八年级数学竞赛讲义（精选8篇）

八年级数学竞赛讲义 第1篇

高中数学竞赛讲义

（八）──平面向量

一、基础知识

定义1 既有大小又有方向的量，称为向量。画图时用有向线段来表示，线段的长度表示向量的模。向量的符号用两个大写字母上面加箭头，或一个小写字母上面加箭头表示。书中用黑体表示向量，如a.|a|表示向量的模，模为零的向量称为零向量，规定零向量的方向是任意的。零向量和零不同，模为1的向量称为单位向量。

定义2 方向相同或相反的向量称为平行向量（或共线向量），规定零向量与任意一个非零向量平行和结合律。

定理1 向量的运算，加法满足平行四边形法规，减法满足三角形法则。加法和减法都满足交换律和结合律。

定理2 非零向量a, b共线的充要条件是存在实数

0，使得a=

f

定理3平面向量的基本定理，若平面内的向量a, b不共线，则对同一平面内任意向是c，存在唯一一对实数x, y，使得c=xa+yb，其中a, b称为一组基底。

定义3 向量的坐标，在直角坐标系中，取与x轴，y轴方向相同的两个单位向量i, j作为基底，任取一个向量c，由定理3可知存在唯一一组实数x, y，使得c=xi+yi，则（x, y）叫做c坐标。

定义4 向量的数量积，若非零向量a, b的夹角为，则a, b的数量积记作a·b=|a|·|b|cos=|a|·|b|cos，也称内积，其中|b|cos叫做b在a上的投影（注：投影可能为负值）。定理4平面向量的坐标运算：若a=(x1, y1), b=(x2, y2)，1．a+b=(x1+x2, y1+y2), a-b=(x1-x2, y1-y2)，2．λa=(λx1, λy1), a·(b+c)=a·b+a·c，3．a·b=x1x2+y1y2, cos(a, b)=4.a//bx1y2=x2y1, a

b

x1x2+y1y2=0.(a, b0)，定义5 若点P是直线P1P2上异于p1，p2的一点，则存在唯一实数λ，使，λ叫P分所成的比，若O为平面内任意一点，则。由此可得若P1，P，P2的坐标分别为(x1, y1),(x, y),(x2, y2)，则

讲义八

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定义6 设F是坐标平面内的一个图形，将F上所有的点按照向量a=(h, k)的方向，平移|a|=个单位得到图形，这一过程叫做平移。设p(x, y)是F上任意一点，平移到上对应的点为，则称为平移公式。

定理5 对于任意向量a=(x1, y1), b=(x2, y2), |a·b|≤|a|·|b|，并且|a+b|≤|a|+|b|.【证明】 因为|a|2·|b|2-|a·b|2=

-(x1x2+y1y2)2=(x1y2-x2y1)2≥0，又|a·b|≥0, |a|·|b|≥0，所以|a|·|b|≥|a·b|.由向量的三角形法则及直线段最短定理可得|a+b|≤|a|+|b|.注：本定理的两个结论均可推广。1）对n维向量，a=(x1, x2,…,xn)，b=(y1, y2, …, yn)，同样有|a·b|≤|a|·|b|，化简即为柯西不等式：

(x1y1+x2y2+…+xnyn)2≥0，又|a·b|≥0, |a|·|b|≥0，所以|a|·|b|≥|a·b|.由向量的三角形法则及直线段最短定理可得|a+b|≤|a|+|b|.注：本定理的两个结论均可推广。1）对n维向量，a=(x1, x2,…,xn), b=(y1, y2, …, yn)，同样有|a·b|≤|a|·|b|，化简即为柯西不等式：(x1y1+x2y2+…+xnyn)2。

2）对于任意n个向量，a1, a2, …,an，有| a1, a2, …,an|≤| a1|+|a2|+…+|an|。

二、方向与例题

1．向量定义和运算法则的运用。

例1 设O是正n边形A1A2…An的中心，求证：

【证明】 记后与原正n边形重合，所以，若

不变，这不可能，所以，则将正n边形绕中心O旋转

例2 给定△ABC，求证：G是△ABC重心的充要条件是【证明】必要性。如图所示，设各边中点分别为D，E，F，延长AD至P，使DP=GD，则

又因为BC与GP互相平分，所以BPCG为平行四边形，所以BG所以

PC，所以

讲义八

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充分性。若因为，延长AG交BC于D，使GP=AG，连结CP，则，则，所以GB

CP，所以AG平分BC。

同理BG平分CA。

所以G为重心。

例3 在凸四边形ABCD中，P和Q分别为对角线BD和AC的中点，求证：AB2+BC2+CD2+DA2=AC2+BD2+4PQ2。

【证明】 如图所示，结结BQ，QD。

因为所以==又因为同理，②，③

由①，②，③可得

。得证。

2．证利用定理2证明共线。

例4 △ABC外心为O，垂心为H，重心为G。求证：O，G，H为共线，且OG：GH=1：2。，·

①

【证明】 首先

=

其次设BO交外接圆于另一点E，则连结CE后得CE又AH又EABC，所以AH//CE。AB，CH

AB，所以AHCE为平行四边形。

讲义八

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所以所以所以所以与，共线，所以O，G，H共线。

所以OG：GH=1：2。

3．利用数量积证明垂直。

例5 给定非零向量a, b.求证：|a+b|=|a-b|的充要条件是a【证明】|a+b|=|a-b|

(a+b)2=(a-b)

