二阶导数的几何意义（精选7篇）

二阶导数的几何意义 第1篇

在现行的高中教材《数学》第三册 (选修Ⅱ) 中, 用运动变化的观点将曲线C的割线的极限位置所在的直线定义为C在P (x0, f (x0) ) 处的切线.

由这个定义出发, 我们可以发现, 函数y=f (x) 图像上任意两点undefined连线的斜率undefined的取值范围, 就是曲线上任一点切线的斜率 (如果有的话) 的范围.利用这个结论, 可以解决两类问题.

一、证明不等式

例1 a, b∈R, 证明:undefined

分析 本题的证法较多, 这里谈谈如何利用上面结论来证明.

若a=b时, 不等式显然成立;

若a≠b时, 原不等式等价于undefined.不妨设undefined.则问题转化为:在函数undefined的图像上任取两点P, Q, 求直线PQ的斜率的范围.

因为函数y=f (x) 的图像上任意两点连线的斜率的范围就是曲线上任一点切线斜率的范围, 因此将问题进一步转化为:求y=f (x) 的导数f′ (x) 的值域的问题.这样, 问题便轻松获解.

undefined

即|f (x1) -f (x2) |<|x1-x2|, 综合得原不等式成立.

点评 本题的证明利用了两次转化, 首先是由代数转化成几何, 将式undefined转换成切线的斜率, 然后, 再由几何到代数, 由割线的斜率转换成切线的斜率, 再转换成函数的导数.这充分体现了中学数学里的几种重要的数学思想方法.其次是该题的几何本质是双曲线上支y2-x2=1 (y≥1) 的图像上任两点的连线夹在双曲线的两条渐近线y=±x之间.

例2 已知f (x) =x2-x+c的定义域为 (0, 1) , x1, x2∈ (0, 1) , 且x1≠x2, 求证:|f (x1) -f (x2) |<|x1-x2|.

证明 ∵x1≠x2,

∴原不等式等价于undefined

即要证y=x2-x+c, x∈ (0, 1) 函数图像上任意两点连线的斜率k<1.

∵f′ (x) =y′=2x-1, 当0

undefined

即|f (x1) -f (x2) |<|x1-x2|.

巩固训练 已知a, b∈R, a≠b, 证明:undefined

小结 形如|f (x1) -f (x2) |m|x1-x2|或|f (x1) -f (x2) |≥m|x1-x2| (m>0) 型的不等式的证明, 都可利用上述方法解决.

二、恒成立求参问题

例3 已知集合MD是满足下列性质函数f (x) 的全体:若函数f (x) 的定义域为D, 对任意的x1, x2∈D (x1≠x2) , 有|f (x1) -f (x2) |<|x1-x2|.

(1) 当D= (0, +∞) 时, f (x) =ln x是否属于MD, 若属于MD, 给予证明, 否则说明理由;

(2) 当undefined, 函数f (x) =x3+ax+b时, 若f (x) ∈MD, 求实数a的取值范围.

分析 本题若用常规解法, 解答较繁;若用导数的几何意义, 则十分简单.

解undefined

undefined

当x1, x2∈ (0, 1) 时, f (x) =ln x∉MD.

(2) 由f (x) =x3+ax+b⇒f′ (x) =3x2+a,

当undefined时, a

∵f (x) ∈MD, ∴|f (x1) -f (x2) |<|x1-x2|,

undefined

巩固训练 已知函数y=x2+2ax+b, 对于x1, x2∈ (2, 4) (x1≠x2) 时总有|f (x1) -f (x2) |2|x1-x2|恒成立, 求实数a的取值范围.

