑞典数学家列夫勒、法国数学家彭加勒、阿达玛等都作了大量的研究工作，开拓了复变函数论更广阔的研究领域，为这门学科的发展做出了贡献。

复变函数论在应用方面，涉及的面很广，有很多复杂的计算都是用它来解决的。比如物理学上有很多不同的稳定平面场，所谓场就是每点对应有物理量的一个区域，对它们的计算就是通过复变函数来解决的。

比如俄国的茹柯夫斯基在设计飞机的时候，就用复变函数论解决了飞机机翼的结构问题，他在运用复变函数论解决流体力学和航空力学方面的问题上也做出了贡献。

复变函数论不但在其他学科得到了广泛的应用，而且在数学领域的许多分支也都应用了它的理论。它已经深入到微分方程、积分方程、概率论和数论等学科，对它们的发展很有影响。

复变函数论的内容

复变函数论主要包括单值解析函数理论、黎曼曲面理论、几何函数论、留数理论、广义解析函数等方面的内容。

如果当函数的变量取某一定值的时候，函数就有一个唯一确定的值，那么这个函数解就叫做单值解析函数，多项式就是这样的函数。

复变函数也研究多值函数，黎曼曲面理论是研究多值函数的主要工具。由许多层面安放在一起而构成的一种曲面叫做黎曼曲面。利用这种曲面，可以使多值函数的单值枝和枝点概念在几何上有非常直观的表示和说明。对于某一个多值函数，如果能作出它的黎曼曲面，那么，函数在离曼曲面上就变成单值函数。

黎曼曲面理论是复变函数域和几何间的一座桥梁，能够使我们把比较深奥的函数的解析性质和几何联系起来。近来，关于黎曼曲面的研究还对另一门数学分支拓扑学有比较大的影响，逐渐地趋向于讨论它的拓扑性质。

复变函数论中用几何方法来说明、解决问题的内容，一般叫做几何函数论，复变函数可以通过共形映象理论为它的性质提供几何说明。导数处处不是零的解析函数所实现的映像就都是共形映象，共形映像也叫做保角变换。共形映象在流体力学、空气动力学、弹性理论、静电场理论等方面都得到了广泛的应用。

留数理论是复变函数论中一个重要的理论。留数也叫做残数，它的定义比较复杂。应用留数理论对于复变函数积分的计算比起线积分计算方便。计算实变函数定积分，可以化为复变函数沿闭回路曲线的积分后，再用留数基本定理化为被积分函数在闭合回路曲线内部孤立奇点上求留数的计算，当奇点是极点的时候，计算更加简洁。

把单值解析函数的一些条件适当地改变和补充，以满足实际研究工作的需要，这种经过改变的解析函数叫做广义解析函数。广义解析函数所代表的几何图形的变化叫做拟保角变换。解析函数的一些基本性质，只要稍加改变后，同样适用于广义解析函数。

广义解析函数的应用范围很广泛，不但应用在流体力学的研究方面，而且象薄壳理论这样的固体力学部门也在应用。因此，近年来这方面的理论发展十分迅速。

从柯西算起，复变函数论已有170多年的历史了。它以其完美的理论与精湛的技巧成为数学的一个重要组成部分。它曾经推动过一些学科的发展，并且常常作为一个有力的工具被应用在实际问题中，它的基础内容已成为理工科很多专业的必修课程。现在，复变函数论中仍然有不少尚待研究的课题，所以它将继续向前发展，并将取得更多应用。

正比例函数:

正比例函数y=kx(k是常数，k≠0)的图象是一条经过原点的直线.•当x>0时，图象经过

三、一象限，从左向右上升，即随x的增大y也增大;当k<0时，•图象经过

二、四象限，从左向右下降，即随x增大y反而减小.

正是由于正比例函数y=kx(k是常数，k≠0)的图象是一条直线，•我们可以称它为直线y=kx.