2b.a·b=0

a

b.a2+2a·b+b2=a2-2a·b+b2例6 已知△ABC内接于⊙O，AB=AC，D为AB中点，E为△ACD重心。求证：OECD。

【证明】 设，则，又，所以

a·(b-c).（因为|a|2=|b|2=|c|2=|OH|2）

又因为AB=AC，OB=OC，所以OA为BC的中垂线。所以a·(b-c)=0.所以OE

CD。

4．向量的坐标运算。

例7 已知四边形ABCD是正方形，BE//AC，AC=CE，EC的延长线交BA的延长线于点F，求证：AF=AE。

讲义八/ 8

【证明】 如图所示，以CD所在的直线为x轴，以C为原点建立直角坐标系，设正方形边长为1，则A，B坐标分别为（-1，1）和（0，1），设E点的坐标为（x, y），则y-1), 又因为，因为，所以-x-(y-1)=0.=(x,，所以x2+y2=2.由①，②解得

所以

设所以所以，则，即F=4+

。由和，共线得，所以AF=AE。

三、基础训练题

1．以下命题中正确的是__________.①a=b的充要条件是|a|=|b|，且a//b；②(a·b)·c=(a·c)·b；③若a·b=a·c，则b=c；④若a, b不共线，则xa+yb=ma+nb的充要条件是x=m, y=n；⑤若在b=(-3, 4)上的投影为-4。

2．已知正六边形ABCDEF，在下列表达式中：①③ ；④

与，相等的有__________.；②；，且a, b共线，则A，B，C，D共线；⑥a=(8, 1)3．已知a=y-x, b=2x-y, |a|=|b|=1, a·b=0，则|x|+|y|=__________.4．设s, t为非零实数，a, b为单位向量，若|sa+tb|=|ta-sb|，则a和b的夹角为__________.5．已知a, b不共线，条件.6．在△ABC中，M是AC中点，N是AB的三等分点，且于D，若7．已知__________.8．已知

=b, a·b=|a-b|=2，当△AOB面积最大时，a与b的夹角为__________.讲义八

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=a+kb, =la+b，则“kl-1=0”是“M，N，P共线”的__________，BM与CN交，则λ=__________.不共线，点C分

所成的比为2，则9．把函数y=2x2-4x+5的图象按向量a平移后得到y=2x2的图象，c=(1,-1), 若c·b=4，则b的坐标为__________.，10．将向量a=(2, 1)绕原点按逆时针方向旋转得到向量b，则b的坐标为__________.与11．在Rt△BAC中，已知BC=a，若长为2a的线段PQ以点A为中点，试问的夹角取何值时的值最大？并求出这个最大值。

12．在四边形ABCD中，如果a·b=b·c=c·d=d·a，试判断四边形ABCD的形状。

四、高考水平训练题

1．点O是平面上一定点，A，B，C是此平面上不共线的三个点，动点P满足

则点P的轨迹一定通过△ABC的________心。

2．在△ABC中，3．非零向量=__________.4．若O为△ABC 的内心，且为__________.5．设O点在△ABC 内部，且__________.6．P是△ABC所在平面上一点，若__________心.7．已知，则|

|的取值范，则P是△ABC 的，则△AOB与△AOC的面积比为，则△ABC 的形状，且a·b<0，则△ABC的形状是__________.，若点B关于

所在直线对称的点为B1，则围是__________.8．已知a=(2, 1), b=(λ, 1)，若a与b的夹角为锐角，则λ的取值范围是__________.9．在△ABC中，O为中线AM上的一个动点，若AM=2，则值为__________.10．已知集合M={a|a=(1, 2)+ λ(3, 4), λ∈R}，集合N={a|a=(-2,-2)+ λ(4, 5), λ∈R},mj MN=__________.讲义八

/ 8 的最小11．设G为△ABO的重心，过G的直线与边OA和OB分别交于P和Q，已知，△OAB与△OPQ的面积分别为S和T，（1）求y=f(x)的解析式及定义域；（2）求的取值范围。

12．已知两点M（-1，0），N（1，0），有一点P使得成公差小于零的等差数列。

（1）试问点P的轨迹是什么？（2）若点P坐标为(x0, y0), 求tan.五、联赛一试水平训练题

1．在直角坐标系内，O为原点，点A，B坐标分别为（1，0），（0，2），当实数p, q

为

与的夹角，满足时，若点C，D分别在x轴，y轴上，且，则直线CD恒过一个定点，这个定点的坐标为___________.2．p为△ABC内心，角A，B，C所对边长分别为a, b, c.O为平面内任意一点，则

=___________（用a, b, c, x, y, z表示）.3．已知平面上三个向量a, b, c均为单位向量，且两两的夹角均为1200，若|ka+b+c|>1(k∈R)，则k的取值范围是___________.4．平面内四点A，B，C，D满足，则的取值有___________个.5．已知A1A2A3A4A5是半径为r的⊙O内接正五边形，P为⊙O上任意一点，则

取值的集合是___________.6．O为△ABC所在平面内一点，A，B，C为△ABC 的角，若sinA·+sinC·，则点O为△ABC 的___________心.(a-b)”的___________条件.，又(c·b)：(b·a)：(a·c)=1：2：3，则△ABC

+sinB·7．对于非零向量a, b, “|a|=|b|”是“(a+b)8．在△ABC 中，三边长之比|a|：|b|：|c|=____________.9．已知P为△ABC内一点，且，CP交AB于D，求证：

讲义八

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10．已知△ABC的垂心为H，△HBC，△HCA，△HAB的外心分别为O1，O2，O3，令，求证：（1）2p=b+c-a；（2）H为△O1O2O3的外心。

11．设坐标平面上全部向量的集合为V，a=(a1, a2)为V中的一个单位向量，已知从V到的变换T，由T(x)=-x+2(x·a)a(x∈V)确定，（1）对于V的任意两个向量x, y, 求证：T(x)·T(y)=x·y；