《导数的几何意义》说课稿 第2篇

一、说考纲

由于导数是微积分的核心概念之一，它为研究函数性质提供了有效的工具。近年高考对导数加大了考查力度，不仅体现在解题工具上，更着力于思维取向的考查，它像一条腾跃的龙和开屏的凤，潜移默化地改变着我们思考问题的习惯。数学思想的引领，辩证思想的渗透，帮助着我们确立科学的思维取向。正因如此，导数的几何意义是整个导数及其应用部分中，新课标考纲唯一一个冠以“理解”的要求标准，也是这部分认知领域的最高标准，可见其地位和意义。

二、说教材

教材从数形结合的思想即割线入手，以形象直观的“逼近”方法定义了切线，获得导数的几何意义，学生通过观察、思考、发现、归纳、运用形成完整概念，辩证思想得以渗透，有利于学生对知识的理解和掌握。本节知识内容相当少，但在本节的教学实践中要突出其承前（进一步理解导数的定义，探讨函数值变化快慢）启后（作为研究函数的单调性、求解函数的极值和最值等性质最有效的工具）的关键纽带作用。

三、说学情

通过前两节对函数平均变化率和导数定义的学习，学生对有关导数的问题已经有了初步的认识，但是由于导数定义的抽象性，学生认知起来仍具有一定的困难。本节要通过动态的课件演示，将函数的平均变化率、导数（瞬时变化率）定义生动地展现，同时挖掘切线的斜率（斜率的绝对值的大小与陡峭程度）与函数图像的走势（导数的绝对值的大小与函数值变化快慢）的关联，成为后面研究函数的单调性、求解函数的极值和最值，探讨函数值变化快慢等性质最有效的工具。激发学生的学习兴趣，提升独立探索、解决问题的能力、数形结合的能力及对知识灵活运用的能力。

根据上述考纲、教材、认知的要求，立足学生的认知水平，设定教学目标和重点、难点，从识记、理解、掌握、应用四个层次上给出教学目标，教学重点制定在非智力因素的培养上，教学难点制定在思维能力方面。

教学目标：理解导数的几何意义，会求曲线的切线方程。

教学重点：掌握在某点和过某点的切线问题的求解方法。

教学难点：让学生在观察、思考、发现中学习，归纳总结、启发 学生研究性问题。

四、说教法

备课准备充分，为促进学生思维方式方法形成提供动力源泉。

多媒体辅助教学，通过几何画板的动态演示，能充分发挥其快捷、生动、形象的特点，无需提出问题让学生通过小组议论形式，发现规律，更有利于难点的突破。让学生亲身经历“观察、思考、发现、归纳总结、启发学生研究性”的过程，教师针对各组的结论引导学生用逼近的思维方法，理解导数的几何意义，同时尽量为后面的单调性、极最值、函数值变化快慢等做好总结性铺垫。教给学生思考问题的方法和依据，使学生真正成为教学主体。

五、说学法

通过小组议论形式让学生参与教学活动，促进学生间合作学习与交流，共同探讨问题，探索解题方法，产生互动效果，提高学生的合作意识，共同来完成教学目标。

六、说教学过程

（一）回顾与引入

回顾函数平均变化率定义及其几何意义；导数的定义及其导数的物理意义，铺设类比迁移情景。提出导数的几何意义是什幺？

（二）导数几何意义的探求过程

1.切线的定义

利用圆的切线与割线的动态联系适时地给出一般曲线的切线定义（避免从公共点的个数来定义）。

2.动态观察割线与切线的关联

通过演示割线的动态变化趋势，为学生观察、思考提供平台，引导学生共同分析，直观获得切线定义。通过逼近方法，将割线趋于确定位置的直线定义为切线，使学生体会这种定义适用于各种曲线，反映了切线的直观本质，从而归纳出导数的几何意义。这里教师要引导学生归纳总结曲线在某点处切线与曲线可以有不止1个公共点。直线与曲线

只有一个公共点时，不一定是曲线的切线。

3.通过例题体现应用，归纳求解步骤。

七、说板书设计

课题：

回顾：例1.求在指定点处的切线

练习：

几何意义：

例2.求过指定点处的切线

切线的理解：

例3.探索已知切线的斜率求切线方程问题

小结：

作业：

八、说自评反思

二阶导数的几何意义 第3篇

一、知识与能力

1.本节课是高三复习课.通过对“导数、平均变化率”的复习，明确探究导数的几何意义可依据导数概念的形成寻求解决问题的途径.