幂函数

幂函数的一般形式为y=x^a。

如果a取非零的有理数是比较容易理解的，不过初学者对于a取无理数，则不太容易理解，在我们的课程里，不要求掌握如何理解指数为无理数的问题，因为这涉及到实数连续统的极为深刻的知识。因此我们只要接受它作为一个已知事实即可。

对于a的取值为非零有理数，有必要分成几种情况来讨论各自的特性：

首先我们知道如果a=p/q，q和p都是整数，则x^(p/q)=q次根号(x的p次方)，如果q是奇数，函数的定义域是R，如果q是偶数，函数的定义域是[0,+∞)。当指数n是负整数时，设a=-k，则x=1/(x^k)，显然x≠0，函数的定义域是(-∞，0)∪(0,+∞).因此可以看到x所受到的限制来源于两点，一是有可能作为分母而不能是0，一是有可能在偶数次的根号下而不能为负数，那么我们就可以知道：

排除了为0与负数两种可能，即对于x>0，则a可以是任意实数;

排除了为0这种可能，即对于x<0和x>0的所有实数，q不能是偶数;

排除了为负数这种可能，即对于x为大于且等于0的所有实数，a就不能是负数。 总结起来，就可以得到当a为不同的数值时，幂函数的定义域的不同情况如下：

如果a为任意实数，则函数的定义域为大于0的所有实数;

如果a为负数，则x肯定不能为0，不过这时函数的定义域还必须根据q的奇偶性来确定，即如果同时q为偶数，则x不能小于0，这时函数的定义域为大于0的所有实数;如果同时q为奇数，则函数的定义域为不等于0 的所有实数。

在x大于0时，函数的值域总是大于0的实数。

在x小于0时，则只有同时q为奇数，函数的值域为非零的实数。

而只有a为正数，0才进入函数的值域。

由于x大于0是对a的任意取值都有意义的，因此下面给出幂函数在第一象限的各自情况. 可以看到：

(1)所有的图形都通过(1，1)这点。

(2)当a大于0时，幂函数为单调递增的，而a小于0时，幂函数为单调递减函数。 (3)当a大于1时，幂函数图形下凹;当a小于1大于0时，幂函数图形上凸。 (4)当a小于0时，a越小，图形倾斜程度越大。 (5)a大于0，函数过(0，0);a小于0，函数不过(0，0)点。 (6)显然幂函数无界。

函数概念的发展历史

1.早期函数概念几何观念下的函数

十七世纪伽俐略(G.Galileo，意，1564-1642)在《两门新科学》一书中，几乎全部包含函数或称为变量关系的这一概念，用文字和比例的语言表达函数的关系。1673年前后笛卡尔(Descartes，法，1596-1650)在他的解析几何中，已注意到一个变量对另一个变量的依赖关系，但因当时尚未意识到要提炼函数概念，因此直到17世纪后期牛顿、莱布尼兹建立微积分时还没有人明确函数的一般意义，大部分函数是被当作曲线来研究的。 1673年，莱布尼兹首次使用“function” (函数)表示“幂”，后来他用该词表示曲线上点的横坐标、纵坐标、切线长等曲线上点的有关几何量。与此同时，牛顿在微积分的讨论中，使用 “流量”来表示变量间的关系。

2.十八世纪函数概念──代数观念下的函数

1718年约翰•贝努利(Bernoulli Johann，瑞，1667-1748)在莱布尼兹函数概念的基础上对函数概念进行了定义：“由任一变量和常数的任一形式所构成的量。”他的意思是凡变量x和常量构成的式子都叫做x的函数，并强调函数要用公式来表示。

1755，欧拉(L.Euler，瑞士，1707-1783) 把函数定义为“如果某些变量，以某一种方式依赖于另一些变量，即当后面这些变量变化时，前面这些变量也随着变化，我们把前面的变量称为后面变量的函数。”