（2）对于V的任意向量x，计算T[T(x)]-x；（3）设u=(1, 0)；，若，求a.六、联赛二试水平训练题

1．已知A，B为两条定直线AX，BY上的定点，P和R为射线AX上两点，Q和S为射线BY上的两点，为定比，M，N，T分别为线段AB，PQ，RS上的点，为另一定比，试问M，N，T三点的位置关系如何？证明你的结论。

2．已知AC，CE是正六边形ABCDEF的两条对角线，点M，N分别内分AC，CE，使得AM：AC=CN：CE=r，如果B，M，N三点共线，求r.3．在矩形ABCD的外接圆的弧AB上取一个不同于顶点A，B的点M，点P，Q，R，S是M分别在直线AD，AB，BC，CD上的射影，求证：直线PQ与RS互相垂直。

4．在△ABC内，设D及E是BC的三等分点，D在B和F之间，F是AC的中点，G是AB的中点，又设H是线段EG和DF的交点，求比值EH：HG。

5．是否存在四个平面向量，两两不共线，其中任何两个向量之和均与其余两个向量之和垂直？

6．已知点O在凸多边形A1A2…An内，考虑所有的AiOAj，这里的i, j为1至n中不同的自然数，求证：其中至少有n-1个不是锐角。

7．如图，在△ABC中，O为外心，三条高AD，BE，CF交于点H，直线ED和AB交于点M，FD和AC交于点N，求证：（1）OB

DF，OC

DE，（2）OH

MN。

8．平面上两个正三角形△A1B1C1和△A2B2C2，字母排列顺序一致，过平面上一点O作，求证△ABC为正三角形。

9．在平面上给出和为 的向量a, b, c, d，任何两个不共线，求证：

|a|+|b|+|c|+|d|≥|a+d|+|b+d|+|c+d|.讲义八/ 8

八年级数学竞赛讲义 第2篇

学生姓名

教师姓名

班主任

上课日期

时间段

年级

课时

教学内容

探索乐园（排列规律和搭配问题）

教学目标

探索图形中的数的排列规律，探索、交流搭配方法

教学重点

学会思考归纳和整理

教学过程

前课回顾

1、括号里最大能填几？

（）×5＜

6×（）＜

40＞7×（）

2、□÷9＝3……□

余数最大是（）。

□÷□＝□……6

除数最小是（）。

□÷5＝4……□

被除数最大是（）。

□÷□＝7……3

被除数最小是（）。

3、在（）里填上适当的数。

（）÷4＝9……3

49÷（）＝6……14、想一想，算一算。（周期问题）

○●☆▲◇■○●☆▲◇■……第39个是什么图形？

知识详解

周期：我们知道当有一组事物，按照规律，依次不断重复出现，我们就叫它为循环出现，而相邻两次出现的间隔，我们称之为1周期。

生活中我们见过很多按照规律出现的事物。

比如：十字路口的路灯，星期，甚至一段重复的音乐旋律。你还知道哪些循环？

你能不能找出循环的规律，推测出更多的结论？

例：有一列数:1,3,5,1,3,5,1,3,5,…第26个数是几?

“学习数学真有趣学习数学真有趣……”如果按这样的规律排下去,第59个字是什么?

图中是一行按规律排列的图形。请问：第88个图形应该是什么？前88个图形中有多少个圆形？

生活中同样有许多需要搭配来解决的问题，比如说在快餐店里选择套餐，出门前选择衣服。你还见过哪些需要搭配解决的问题呢？。

例：金拱门最新推出1+1随心配活动，只需要12元就可以分别从红区白区各选择一种食品做套餐、红区里有：鸡块，鸡排，薯条，猪肉堡和鸡腿堡5种，白区有雪碧，可乐，香芋派，菠萝派，草莓新地、巧克力新地，红茶7种，想一想你可以有几种搭配选择？

1、2、变式训练

1、元宵节时，街上挂了一长串的彩灯，彩灯的颜色是这样排列的：红、黄、红、绿、黄、绿、红、黄、红、绿、黄、绿……如果这串彩灯共有500盏，那么其中有多少盏红色的灯？

2、现在时针指着钟面上的数字“3”，那么过100小时后，时针指向数字几？

3、如下图所示，许多幅图案规律排成一排，其中前四幅图已经画出，请按规律画出第100幅图的样子。

4、如果今天是星期三，那么再过24天使星期几？

5、小明去吃午饭，发现附近的中餐厅有9个，西餐厅有3个，日式餐厅有2个。他准备找一家餐厅吃饭，一共有多少种不同的选择？

6、小明进入一家中餐厅后，发现主食有3种，热菜有4种。他打算主食和热菜各买一种，一共有多少种不同的买法？

7、商店里有两类笔：铅笔、钢笔。铅笔有4种颜色，钢笔有3种颜色。

（1）要买任意一支笔，有多少种买法？

（2）要从三类笔中各买一支，有多少种买法？

课后巩固

一、解决搭配问题。

1.从学校到少年宫,一共有几种不同的路线可以走?

2.早餐有几种不同的吃法?

二、解决规律问题。

1.有35颗糖,按淘气—笑笑—丁丁-冬冬的顺序,每人每次发一颗。想一想:谁分到最后一颗?

2.五个小朋友A、B、C、D、E,依次轮流报数,报到38的是谁?

3.有一排围棋子,按“三黑二白”的顺序排列起来。想一想:第39个是什么颜色的棋子?第81个呢?