2.利用割线逼近的方法直观定义切线，概括导数的几何意义.

3.通过例题分类解析，让学生学会利用导数的几何意义求曲线的切线问题，加深对导数内涵的理解.在学习过程中感受数形结合、极限思想方法.

二、过程与方法

1.学生通过观察感知、动手探究等方法培养学生的动手和动脑的能力.

2.分类探究和分层练习，各种层次的学生都可以凭借自己的知识能力独立解决问题.

3.学生通过思考探究的3个问题，深化对切线定义的认知，小结形成求切线的步骤.

三、情感、态度与价值观

1.在探究过程中渗透极限思想，体验数形结合思想.

2.采用示范剖析、学生自主实践的方式，让学生理解和掌握基本数学技能、思想方法.

【教学重难点】

重点：理解和掌握切线的定义、导数的几何意义.

难点：体会数形结合、极限思想；利用导数的几何意义求曲线的切线.

【教学方法】分层探究、自主实践.

【教学过程】

一、回顾旧知，引入新课

1.师：平均变化率Δy1Δx=f（x0+Δx）-f（x0）1Δx的几何意义是什么？

生：割线的斜率.

2.函数在x=x0处的导数f′（x0）的定义：

f′（x0）=lim1Δx→0Δy1Δx=lim1Δx→0f（x0+Δx）-f（x0）1Δx.

（即Δx→0，平均变化率趋于的确定常数就是该点导数.）

师：那么当Q点无限逼近P点时（Δx→0）即lim1Δx→0Δy1Δx，在图中又表示什么呢？今天我们就一起来探究导数的几何意义及应用.

二、引导探究，获得新知

1.动画演示，得到切线的新定义

已知曲线上点P处的切线PT和割线PQ，动画演示Q点无限逼近P点，即Δx→0，割线PQ的变化趋势.教师引导学生观察割线与切线是否有某种内在联系？并体会从割线到切线的变化过程：

k割线=Δy1Δx=f（x0+Δx）-f（x0）1Δx

↓

当 Q点无限逼近P点时，即Δx→0时，割线 PQ的斜率的极限，就是曲线在点P处的切线的斜率.

↓

k切线=f′（x0）=lim1Δx→0Δy1Δx=lim1Δx→0f（x0+Δx）-f（x0）1Δx

学生观察，得出一般曲线的切线的定义：

曲线上Q点无限逼近P点，即Δx→0，割线PQ趋近于确定的位置PT，这个确定位置上的直线PT称为点P处的切线.

2.数形结合，概括导数的几何意义

导数f′（x0）的几何意义：函数f（x）在x=x0处的导数就是曲线在该点处的切线的斜率，即k=lim1Δx→0f（x0+Δx）-f（x0）1Δx=f′（x0）.

三、分层解析，巩固理解

师：由导数的几何意义，我们可以解决“切点—斜率—切线”知一求二问题，接下来我们重点研究曲线求切线问题.

1.分类解析（四种常见的类型）

题型一：已知切点，求曲线的切线方程.

此类题只需求出曲线的导数得到斜率，并代入点斜式方程即可.

【例1】曲线y=x3-3x2+1在点（1，-1）处的切线方程为（）.

A.y=3x-4B.y=-3x+2

C.y=-4x+3D.y=4x-5

答案：B.

题型二：已知斜率，求曲线的切线方程.

此类题可利用斜率求出切点，再用点斜式方程加以解决.

【例2】与直线2x-y+4=0平行的抛物线y=x2的切线方程是（）.

A.2x-y+3=0B.2x-y-3=0

C.2x-y+1=0D.2x-y-1=0

答案：D.

题型三：已知过曲线上一点，求切线方程.

过曲线上一点的切线，该点未必是切点，故应先设切点，再求切点，即用待定切点法.

【例3】求过曲线y=x3-2x上的点（1，-1）的切线方程.

题型四：已知过曲线外一点，求切线方程.

【变式训练】求函数y=x3-2x过点（0，16）的切线方程.

2.动手实践

【例4】已知曲线f（x）=x2+1.