18世纪中叶欧拉(L.Euler，瑞，1707-1783)给出了定义：“一个变量的函数是由这个变量和一些数即常数以任何方式组成的解析表达式。”他把约翰•贝努利给出的函数定义称为解析函数，并进一步把它区分为代数函数和超越函数，还考虑了“随意函数”。不难看出，欧拉给出的函数定义比约翰•贝努利的定义更普遍、更具有广泛意义。

3.十九世纪函数概念──对应关系下的函数

1821年，柯西(Cauchy，法，1789-1857) 从定义变量起给出了定义：“在某些变数间存在着一定的关系，当一经给定其中某一变数的值，其他变数的值可随着而确定时，则将最初的变数叫自变量，其他各变数叫做函数。”在柯西的定义中，首先出现了自变量一词，同时指出对函数来说不一定要有解析表达式。不过他仍然认为函数关系可以用多个解析式来表示，这是一个很大的局限。

1822年傅里叶(Fourier，法国，17681830)发现某些函数也已用曲线表示，也可以用一个式子表示，或用多个式子表示，从而结束了函数概念是否以唯一一个式子表示的争论，把对函数的认识又推进了一个新层次。

1837年狄利克雷(Dirichlet，德，1805-1859) 突破了这一局限，认为怎样去建立x与y之间的关系无关紧要，他拓广了函数概念，指出：“对于在某区间上的每一个确定的x值，y都有一个或多个确定的值，那么y叫做x的函数。”这个定义避免了函数定义中对依赖关系的描述，以清晰的方式被所有数学家接受。这就是人们常说的经典函数定义。 等到康托(Cantor，德，1845-1918)创立的集合论在数学中占有重要地位之后，维布伦(Veblen，美，1880-1960)用“集合”和“对应”的概念给出了近代函数定义，通过集合概念把函数的对应关系、定义域及值域进一步具体化了，且打破了“变量是数”的极限，变量可以是数，也可以是其它对象。

4.现代函数概念──集合论下的函数

1914年豪斯道夫(F.Hausdorff)在《集合论纲要》中用不明确的概念“序偶”来定义函数，其避开了意义不明确的“变量”、“对应”概念。库拉托夫斯基(Kuratowski)于1921年用集合概念来定义“序偶”使豪斯道夫的定义很严谨了。

课题研究的阶段小结范文第6篇

我们今天讨论这个辩题必须有一个前提，就是大家是否认可现在纪检机关的反腐工作。反腐的道路非常艰辛，需要我们与腐败份子不停的斗智斗勇。而我们的纪检机关也只是由一个个平凡的同志凝聚而成，他们没有哪吒的三头六臂，也没有那个孙悟空的火眼金睛，他们无法做到将坏人一眼就认出来，他们不能保证抓尽天下贪官，他们更不能做到发现每一条线索，但是，他们有一颗报国的赤诚之心。今天，哪个组织、哪个制度、哪个人敢说自己完美无缺、找不到一点漏洞。我们应该看到的是，纪检机关反腐的决心、勇气、智慧，他们的努力，他们挥洒的汗水。我们的纪检机关在党中央领导下，不断地加强自己、改进自己、完善自己，十八大以来取得了丰硕的反腐成果，二月河说翻遍二十四史都找不到。对于这样一支尽心尽力为人民服务的队伍，我们是要鼓励他、支持他，还是苛责他、否定它，是要加强他让他变得更强、更有力，还是说你不行、换人吧。总书记说，既然人民把这项历史的重任交给了我们，我们就应当肩负起自身的责任。我想，这也就是辩题的意义所在吧。

攻辩：

1.查处偷税漏税的违法行为，是你们地税局去还是社会公众去的? (如果说群众举报， 信息的真伪需要你们去核实、鉴别吧)

2.纪检机关和社会公众谁更具有反腐败的系统性经验? 3.工程院院士李宁骗取国家科研专项资金，社会公众如何发现、查实这种腐败?

4.一些外企高薪雇佣高官的子女，这样的腐败公众又如何能解决?

5.原湖南政协副主席童名谦，不贪污不受贿，但工作不作为，这样腐败公众如何去查实?