三、奇思妙想，相信你最棒

1、数一数，下图中共有（）个平行四边形？

2、移3个豆，使三角形方向正好相反，怎么移？见右图。

3、有一本书，小华第一天看了2页，以后每一天都比前一天多看2页，第4天看了（）页。

4、有同样大小的红、白、黑三种球共100个，现在按5个红的、3个白的、1个黑的顺序排列起来。在这100个球中，红球有（）个、白球有（）个、黑球有（）个。

5、甲、乙、丙、丁四个数的平均数为20，若把其中一个数改为30，则这四个数的平均数为25，这个数原来是（）。

6、从甲地到丁地需要经过乙地和丙地，已知甲、丙两地相距1200米，乙、丁两地相距1700米，甲、丁两地相距2300米，乙、丙两地相距（）米。

7、某车间有50名工人，车间组织活动，参加划船的有34人，参加游泳的有28人，车间有（）人两项活动都参加。

8、一根木料锯成3段要6分钟。如果每次锯的时间相同，那么锯成6段要（）分钟。9、在一块正方形场地四周种树，每边都种10棵，并且四个顶点都种有一棵树。这个场地四周共种树（）棵。

八年级数学典型错题的分析 第3篇

学生在学习新知识时对某些概念表现出不能接受的抵触而反复出现错误。具体分类如下:

1.对字母表示数的正负存在错误观念 。

有部分学生顽固地认为没有出现负号的式子的值为正数,如“a”为正数,而出现负号的式子的值就为负数,如“ -a”为负数。实质上,学生强烈抵制“字母即一般( 或概括) 的数”这个观点。这个错误观念不纠正,他们常常会本能地出现有关字母正负号的错误。

举例:。学生虽然知道,但是他仍然本能地认为结果是“a”,忽视题目中已经给定的“a<0”的条件。

2.把符号“”与“平方根”混淆起来 。

一些学生在认识"是一个无限小数”时就会产生抵触,甚至他们根本没办法接收“是一个数”的事实。于是在学习二次根式时,他们对符号“”意义的理解就发生了偏差。部分学生经常把“”与“平方根”等同起来。比如:“”,学生把“”理解为“4的平方根”,所以他认为结果为“±2”。又比如:解方程“x2=2”时 ,学生经常会只写一个结果“”,表面上看,他是漏了一个解,但是如果问他“有几个解”时,他往往明确地回答“2个解”,说明他潜意识认为“”就是“2的平方根”,包含了正负两个值。

3.在函数中把表示变量的字母理解为某个数。

学生趋向于把函数和代数公式联系起来,他们不能把函数解析式中表示变量的字母看成是变量,只是把它看成是代数公式中的字母,或者是方程中的未知数,它代表着某个数,只是这个数现在不知道而已。以至于他们不能把函数解析式与函数图像有机地结合起来。

比如,画出y=5x( 0≤x≤4) 的函数图像,学生往往不考虑自变量的取值范围, 把它画成一条直线, 说明图像与自变量的取值范围之间的联系,他们并没有建立起来。

4.对命题中的因果关系存在逻辑错误 。

对于命题中的条件与结论分别是什么,学生通常处于雾里看花的朦胧状态, 经常把条件与结论混淆。

比如, 一元二次方程根的判别式与根的情况的关系是一种等价关系,其中包含两种因果关系:

第一种是利用根的判别式,不解方程,就可以判断一个一元二次方程根的情况;

第二种,反过来,知道根的情况来判断根的判别式的情况。

但是学生不能分清这两种的区别, 习惯性地使用应用比较多的第二种推断来做题。

举例:试判断关于x的方程x2+ax+a=1是否一定有实数根,并说明理由。

学生通常认为此题告知的是“方程有实数根”,要自己“求出字母a的取值范围”。解:∵方程x2+ax+a=1有实数根,

5.分类讨论产生困难。

学生知道有“分类讨论”这个词,但是他们不知道什么情况下要讨论,为什么要讨论,即使知道此题要讨论,他们也很难找到分类的标准,即不知道怎么讨论。

举例:已知菱形有一个内角为60°,一条对角线长为6,那么菱形的边长为_____。

学生典型错误:“6”;漏了另一个解“2”。

学生通常不去追究“一条对角线长为6”,到底指“哪条对角线”,然后在“趋易避难”心理的驱使下,选择了比较容易计算的那种情况,算出答案。

正确的分类如下:

二、学生在复习阶段的错误类型

本次研究抽取了八年级第二学期三次校际统一测试、统一批改的学生试卷来进行重点分析,发现经过教师的讲解、学生的作业训练以及早期的错误纠正, 学生原有的错误情况有了一些改善,但是有的问题仍旧存在,随着综合性问题的出现,学生产生了新的困难。我们提取得分率比较低的题目, 再次针对学生错误存在的内在共同点,从认知心理活动进行分析与分类。

1.不能正确理解概念。

八年级学生会把概念“方程的增根”与“方程的根”、符号“”与“平方根”混淆起来。同时他们也经常把命题的条件和结论的因果关系混淆起来。

举例1:2010学年八年级数学期中考试第17题 : 使分式方程产生增根的k的值是____。

此题正确答案是k=±3,得分率为68%。学生一般只答一个解。

举例2:2010学年八年级数学5月月考第9题 :方程的解是_____。正确答案:,得分率为79%。

2.不能把自然语言转化成与之等价的数学符号语言。

学生不能全部接纳同一个意义的不同表征形式, 以至于不能顺利建立不同形式的等价命题之间的联系,从而不能自如地进行相互转化。

举例1:2010学年八年级数学期中考试第6题:已知,函数y=-2x+3,当x_____时,该函数在x轴上方。

学生就是不能把“函数在x轴上方”正确转化成数学符号语言“y>0”,说明“函数在x轴上方”与“y>0”这两个概念在这些学生的思维中没有建立概括性的关系。其实,在此题中这是相等的两个概念。

