部分线性模型范文（精选8篇）

部分线性模型 第1篇

变系数模型是近期发展起来颇受人们重视的一类具有广泛应用背景的回归模型。该模型通过假定线性回归模型中的回归系数是其他自变量的未知函数以增加模型的灵活性和适应性, 同时由于系数函数通常是某个自变量的一元函数而有效避免了拟合中的维数诅咒问题。该模型的结构如下:

其中 (U, X1, …, Xp) 是自变量, Y是因变量, ε是模型误差。

该模型将线性模型的参数用自变量的未知函数代替, 称此未知函数为系数函数。对于系数函数的估计, 目前主要的拟合方法有三种, 即核光滑方法、多项式样条和光滑样条估计, 变系数模型本质上是局部线性模型, 因此更适合于用局部光滑方法来拟合。

实际问题研究中, 模型 (1) 的一种常见情况是部分自变量对因变量的作用随变量U的变化而变化, 其余自变量对因变量的作用不随其的改变而改变。此情况下的模型称为部分线性变系数模型, 这类模型的结构如下:

考虑到回归自变量存在复共线性时, 最小二乘估计的结果往往不够理想, 有时甚至还与实际相违背。Hoerl and Kennard (1970) [5]提出了岭估计, 岭估计能有效克服复共线性带来的问题。于是, 本文将从profile最小二乘估计出发, 在考虑常值系数自变量zi存在复共线性时, 将profile最小二乘估计修正为profile岭估计。并且设参数存在线性等式约束

其中b是已知向量, A是一个已知的行满秩矩阵。线性等式约束是由Rao (1973) [6]提出来的, 本文将结合文献[7~8], 提出部分线性变系数模型的约束profile岭估计。

二、参数分量的约束岭估计

假设模型 (2) 中的已知, 则模型 (2) 化为如下形式的变系数模型:

设K (t) 为给定的核函数, h为窗宽, Kn (t) =K (t/h) /h, 则变系数模型 (4) 的局部线性拟合即选择αj (uo) 和α'j (uo) 使

为了叙述方便, 采用下面的矩阵形式, 记:

以及

从而模型 (4) 可写为如下的矩阵形式:

基于问题 (5) , 可写为如下矩阵形式:

该矩阵对向量P求偏导, 并令其零, 可以得到P的估计:

将其带入M中, 则M相应的估计为:

将M的估计带入 (6) , 整理可得线性回归模型:

不妨记, 则线性回归模型 (7) 可改写为:

考虑自变量Z存在复共线性和等式约束 (3) , 对模型 (8) 做约束岭估计, 利用拉格朗日乘数法, 建立目标函数:

解 (10) 可得:

其中为不带约束条件 (3) 的岭估计。把 (12) 带入 (11) 可得:

把 (13) 带入 (12) 得到在约束条件下的岭估计为:

证明:

三、约束profile岭估计和约束profile最小二乘估计的比较

为了比较两种估计, 我们首先给出一个引理:

则我们有如下定理:

再由引理1我们有:

定理得证。

摘要：本文研究了部分线性变系数模型在线性部分存在多重共线性和参数分量附加约束条件时的估计问题。基于profile最小二乘估计和岭回归估计方法, 构造了参数分量的约束profile岭估计, 并研究了其性质。

关键词：部分线性变系数模型,复共线性,Profile最小二乘估计,岭回归估计

参考文献

[1]W ZHANG, SY LEE, X SONG.Local Polynomial Fitting in Semivarying Coefficient Model[J].Journal of Multivariate Analysis, 2002, 82:166~188

[2]XIA Y C, ZHANG W Y.Efficient estimation in varying-coefficient partially linear models[J].Bernoulli, 2004, 91:661~681

[3]X ZHOU, J HYOU.Wavelet estimation in varying-coeffient partially linear model[J].Stat Probab Lett, 2004, 68:91~104

[4]FANJIANQING, HUANGTAO.Profile likelihood inferences on semi-parametric varying-coefficient partially linear models[J].Bernoulli, 2005, 11:1031~1057

[5]HOERL, AE, KENNARD, RW.Ridge regression biased estimation for nonorthogonal problems[J].Technometrics, 1970 (12) :55~67

[6]RAO, C.R.Unified theory of least squares[J].Communicationsin Statistics-Theory and Methods, 1973, 1:1~8

[7]梅长林, 王宁.近代回归分析方法[M].北京:科学出版社, 2012

一类微分经济模型的非线性动力分析 第2篇

引言

国内外有不少学者专家对经济周期模型进行了研究分析，取得了非常丰富的研究成果。1930年法国的Corbeiller提出可以基于非线性动力学的混沌分岔理论对经济系统进行分析。随后，基于非线性动力学理论对经济微分系统进行分析成为学界的共识。1950年，Goodwin通过改进希格斯的消费函数，并结合时滞系统的思想，建立了一个非线性“乘数-加速数”经济周期模型，在该模型中，他通过非线性动力学理论研究了系统的分岔和混沌现象，并发现系统在参数变化时会出现周期极限环等典型的非线性动力学特征。随后，Puu同样以希格斯消费函数为基础建立了一个考虑非线性投资函数的周期经济学动力系统模型，重点对该模型的局部和全局动力学现象进行详细研究。