自由辩论：

1.一些贪官利用消息炒股赚钱，这种隐形腐败公众如何知道?

2.周永康安排自己的秘书身居高位，公众如何解决用人的腐败?

3.没有中纪委，公众哪里知道刘志军通过大建高铁收了上亿的好处费? 4.山西一些官员利用干股与煤老板分红，这种腐败公众如何查实?

5.有些贪官在房地产市场低买高卖，披着合法的外衣，公众如何查实?

6.发改委原价格司长曹长庆利用职务便利操纵市场价格，公众如何能查实?

7.很多逃亡海外的贪官，公众如何能奈何他们? 8.网上有很多不实的举报，社会公众如何甄别信息的真伪?

9.国家能源局的魏鹏远每天骑自行车上班，衣着朴实，公众如何能发现他是巨贪呢?

10.外企高薪聘请高官子女，这种腐败群众如何根除? 11.对于很多家人都在国外的裸官，社会公众如何应对他们?

12.有些央企的高官每年职务消费要几百万，公众如何能够解决? 13.一些退休的干部利用影响力在上市公司担任董事，公众如何能够解决?

请问你们家小区有没有物业?

为什么小区的治安、保洁都是让专门的物业来做而不是一个个业主自己?

2.您参与了今天这场比赛，您觉得您是关键人物吗? 所以参与的人不一定是关键，对不对?

所以公众参与反腐，但不一定是这项工作的关键吧?

3.为什么法律的制定都是交给专门的机关，而不是让13亿人一起来做这件事?

4.我们的党风廉政建设天天在做，您方如何在预防腐败上发挥作用?

1.我们的廉政建设从体制机制都在预防腐败，您方如何预防?

2.我们出台的干部制度、工作制度、财政制度都在源头上预防腐败，您方有什么制度预防呢?

3.您方的线索没有纪检机关的落实，能够打击腐败吗? 4.周永康等高管落马，一大批人被纪委调查，这难道不是专门机关的作用?

5.逃到海外的贪官，没有专门机关，你们如何把他们抓回来?

6.公众参与反腐，就一定在发挥关键作用吗

7.纪检机关秉公执法是不是才是你们举报有效的根本原因?

社会公众当然是参与反腐工作的重要组成，但重点不在于加强，关键是信任我们的纪检机关能够秉公办理，会向我们的纪委举报问题、提供线索，

1.参与了反腐，并不一定要加强在这里面的作用

但是未必要亲力亲为，关键是信任

信任

也许他们追查线索时间略显漫长、也需他们没有正面

所有纪检机关的同志

我们是要鼓励他，还是打击他，是把这支队伍打造得更有战斗力，还是说你不行了，所以我们公众上。

今天，对方辩友向我们罗列了很多社会公众在反腐工作中的作用，这些我们都不否认。可是，我们讨论的辩题是什么，我们在比较社会公众和专门机关，哪一方更加有利于现阶段的反腐工作，我们的判断标准是什么?就像我们说岳飞比秦桧好，因为有道德的标准。同样，我方的标准是，现阶段惩治腐败，专门机关比社会公众更快、更准、更狠，既治标又治本。大家都看到社会公众痛恨腐败，可是我们更应该看到，中纪委的网站每天都在晒查处的腐败，我们应该看到中央巡视组发现一起查处一起绝不手软，各地纪检机关对腐败份子重拳出击。万庆良天天喊着拜海瑞，公众哪里知道他是贪官;苏荣到江西后大肆种树，民众举手夸赞;薄熙来重庆唱红打黑，公众摇旗呐喊;魏鹏远只是处级干部，大家哪里知道他家藏2亿现金。公众痛恨腐败想要反腐的心理我们理解，但是却对腐败份子无法做到快速、精准、有效。总书记讲，腐败和反腐败两军对垒，呈“胶着状态”，他说“与腐败作斗争，个人生死，个人毁誉，无所谓。既然党和国家的前途命运交给了我们，就要担当起这个责任”。这更加说明我们要充分发挥专门机关的责任，下面还请对方辩友向我们论证你们的判断标准。