3.不能把概念灵活运用到不同的情境中 。

学生通过学习训练,能在一般常见的情境中运用所学的概念解决问题,然而当题目提供的情境比较少见或者比较抽象时,学生就不知所措。

举例 :2010学年八年 级数学期 中考试第7题 : 若点P( -2 ,m) 、Q( 2 ,n) 是直线y =( m2 +1) x +b( b是常数) 上的两点 , 则m、n大小关系是____。

平时学生常见的题目表述比较直接, 通常会问“函数y=( m2+1) x+b( m、b是常数) 随着x的增大而____。”那么学生会比较肯定地回答“增大”。

此题的情境比较抽象, 学生看见字母多的问题,本身就有不能驾驭的不自信,而且此题涉及的概念也比较多。第一,“m2+1,是个正数”;第二,“一次函数y=kx+b( k≠0,k、b为常数) 当k>0时,y随着x的增大而增大”;第三,“若点P( -2,m) 、Q( 2,n) 是直线y=( m2+1) x+b( b是常数) 上的两点”,即“当x=-2”时,y=m;x=2时,y=n。

4. 不 能客观审视自己的解题过程 , 从中发现自己的错误。

很多学生只靠本能来做题,做完题目后,他们就很少主动地去审视自己有没有正确理解题意、计算过程是否正确,要解决的这个问题需要用到哪个概念,要注意哪些事项,等等。

举例:2010学年八年级数学期中考试第4题:若多边形的每一个内角都等于150°,则从此多边形一个顶点引出的对角线有() 。

A.7 条 B.8 条 C.9 条 D.10 条

此题正确答案应该是C,得分率只有50%。很多学生选D。

通过访谈, 发现很多学生都能正确计算出这是一个十二边形,但是在计算对角线条数时,他们忘了要去掉原先的这个顶点, 因为顶点与它自身不能连接成对角线。这个错误就好像小学生数人数时忘记数自己一样经典。

5.对难度稍大的题目的恐惧情绪抑制思维活动。

很多学生一看见文字比较多的应用题、图形比较复杂的几何题以及综合性强的压轴题,就产生了恐惧情绪, 就会厌烦, 而懒得认真思考,只能自动放弃。几乎每份试卷的这些题型的得分率都比较低,学生也经常会在此开天窗。然而当他人讲解解题方法时, 他们一样感觉原来方法挺简单,埋怨自己考试时怎么就想不出来。

举例1:2010学年八年级数学期末试卷第23题 :用一张直角边长为4cm的等腰直角三角形纸片,剪出一个面积尽可能大的正方形。甲、乙两位同学分别按照方案一、方案二进行裁剪,记正方形EDFC的面积为S1, 正方形MNGH的面积为S2。

( 1) 请你通过计算,直接写出S1与S2的大小;

( 2) 比较S1与S2的大小。

此题满分7分,得分率为77.5%,正确答案为S1=4,S2=32/9,S1>S2。

学生错误情况:有11人得3分,只能计算对S1=4;有2人得4分 ,计算对S1=4,能判断出S1>S2;有1人得1分 ,只能猜测出S1>S2;有1人得0分。

此题表现形式是一个现实应用题, 实质就是计算面积,而且不用写出计算过程,只需写出答案,也就是说学生可以用各种方法( 比如小学学过的割补法、八年级学的勾股定理等) 来解决,然而在这样的文字表述下,很多同学放弃了计算S2。

6.相同的练习过多导致习惯性错误。

在一段时间内, 如果对同一个概念用同一种情境同一种表述形式来连续地训练学生的话,那么当问题题意突然发生微小的变化时,学生往往会轻易地忽略掉变化, 习惯性地解答而导致错误。

举例:2010学年八年级数学期末试卷第3题:对于非零向量,下列命题中假命题是()。

在考前复习阶段的测试中, 没有出现过选择“错误答案”的选择题。很多学生反映说此题没有看清题意,以为是选择“真命题”,所以考试时看见一个肯定正确的答案就选上了。因为平时选择题是要求选择正确答案的居多,习惯使然。

摘要：目前针对学生数学错题的研究基本都是站在课堂教学的立场,从数学概念本身的角度分析学生的错误原因。现实是,学生很多错误的形成还存在心理因素。本文搜集、调查、整理学生在八年级数学学习中最初学习新知识时容易重复的错误,以及后期阶段测试中得分率仍比较低的错题。对于每个错误,找学生访谈,了解学生的真实想法,找出学生不同知识点的错误中存在的内在共同点。

小学中高年级数学竞赛题一组 第4篇

1.一条毛毛虫长成成虫，每天长1倍，8天能长到8厘米，长到32厘米还要（）天。

2.四个小学生，恰好一个比一个大1岁，他们的年龄和是38岁，这四个小学生中最小的是（）岁。

3.三年级有50名运动员参加学校的运动会，号码排列是1~50，这些号码中一共出现（）个“1”。

4.庐江与合肥之间的旅客列车，除起点、终点外，中途还要停靠4个站，铁路部门要准备（）种车票。

5.张三、李四、王五三位同学中，有一个人在别人不在的时候为集体做了件好事，事后老师问是谁做的好事，张三说是李四，李四说不是他，王五也说不是他。这三个人中只有一个人说的是真话。做好事的人是（）。