（1）求曲线在点（2，5）处的切线方程；

（2）求曲线过点（2，-11）的切线方程.

3.方法总结

曲线y=f（x）“过”点P（x0，y0）与“在”点P（x0，y0）处的切线的区别：

①曲线y=f（x）过点P（x0，y0）的切线，是指切线经过P点，P点可以是切点，也可以不是切点，而且这样的直线可能有多条；

②曲线y=f（x）在点P（x0，y0）处的切线是指P为切点，若切线斜率存在时，切线斜率为k=f′（x0），有唯一的一条切线.那么如果切线斜率不存在时，又会怎么样呢？请看思考探究.

四、思考探究，深化理解

1.如果曲线y=f（x）在x0处的导数不存在，那么曲线y=f（x）在x0处还存在切线吗，若存在，是什么？

2.曲线在某一点处的切线只能与曲线有唯一公共点吗？

3.说说曲线的切线定义与初中学习圆的切线定义有什么不同.

五、归纳总结，深化认识

1.知识：

（1）切线的定义；

（2）函数f（x）在x=x0处的导数f′（x0）的几何意义.

2.思想：体会数形结合、极限等思想方法.

3.应用：

（1）“切点—斜率—切线”知一求二；

（2）学生归纳出求切线的一般步骤.

【教学反思】

本节课是高三第一轮的复习课，学生对导数的概念及其几何意义都有了一定的认识，但很多学生由于初学时对知识掌握不牢固或理解不到位，往往知其然，而不知其所以然.因此，本节课从导数概念的复习入手，利用多媒体技术动画展示从割线到切线的形成过程并概括导数的几何意义，既让学生理解了曲线切线的定义，又让学生明确了探究导数的几何意义可依据导数概念的形成寻求解决问题的途径.利用数形结合思想方法让学生理解了割线通过无限逼近的方法，得到割线斜率的极限就是曲线在该点处的切线的斜率，深化了学生对导数几何意义的理解，突出了重点，突破了难点，更体现了新课程背景下对知识发生过程推导所占据的举足轻重的作用.

同时，为了适应高考对解题能力的要求，对导数几何意义的应用做了分类训练，便于学生理清思路，让学生在主动实践中归纳方法，举一反三，提高效率.通过“在”某点处和“过”某点的切线的对比，明确求解切线问题的关键是切点坐标，无论是已知切线斜率还是切线经过某一点，切点坐标都是化解难点的关键所在.最后，通过思考探究的3个问题的探讨，进一步深化对切线形成及导数几何意义的理解.

浅谈方向导数的几何意义 第4篇

设f (x, y) 在点P0 (x0, y0) 的某邻域内有定义, 且在点P0 (x0, y0) 可微, 则f (x, y) 在点P0 (x0, y0) 沿任意方向l的方向导数都存在, 且有

由空间解析几何得, 方向l所确定有向射线P0P的一般方程为

记z = f (x, y) 所确定的曲面为π1. 过有向射线P0P作与x Oy坐标面垂直的半平面π2, 则半平面π2的方程为 (x x0) cosβ - (y - y0) cosα = 0.

记半平面π2与曲面π1的交线为Q0Q, 其中点Q0 (x0, y0, f (x0, y0) ) 在曲面π1上, 且在x Oy坐标面的投影为点P0.在半平面π2上, 过点Q0作与有向射线P0P平行的有向射线Q0Q1, 过点Q0再作曲线Q0Q的有向切线Q0Q2, 如图所示.

记有向切线Q0Q2与有向射线P0P的夹角θ, 则θ∈[0, π/2) . 由于P0P∥Q0Q1, 则有向切线Q0Q2与有向射线Q0Q1的夹角也为θ. 取有向射线Q0Q1的一个方向向量为

由于交线Q0Q的一般方程为

由二元函数微分法的几何应用, 取有向切线Q0Q2的一方向向量为

由数量积和向量积得

参考文献

二阶导数的几何意义 第5篇

误区一:过点 (x0, y0) 的切线的斜率一定是f' (x0)

例1 (2009年全国Ⅰ卷, 文21) 已知函数f (x) =x4-3x2+6.