对方辩友告诉我们，社会公众可以发现问题举报贪官，可是我们要知道如果没有纪检部门建立举报平台、快速反馈、及时调查，公众的举报将会变长漫漫长路，甚至不了了之。对方辩友又告诉我们，社会公众这么大的群体可以有效形成监督。可是这根我们现实的情况也不一样，薄熙来、苏荣这些腐败份子手段越来越隐秘，在被中纪委立案调查前甚至一度被社会公众误当成好官。没有中纪委，我们怎么可能知道魏鹏远这样的处级官员能家藏2亿现金。对方辩友还告诉我们社会公众可以对腐败份子形成震慑，可是为什么十八大以前公众也一直举报监督，但是反腐却没有取得像今天这样大的成绩?正是因为专门机关加强责任，在总书记的领导下，壮士断腕、猛药除疴，扫除腐败的毒瘤。下面希望对方辩友能向我们论证你们的判断标准。

总书记讲，腐败和反腐败两军对垒，呈“胶着状态”，他说“与腐败作斗争，个人生死，个人毁誉，无所谓。既然党和国家的前途命运交给了我们，就要担当起这个责任”。就是要我们充分发挥专门机关的责任，对腐败零容忍，惩治腐败绝不手软。

攻辩： 1.请问对方辩友，您方说更应该发挥社会公众的作用，你们的判断标准是什么?

2.薄熙来、苏荣被调查以前一度被公众认为是好官，是不是说明公众并不能准确判定谁贪谁清?

3.周永康、徐才厚这些贪官的腐败行为，没有纪委、检察院的重拳出击，社会公众如何能惩处?

4.那魏鹏远算是苍蝇了，为什么发现他家藏2亿现金的纪检部门而不是社会公众?

5.为什么十八大以前公众也一直在监督、举报，但是今天反腐的效果却比以前要好呢?难道不是因为纪检机关重拳出击呢?

1.刘铁男被举报了半年才落马 2.贪官外逃

可是为什么十八大前公众的举报 贪官外逃

我今天说我方二辩比我高，那是有身高标准，我方四辩比我瘦，那是有胖瘦标准。同样，我们今天讨论这个辩题，反腐倡廉，更应发挥社会公众还是专门机关的作用，我们也要有一个判断标准。我方认为，在现阶段哪一方打击腐败能够迅速、精准、有效

我想今天的辩题，如果是要我们来辩论“反腐倡廉是否需要公众参与”，不用辩，当然需要;如果是要问我们“反腐倡廉社会公众有没发挥作用”，不用辩，当然有。可是今天我们讨论的是什么，

反腐倡廉，究竟是更应发挥社会公众还是更应加强专门机关的责任

我们讨论的是在当前反腐形势严峻的情况下，社会公众和专门反腐机关，

我们的判断标准是：哪一方对打击腐败更加有效、更加精确、更加彻底，既治标又治本。

美国战斧式巡航导弹，迅速发射，精确制导，有效打击。

社会公众可以发现一些腐败的问题和线索，但是他们看不到贪官是如何权钱交易的;他们可以看到贪官做了表叔、房爷，甚至包养情妇，但是他们看不到更多的腐败份子是如何通过制度漏洞实现利益输送的;他们可以去举报刘铁男、宋林，但是他们无法保证不会出现张林、王林。就像习总书记说的，反腐倡廉是一项复杂而又艰巨的任务。没有中央和各级纪委等专门机关的重拳出击，腐败份子的嚣张气焰就得不到收敛;没有纪委、检察院等专门机关对公众举报信息的梳理、汇总、核实，就无法形成打击腐败分子的关键证据;没有专门机关在反腐过程中的认真调查，就难以发现一些制度的漏洞、盲点。反腐倡廉是一项系统性工作，无论是顶层设计，还是中间的制度建设，还是具体的工作实施，都需要纪委、检察院、法院这些专门机关切实发挥作用，专门机关就像一把利刃，可以有效根除腐败的毒瘤。