四年级

1.安德利超市开展袋装牛奶“买5送1”活动，一个班级有学生60人，每人发一袋牛奶，至少要买（）袋。

2.从中午12点时针与分针相遇起，到晚上12点止，时针和分针还能相遇（）次。

3.小强和小刚两人比赛上楼梯，当小强跑到三楼时，小刚恰好跑到二楼。照这样计算，小强跑到九楼时，小刚跑到（）楼。

4.甲乙两地相距680千米，汽车从甲地出发，行驶8小时后距离中点20千米，这辆汽车每小时行多少千米？

五年级

1.10除以13所得的商的小数点后第2008个数是（）。

2.有45个学生，参加篮球、足球、乒乓球三项体育活动中的一项、二项或三项，其中参加相同活动项目的学生至少有（ ）人。

3.A、B、C、D四个数每次去掉一个数，将余下的三个数求平均数，这样算了4次，得到以下四个数：45、60、65、70。这四个数的平均数是多少？

4.有8个球编号为①~⑧，其中7个球一样重，另外一个球轻1克。怎样用天平称出这个较轻的球，且次数最少？试分析。

六年级

1.如果甲数的与乙数的相等，那么甲数与乙数的比是（），乙数比甲数多。

2.计划运一批水泥，第一次运来总数的，第二次运来180吨，这时运来的与没运来的吨数的比是4∶3，计划运来的这批水泥有（ ）吨。

3.某工厂男工与女工人数的比是5∶3，调来3名男工后，现在男、女工人数的比是11∶6，这个工厂有女工（ ）人。

八年级数学竞赛辅导计划 第5篇

一、指导思想

1.培养学生学习数学的兴趣，增强学生的数学应用能力。

2．增强学生学习数学的信心，并能取得更好的成绩。

3.培养数学拔尖人才，组织参加各级各类数学竞赛。

二、辅导对象

本班前15名的学生

三、辅导时间

周二、周四下午课外活动课

四、辅导内容

完全平方数和完全平方式、不等式、一次函数、三角形全等、分式

五、辅导方法

1.按计划设计专题训练题，学生合作探讨完成训练题，其中存在的的问题应及时进行个别辅导。

八年级数学竞赛辅导资料一 第6篇

一、新课标下的数学试题研究：

数学试题中的牛吃草问题

近年来，出现了以竞赛数学为背景的牛吃草问题，许多考生因缺乏必要的学习与训练，而无从下手。为此，本文以具体案例分析为切点，诠释牛吃草问题的解题策略。

所谓牛吃草问题，源于世界著名科学家牛顿所著的《普通算术》一书中的一道题目：

一个牧场，12头牛4周吃草10/3格尔，21头牛9周吃草10格尔，问24格尔牧草，多少头牛18周吃完？（注：格尔——牧场的面积单位）

例1某玩具工厂有四个车间，某周是质量检查周，现每个车间都原有a（a﹥0）个成品，且每个车间每天都生产b（b﹥0）个成品，质检科派出若干名检验员星期

一、星期二检验其中两个车间原有的和这两天生产的所有的成品，然后，星期三至星期五检验另两个车间原有的和本周生产的所有成品，假定每个检验员每天检验的成品数相同。

⑴这若干名检验员1天检验多少个成品？（用含a、b的代数式表示）⑵试求出用b表示a的关系式；

⑶若1名质检员1天能检验4b/5个成品，则质检科至少要派出多少名检验员？

练习某企业有九个生产车间，现在每个车间原有的成品一样多，每个车间每天生产的成品也一样多，有A、B两组检验员，其中A组有8名检验员，他们先用两天将第一、第二两个车间的所有成品（指原有的和后来生产的）检验完毕后，再去检验第三、第四两个车间的所有成品，又用去了三天时间；同时，用这五天时间，B组检验员边检验完余下的五个车间的所有成品，如果每个检验员的检验速度一样快，每个车间原有的成品为a件，每个车间每天生产b件成品。

⑴试用a、b表示B组检验员检验的成品总数；⑵求出B组检验员人数。（答案依次为5a+25b件，12人）

二、新课标下的中考数学试题研究

例2在车站开始检票时，有a（a﹥0）名旅客在候车室排队等候检票进站。检票开始后，仍有旅客继续前来排队检票进站。设旅客按固定的速度增加，检票口检票的速度也是固定的。若开放一个检票口，则需30分钟才可将排队等候检票的旅客全部检票完毕；若开放两个检票口，则只需10分钟便可将排队等候检票的旅客全部检票完毕；如果要在5分钟内将排队等候检票的旅客全部检票完毕，以使后来到站的旅客能随到随检，至少要同时开放几个检票口？

例3某地防汛部门为做好当年的防汛工作，根据本地往年汛期特点和当年气象信息分析，利用当地一水库的水量调节功能，制订当年的防汛计划：

从6月10日零时起，开启水库1号入水闸蓄水，每天经过1号水闸流入水库的水量为6万立方米；从6月15日零时起，打开水库的泄水闸泄水，每天从水库流出的水量为4万立方米；从6月20日零时起再开启水库2号入水闸，每天经过2号入水闸流入水库的水量为3万立方米；到6月30日零时起，入水闸和泄水闸全部关闭。根据测量，6月10日零时，该水库的蓄水量为96万立方米。⑴ 设开启2号入水闸后的第x天的零时，水库的蓄水量为y万立方米，写出y（万立方米）与x（天）之间的函数关系式（只要求写出解析式）；⑵ 如果该水库的最大蓄水量为200万立方米，该地防汛部门的当年汛期（到6月30日零时）的防汛计划能否保证水库的安全（水库的蓄水量不超过的最大蓄水量）？请说明理由。

[问题]

由于打字员的辞职，一个公司积压了一批需要打印的材料，而且每天还要新增加固定数量需要打印的材料。假设材料以页计数，每个打字员的打字速度是相

八年级数学竞赛讲义 第7篇

武穴市实验三中

郭艳超

在数学教学中，学生计算的正确率一直是影响学生成绩的主要问题。很多学生总以为计算题比分析应用题容易得多，对一些法则、定律等知识学得比较扎实，计算是件轻而易举的事情，因而在计算时或过于自信，或注意力不能集中，结果错误百出。