(Ⅰ) 讨论f (x) 的单调性;

(Ⅱ) 设点P在曲线y=f (x) 上, 若该曲线在点P处的切线l通过坐标原点, 求l的方程.

解: (Ⅰ) 解略;

(Ⅱ) 错解:f' (x) =4x3-6x.因为切线过原点, 所以切线斜率k=f (0) =0, 故l的方程为y=0.

剖析:只有当点 (x0, y0) 是切点时, k=f' (x0) 才成立.可判断上题中所给的原点在曲线外, 不可能是切点, 所以以上解法有误.

正解: (Ⅱ) f' (x) =4x3-6x, 显然原点不在曲线上, 故不是切点.设切线斜率为k, 切点为P (x0, y0) , 则y0=x04-3x02+6.根据导数的几何意义得k=f' (x0) =4x03-6x0, 又由k=kop得4x03-6x0=整理得 (x02+1) (x02-2) =0.解得或, 从而.故所求切线的方程为和

误区二:切线与曲线的公共点一定是切点

例2:求曲线f (x) =x3-3x2+2x过原点的切线方程.

错解:可判断原点在曲线上, 故一定为切点.

f' (x) =3x2-6x+2, 切线斜率k=f' (0) =2, 故切线方程为y=2x.

剖析:曲线与切线的公共点可能是切点, 也可能是切线与曲线的另外一个交点, 所以切线与曲线的公共点不一定就是切点, 切点也不一定就是曲线与切线的唯一公共点.学习了导数以后, 应该利用极限的思想重新理解切线的概念.

正解:因为原点在曲线上, 故原点有可能是切点, 也有可能不是切点.

(1) 当原点是切点时, f' (x) =3x2-6x+2, 切线斜率k=f' (0) =2, 故切线方程为y=2x;

(2) 当原点不是切点时, 设切点为P (x0, y0) (x0≠0) , 则y0=x03-3x02+2x0, 切线斜率k=f' (x0) =3x02-6x0+2.又由k=kop得3x20-6x0+2=x20-3x0+2, 解得x0=0 (舍去) 或故切线的斜率为, 切线方程为

综合 (1) 、 (2) 得, 所求切线方程为y=2x或y=

误区三:某点处的导数不存在, 切线就一定不存在

例3:求函数f (x) =在原点处的切线方程.

错解:f' (x) =, 则切线的斜率k=f (0) 不存在, 所以切线也不存在.

剖析:由切线定义的极限思想可知, 切线的斜率虽不存在, 但此时切线是存在的, 且倾斜角为.函数在某点存在导数是曲线在该点处存在切线的充分条件, 而非必要条件.

正解:如右图所示, 按切线定义, 当△x0时, 点Q (Q') 沿着曲线趋向于原点O, 割线OQ的极限位置为y轴 (此时斜率不存在) , 因此过原点的切线方程为x=0.

二阶导数的几何意义 第6篇

师:我们通过学习发现导数几何意义的应用是这章内容中的重点, 也是热门考点, 首先来复习这一知识点。问题1:导数的几何意义是什么?

生:曲线y=f (x) 在x=x0处的切线的斜率, 即k=f′ (x0) 。

师:问题2:那么该点处的切线方程是什么?

生:切线方程为y-f (x0) =f′ (x0) (x-x0) 。

(通过学生对于知识点的再次陈述, 强化导数的几何意义。)

师:我们经常遇到利用导数几何意义求解曲线的切线方程, 有没有什么特别要大家注意的地方?

(设置开放性的问题, 让学生分散思索, 再整体把握, 有利于复习归纳。)

生:利用导数求切线过点P的切线方程, 要注意判断点P是否在直线上。

师:非常好!这个已知点的位置很重要, 请看复习题:

已知曲线, (1) 求曲线在x=2处的切线方程;

(2) 求曲线过点 (2, 4) 的切线方程。

师:第一问中的点是什么点? (切点)

师:应如何求解呢?