当然，我们不否认社会公众的有效参与，可以让这把利刃更加锋利

对方辩友告诉我们公众参与可以有效遏制腐败，给我们举出了很多实例，可是为什么十八大以前那么多群众也在举报、上访、反映问题，贪腐现象却还是层出不穷，因为，他们对贪官的威慑力不够。今天，在中央和地方各级纪委、检察院等部门的努力下，我们取得了丰硕的成果，光中纪委上半年就查处了842名官员，其中省部级以上41人，如果没有专门机关发挥作用，周永康、徐才厚难以落马。

可是今天我们所要考虑的是，当前反腐倡廉如何做的更好更有效

大家好!

让我们先来回顾一下刚才的盘问环节，对方辩友告诉我们，预防可以从根本上解决腐败问题，主要有三个原因：第一，廉政道育可以从思想上让人不想腐。可是我们要知道，李崇喜、金道铭这些落马的纪委书记，接受的教育比在坐各位都要多。对方辩友又告诉我们说：制度的完善可以遏制腐败。可是这跟我们现实的情况也不一样，十八大以前反腐文件汗牛充栋、反腐手段形式多样，但是连党员干部的一张嘴都管不住;中央八项规定，短短八条却有效遏制了腐败，一个星期就查处了154起案件，对腐败份子零容忍，重拳惩治才是关键。其次，对方辩友还告诉我们预防可以保证大部分人不腐败，可是我们就要想想看了，大部分没有腐败的干部，就像在座各位，究竟是预防在起作用，还是惩治的威慑在起作用，还是因为本身我们就是清正廉洁的好干部。最后，我们谈到了当前的腐败形势，像周永康这样的腐败份子毁了整个党的形象，徐才厚被抓后，甚至有人发出“解放军尚能战否?”的疑问。清除腐败这种毒瘤，必须像习总书记说的那样猛药去疴、重典治乱、刮骨疗毒、壮士断腕。反腐倡廉，惩治与预防哪个更重要，相信大家不言自明! 攻辩：

1.总书记提出反腐要，猛药除疴、重典治乱，对身患痼疾的人是治病重要还是打预防针重要?

2.十八大以来落马的41名省部级以上高官，哪一个是通过预防解决的? 像万庆良这种贪官白天拜海瑞，晚上去会所，您方的预防手段是不是白天有用晚上没用?

3.周永康官至常委、徐才厚做到军委主席，为什么预防措施没能阻止他们贪腐的步伐?

4.预防手段越多越丰富是不是就能有效反腐? 请问，为什么中央八项规只有短短八条就能够有效遏制腐败，而以前那么多文件连一张嘴都管不住?

(出台一周就查处154起案件)

5.大部分没有腐败的干部，就像在座各位，究竟是预防在起作用，还是惩治的威慑在起作用，还是因为本身我们就是清正廉洁的好干部?

自由辩论：

1.周永康官至常委不加惩治，如何预防，如何得民心? 2.制度的漏洞不通过惩治贪官，如何发现问题、解决问题?(中央反腐倡廉精神读本)

3.您方的反腐措施是不是只对清官有用，对贪官无用? 4.腐败已经火烧眉毛了，是灭火重要还是贴宣传标语重要? 5.表叔杨达才最大爱好就是上班带不一样的表，如何预防? 6.阳宝华、陈柏槐等已经退休的贪官，不加惩治如何预防? 7.国家能源局的魏鹏远最喜欢在家数他的2亿现金，如不惩治如何预防?

8.天津公安局长武长顺家中查抄了12卡车的赃物，是不是要等他们贪完了再预防?

9.金道铭、李崇喜长期担任纪委书记，不加惩治如何预防? 10.贪官廖少华到遵义一年9谈反腐，这样的人不通过惩治如何反腐。

11.国家能源局长刘铁男腐败到连副省长请他吃饭都不去，不通过惩治如何反腐倡廉?