为此我 校特进行七年级数学计算能力竞赛，本次计算能力测试在试题的选择上既注重了基础知识的基本运算也注重了知识的灵活运用，将重点放在学生学习习惯培养的考察上。教师对试卷进行了统一批阅，并做了认真地分析，及时查找原因，找出相对措施。

存在问题：

1、书写不认真；

2、计算过程不完善；

3、计算习惯差；

4、解题步骤不完整；

5、在知识的灵活应用上欠缺等。现总结以下几点：

一，计算正确率低的原因。

1、在让学生自我分析错题原因时，比较常犯的错误有“题目看错抄错”，“书写潦草，写得模棱两可”，“计算时不打草稿，一位数加、减计算错误导致整题错”，“做作业时思想不集中”等。分析原因，似乎大多是由：“粗心”造成的，“粗心”的原因又是什么？不外两个方面：一是由于学生的心理素质尚不够成熟，另一方面则是由于没有养成良好的学习习惯。因此，培养学生良好的学习习惯是素质教育的要求，也是提高计算正确率的前提。

2、同时，一些同学计算正确率不是很高，也反映了这些同学的计算能力还有待提高（比如乘法口诀不熟、进位加法不熟等）；可能缺少一种良好的计算习惯如验算的习惯等，许多学生在计算时，忽视了“估算”的作用。这一点可能与我们平时教多练少的关系。

二、提高计算正确率的措施。教师方面：

1、及时采取灵活多变的方法，做到因材施教：补缺补差及答疑辅导，并分清情况，矫正计算错误，提高计算正确率，对培养学生良好的学习态度和计算习惯，进而提高教学质量是十分必要的。

2、做好示范，言传身教。教师是学生的榜样。课堂上，板演符合规范，做到既言传又身教。讲评、作业和试卷批改等都要做好学生的表率，要求学生做到的老师一定要首先做到。

3、经常鼓励，持之以恒。养成良好的计算习惯不是一朝一夕的事，需要一个较长的过程，要使严格要求能够坚持下去，还必须经常激励学生，使他们对教师的严格要求给予认同，并对执行计算规范保持持久的兴趣，这样才能逐渐形成习惯。学生方面：

1、按照计算的一般顺序进行。弄清题意，观察题目特点，确定运算顺序。

2、要养成认真演算的好习惯。学生在做计算题时，要做到一审、二想、三算。（1）一审：审题。审题要细心，计算时先观察题目的特征，看清每个数和每个运算符号，分析数据特点与运算之间关系。

（2）二想：想解题方法。想解题方法包括运算顺序和解题策略。学生不但能正确地进行计算，而且要能合理、灵活地进行巧算才能省时、省力，提高计算的速度和质量。因此，平时教学中要重视培养学生简算意识,要求学生在面对具体计算任务时观察数的特征,算式特点,合理运用运算定律或运算性质自觉地进行简便计算,有利于培养学生思维灵活性，形成良好的数感。（3）三算：计算和验算。计算时要按照预想的步骤和策略仔细操练，此外还要养成自觉验算习惯。验算不仅可以看出计算过程和结果是否正确，还能培养学生自我评价能力，养成仔细、认真、的良好习惯。检验时做到耐心、细致，逐步检查，发现错误及时纠正。

3、不能盲目追求高速度。宁慢勿错，宁少勿滥。

4.充分利用错误资源：学生的错误本身是一种很好的教育教学资源。在平时批改作业中，将学生计算中的错误分类记载下来，从中发现共性错误并找出典型错例，特别是找出口算不准、算理不清、法则模糊、方法不对的典型错例，组织学生剖析根源，找出病因，然后再有针对性地设计一定数量的练习，有的放矢地进行训练。

三、具体方法：

1、严格计算过程，规范演算草稿

计算规范是提高计算正确率的保证。要求学生做到计算格式规范，书写工整正确，作业和试卷整洁。草稿是正确进行数学计算的必要手段，许多计算错误都是因草稿潦草、杂乱所致。在教学中，草稿同样要求学生书写整洁、有序，能口算的尽量口算。测验时，要求学生按平时要求打草稿,可将卷子对折，草稿与题对应。这样做有利于学生有条有理地自我复查，不必再费时重写草稿,直接对照检查，省时省力，有利于培养学生严谨、细致、诚实、认真的作业习惯，克服乱写乱丢草稿的坏习惯，有利于教师寻找并分析错误原因，帮助学生订正及调控以后的教学。

2、严格要求，抓实抓细

要使学生养成良好的计算习惯，必须严格要求，抓实抓细，持之以恒。严格要求，严在抓实抓细上，严在持之以恒上，作业中计算不规范的错误，一定要纠正，书写不工整，老师一定要及时指出；测验时出现的计算不规范错误，在课堂上要详细讲评，教给方法；对重复发生错误的学生开“小灶”。对计算规范执行情况，进行自查和互查，时时处处培养学生严谨的学风。培养学生正确打草稿的习惯,开始时，要像批改作业一样详细批改草稿,对草稿中的错误同样要求学生认真订正，当学生逐渐养成习惯后，变详改为简改，变简改为抽查，把重点集中到习惯不良的学生身上。

综上所述，学生良好计算习惯的形成，一是要严格要求，严格训练。二是要教会学生一些使计算正确有效 的方法。三是要积极地教育与鼓励在学生心理上树立定能计算正确的信心，行为上也力争计算正确，这种学习心态的形成，必能促使学生计算正确率的提高。