生:先求在x=2处的导数f′ (2) =4, 即切线的斜率。然后将x=2代入方程求出切点 (2, 4) 。用点斜式可以写出切线方程为y-4=4 (x-2) , 即4x-y-4=0。

师:很好。思路清晰, 那么求曲线已知切点的切线方程没问题了。请再看问题3, (2) 中“曲线过点”, 这个点是切点吗?

生:不一定, 要看它是否在曲线上。

师:好, 那验证点是否在直线上。这个点在曲线上就一定是切点吗?

生:也不一定。也可能是曲线另一点处的切线与曲线的交点。

师:问题4:我们不是学习过曲线与直线相切就可以转化为一元二次方程的Δ=0, 也就是只有一个交点吗? (学生迟疑, 显然问题触动思考)

生:那是圆, 椭圆, 双曲线

师:是的。我们发现曲线为二次曲线时, 曲线与直线相切交点只有一个, 而一般曲线呢?你能用图示给大家举个例子吗?

生:y=x3 (第一象限曲线某点处的切线与曲线第三象限图像仍有交点) 。

师:好的。那该如何解答呢? (引发学生回归题目) 要求切线方程, 要有斜率, 也就是切点处的导数。

生:可以先设切点为, 切线斜率f′ (x0) =x02, 而切点就在切线上, 点斜式写出切线方程。

师:接着呢?

生:可以把点 (2, 4) 代入方程, 求出。

师:很好, 因点 (2, 4) 在切线上, 自然也满足切线方程, 那么带入后就得到一个一元三次方程。

(老师板书:切线方程为, 因为点 (2, 4) 在切线上, 所以, 即x03-3x02+4=0。)

师:一元三次方程在这部分的解题中我们也经常遇到。应如何求解呢?我们可以采用配系数的方法, 可以将二次项-3x02拆成-4x02和x02。

(教师板书:所以x02 (x0+1) -4 (x0-1) (x0+1) =0, 即 (x0+1) (x0-2) 2=0, 解得x0=-1或x0=2, 故所求切线方程为4x+y-4=0或x-y+2=0。)

师:通过完成该题, 你复习了那些内容, 掌握了哪些技巧?

(通过又一个开放性问题, 引导学生进行反思, 从而自觉提炼出知识精髓和常见方法)

生:求切线一定要分清“在”还是“过”某点的切线”。

生:解决“过某点处的切线”先设切点 (x0, y0) , 然后求切线斜率, 写切线方程, 再讲已知某点代入求出切点坐标、斜率, 就可以求切线方程了。

生:现阶段解一元三次方程可以用配系数的方法来做。

师:是的。以上是对于解题上的一些常见方法或技巧进行的总结, 还有吗?

生:澄清我们的一个常见错误, 认为曲线与切线只有一个交点, 实际上, 我们常见的圆, 椭圆等是这样的, 其他一般曲线未必是这样的。

师:很好。

(再利用PPT总结, 帮助学生梳理强化知识)

课后反思:

这是复习课上的一瞥, 通过这个专题模块复习, 我进行了如下总结。

1.复习要有全局性

复习是针对某一段时间或某几章节的梳理及深化, 新课的知识点是零散的, 难成体系的, 而复习的目的就是将整节整章乃至更多的内容从零碎的点整合成一个较为完整的体系。因此, 复习不应只做前期教学的简单重复, 而要将知识点串成线, 线串成面, 让学生高屋建瓴地把握知识的结构, 前后的联系, 从而达到提纲挈领的效果。

2.复习要有针对性

既然复习不是简单罗列和重复, 那么在详略上就应当有所取舍, 显然教学的重点应在复习中充分体现, 如本节中“利用导数集合意义求切线方程”这当然就是本章中的一个重要内容, 而从第1小问中, 不难发现学生对于这一重点掌握情况相对较好, 教师就不应作太多赘述。而第2小问的类型是学生易发生错误的地方, 当然教师就要充分让其出错, 然后订正深化总结, 因此复习应有针对性, 针对学生易错的, 易混淆的内容讲、练, 使复习更加务实。

3.复习要有开放性

试谈二阶导数在解题中的应用 第7篇

例1 (2010年全国卷Ⅰ) 函数f (x) = (x+1) ln x-x+1.证明: (x-1) f (x) >0.