武穴市实验三中数学教研组

论八年级数学的快乐教学 第8篇

和谐的师生关系是快乐教学的前提。师生关系融洽, 学生就能够从心理上接受教师和教师所教的科目;师生关系融洽, 学生就能对教师灌输的知识备感兴趣;师生关系融洽, 学生就对教师报以崇拜的心理, 教师的言词都能够对其产生较大的影响。在平时的教学中, 教师应该做到尊重学生的人格, 公平公正地对待每一个学生, 不偏不倚。教师要关注学生的情绪变化, 及时与之交流, 知道其情绪波动的原因, 帮助其解决学习和生活上的困难。相互沟通和相互帮助, 这样可以让学生与教师之间的关系更加和谐。与此同时, 教师和蔼可亲的面部表情, 幽默风趣的言词都会让学生对学习有良好的态度, 不再畏惧数学课堂的枯燥。

二、创设情境激发学生的学习兴趣

快乐教学的目的是让学生在积极向上的课堂环境中获得知识。情境教学就是采用生动活泼而具体的教学情境, 让八年级学生的数学思维被激活, 在体验中理解课本的内容。由于八年级学生处于一个身心都在成长的过程当中, 情境式教学就具有很大的优越性, 能够引导学生学习。例如, 在讲“长方体的切截”这一内容时, 可以让学生从家带来萝卜、梨、土豆、黄瓜等在课堂上自己动手切割, 比赛看谁切割的多边形最多。然后让学生总结最容易切割成几边形, 最多几边形, 最少几边形, 并找出其中的原因。最后让学生边观察长方体边思考, 并对问题的答案进行小组讨论。这种创设情境教学, 能够激发学生的学习兴趣。不管创设什么样的教学情境, 都应该从学生的学习兴趣出发, 让学生从内心感受到知识的形成过程。而且教师设计的问题应该紧密结合学生的学习生活, 还具有挑战性, 这样才能刺激学生有进一步学习的兴趣。

三、利用工具辅助教学增添学习的快乐

对于思考力在增长但尚未成熟的八年级学生而言, 初中数学的学习是有一定的难度的, 因为它跨度较大, 需要学生具有一定的思维能力。怎样提高学生的理解力和思考力, 让学生在课堂上更积极?这是每一个初中教师在思考的问题。实践证明, 在初中数学课堂上使用多媒体教学, 有利于展示数学思维的具体过程, 让数学教学变得事半功倍。教师教学的目的就是激发学生对学习的热情, 让学生在课堂上更积极。多媒体辅助教学正是这样一种全新的教学方式, 这正好满足了学生对一切新鲜事物备感兴趣的心理。数学教师可以利用多媒体以PPT的形式展示一些数学脑筋急转弯, 用动画的形式展示一些数学家小时候的趣味小故事, 图文并茂, 这样让学生对数学学习更加感兴趣。比如, 八年级数学题:有两棵树, 一棵高6米, 另一棵高2米, 两树相距5米, 一只小鸟从一棵树的树梢飞到另一棵树的树梢, 至少飞了多少米?教师可以利用制作的动画展示出小鸟从这棵树飞到那棵树的过程, 让学生对这个数学模型有了大概的印象。然后让学生看着多媒体上的动画边讨论并给出最后的解答, 这样可以让数学课堂变得有生机, 课堂氛围变得更加和谐, 增添了学习的快乐。

四、开展丰富的课堂活动, 增强课程的趣味性

活动游戏是孩子的天性, 八年级学生在学习中期盼的是学习能变成日常的游戏, 喜欢在动手中学习数学知识。教师可以把游戏当做教学的辅助工具, 在课堂上开展丰富多彩的游戏, 增强初中数学课堂的趣味性。比如, “生活中的立题图形”这一内容时, 可以让学生进行小组比赛, 看哪个小组列举出的立体图形多, 这些立体图形可以是粉笔盒、魔方、冰淇淋、茶杯等。又如, 在讲到“三角形内角和定理”时可以让学生动手将纸片折叠出不同形状的三角形, 然后用尺子丈量出每个三角形中每一个角的度数, 最后相加, 最后得出三角形的内角和是180度。这些课堂活动让八年级的学生在丰富多彩的活动中学习, 能够增强课程的趣味性。

五、注重学生知识的学以致用

积极开展快乐教学的目的就是让学生掌握好学习的知识, 做到学以致用。当学生把学到的数学知识在生活中得到应用, 学生才能够体会到学习掌握知识的重要性, 从而能够让学习兴趣得到有效地扩大。由于初中生的学习任务繁重, 数学内容枯燥, 使学生对数学的学习失去兴趣。因此, 可以通过增强与实际生活的联系来改善调整教学方法改善学生对初中数学兴趣性。比如, 在学习“函数”这一内容时, 教师可以组织学生参观附近的工厂, 了解他们的年生产总值、成本、利润、年平均增长率等, 从而加深对这些概念的理解。又如, 在教学“三角函数”的时候, 教师可以组织学生一起爬山, 自己动手测量山上某个建筑物的仰角, 这样让学生理解了三角函数的实际意义, 还培养了他们应用数学知识解决实际问题的能力。学生对数学知识的应用性扩充了, 这会增强学生对数学学习的兴趣, 从而提高了教学质量。

六、结语

数学是一门实用性很强的学科, 作为八年级的数学教师, 我们应与学生建立和谐的师生关系;多创设情境, 激发学生的学习兴趣;利用工具辅助教学, 增添学习的快乐;开展丰富的课堂活动, 增强课程的趣味性。时刻做到快乐教学, 让学生对数学学习保持浓厚的兴趣, 这样能够提高学生的学习成绩, 又能刺激学生对学习数学的兴趣, 这是一个良性循环的过程。

参考文献

[1].袁健.合理运用多媒体技术优化数学教学.山西青年.

[2].郑宏波.浅谈如何实施初二数学的快乐教学.大观周报.

[3]高红蕊.浅谈如何利用游戏优化小学英语教学.教育园地.