分析要证 (x-1) f (x) >0, 只需证明f (x) 在x≥1时大于0, f (x) 在0

在0

(1) 当x≥1时, 因为f′ (x) ≥0, 所以在[1, +∞]上为增函数, 所以

f (x) ≥f (1) =0,

故 (x-1) f (x) ≥0.

(2) 当0

故g (x) 在 (0, 1) 上递减, 所以g (x) >g (1) =1, 所以f (x) 在 (0, 1) 上递增.所以

f (x)

故 (x-1) f (x) >0.

小结从本质上来讲, 本题还是用导函数的正负判断原函数的增减性, 只不过本题f (x) 的导函数的正负不易判断, 而利用二阶导数却容易判断f (x) 的导函数的正负, 收到了很好的效果.

例2 (2010年海南宁夏卷) 设函数f (x) =ex-1-ax2, 若当x≥0时, f (x) ≥0, 求a的取值范围.

分析因为f (0) =0, 所以f (x) ≥f (0) , 由x≥0时f (x) ≥0知, 需要讨论原函数的增减性, 而讨论的关键是需要确定分界点, 而令导函数的导函数为0则容易确定分界点.

解法1求导得,

f′ (x) =ex-1-2ax,

设g (x) =ex-1-2ax,

则g′ (x) =ex-2a,

(1) 当时, 因为g′ (x) ≥0, 所以g (x) ≥g (0) =0.所以f (x) ≥f (0) =0, 适合题意.

(2) 当时, 在区间[0, ln 2a) , g′ (x) <0, 所以g (x) 在区间[0, ln 2a) 上递减, 故

0x

所以f (x) 在[0, ln 2a) 递减, 所以f (x) f (0) =0, 与题意不符.

由 (1) (2) 知, a的取值范围是

解法2 f′ (x) =ex-1-ax2,

因为f (0) =0, 所以f (x) ≥f (0) .故f (x) 在x≥0时为增函数, 所以

f′ (x) =ex-2ax≥0.

又f′ (0) =0, 所以f′ (x) ≥f′ (0) , 所以

f″ (x) =ex-2a≥0.

所以2aex, 而ex在[0, +∞) 的最小值1, 所以

小结解法1与解法2的区别是, 解法2两次应用增函数的充要条件分离出参量, 使得问题变得简单.其中二阶导数在其中发挥了重要的作用.

练习已知函数, 若f (x) 在区间 (0, +∞) 内单调递增, 试求k的取值范围.

(答案: (-∞, 0])

例3 (2008年湖南卷) 已知函数, 求函数f (x) 的单调区间.

分析此题对函数求一次导数, 其正负还是很难确定, 必须进行二次或三次求导才能确定原函数的单调区间.

解函数f (x) 的定义域是 (-1, +∞) ,

设g (x) =2 (1+x) ln (1+x) -x2-2x,

则g′ (x) =2ln (1+x) -2x.

设h (x) =2ln (1+x) -2x,

当-10, h (x) 在 (-1, 0) 上为增函数;

当x>0时, h′ (x) <0, h (x) 在 (0, +∞) 上为减函数.

所以h (x) 在x=0处取得极大值, 而h (0) =0, 所以g′ (x) <0 (x≠0) , 函数g (x) 在 (-1, +∞) 上为减函数.

于是当-1g (0) =0, 当x>0时, g (x)

所以, -10, 函数f (x) 在 (-1, 0) 上为增函数;

当x>0时, f′ (x) <0, 函数f (x) 在 (0, +∞) 上为减函数.

故函数f (x) 的单调递增区间为 (-1, 0) , 单调递减区间为 (0, +∞) .

小结本题原函数的一次二次导数均很难判断正负, 通过对原函数求三次导数才使问题得到解决, 如果不求多次导数, 本题很难解决, 多阶导数的作用得到充分的体现.