我国学者也对经济系统的非线性动力学展开了广泛的研究。李伟通过对综合消费函数和投资函数进行综合考虑，并考虑自发性函数项，建立了一类新的经济动力学模型。文献研究时考虑了时滞项对系统的影响，得到了系统发生Hopf分岔的判别式条件，从而研究了系统的周期与非周期特性。

综上所述，包含消费函数、投资函数、时滞等因素的经济学动力系统，往往包含有周期项，导致系统出现了典型的周期倍化分岔、Hopf分岔、极限环等多种非线性响应。在参数变化时，系统随着动力学参数的变化，经济模型动态响应也随之改变。

本文针对一类非线性周期经济动力学系统，建立了考虑多种参数的经济学微分方程，重点研究了基于借贷模式的经济周期的非线性模型，通过非线性动力学理论对系统的微分方程进行求解分析。本文的研究对于宏观经济政策决策有一定的理论指导意义。

基于借贷消费的经济周期模型

借贷消费起源于美国，近年来在中国开始逐渐研究借贷消费对我国经济发展的影响。特别是经济危机的出现，使得越来越多的专家学者开始对借贷消费的优劣更多关注。因此，如何合理利用和控制借贷消费，成为经济学领域研究的热点之一。

式（6）表示的系统中，外部激励项f为国家宏观调控的力度，下面研究系统随该参数变化时系统的非线性动力学特性。当f连续变化时，以f=0.4275为系统的周期倍化分岔临界值。在分岔点附近，系统的轨线的拓扑结果有实质性的差异，焦点由稳定变为不稳定，极限化由无到有，由大到小，且极限环的周期性发生了明显改变从周期2变为周期4，如图2a～b所示。

（一）f=0.4275是系统分岔临界值，可以发现，该系统随着系数的波动出现了模型的周期性波动，而且随着参数改变，系统的周期同样明显改变。这与世界经济发展确实存在周期波动完全一致。

（二）f=0.423左右，系统在该参数没有出现周期解。出现了明显的混沌现象，这样的现象说明，系统在该参数下是混沌的，暗示这样的参数条件下该系统可能爆发经济危机。由于经济危机比如影响到世界经济的正常发展和前进，而且这样的状态具有随机遍历性，因此对任何经济系统都是十分危险的。需要努力去控制，因此，使得中国的经济发展处于混沌状态。因此，要避免经济危机对中国经济发展的危害，保证经济的持续增长，宏观调控的力度一定要保持在0.4230以上。

（三）当f的取值从依次减小时候，极限环的半径也在依次变大。这说明f的值越大，发生一个经济周期所经历的时间越长，即经济发展相对稳定。

（四））f的值越小，发生一个经济周期所经历的时间越长，而且经济发展的波动性较大。

综上，我们可以发现外部干扰f对系统的影响较大，我们可以通过加以较小的外力干扰就可以使经济由混沌状态进入到确定状态。随着f的变化，要想使得经济由混沌状态进入到确定状态，需要施加的外力 也需要不断增加。在现实中，这就说明当宏观调控力度较小时，政府使用比较单一的经济调控手段就可以控制经济的发展方向，而当 较大时，政府需要联合使用较多的经济调控手段才可以控制经济的发展。

结论

本文建立了考虑借贷消费及借贷投资的经济周期模型，对模型的动力学参数进行估计，在此基础上，分析了外部干扰项对该系统的分岔和混沌行为的影响规律，得到参数变化时系统动力学响应的变化和转迁规律，研究发现选择合理的外部控制项，能够对系统的周期与非周期性产生十分明显的作用，达到控制借贷消费率及借贷投资率的目的，从而对我国的解决发展起到明显的促进作用。

部分线性模型 第3篇

本文主要针对广义部分线性模型,对其基于均值漂移进行回归诊断,为以后进行统计诊断做准备.

二、广义部分线性模型

广义部分线性模型(Generalized partial linear models,简记为GPLM):

三、基于均值漂移模型的回归诊断

其均值漂移 模型 (mean-shift outlier model,简记为MSOM) 可表示为

其中γ表示第i个点处yi均值的漂移,也称为漂移参数.

如果γ显著不等于零,则说明第i个点的均值确实有漂移,这说明第i个点为异常点. 为了检测漂移参数γ是否显著不等于零,通常有两种方法,即参数估计和假设检验.

(1) 参数估计: 首先介绍一下数据删除模型(简记为CDM),它是为了研究数据点与模型的吻合程度,模型 (1)式中删除第i个数据点 (xi,zi,yi) 以后的模型以及参数估计.

四、结束语

部分线性模型 第4篇

关键词：多元线性；分析；学生成绩

学生接受教育是连续的，所以评价一名学生不能只依靠某次考试成绩，要纵向地连续观察学生在各阶段情况做综合评价。中考成绩是衡量学生进入高中之前学习情况的一项重要指标，所以选择这两个变量作为二模成绩的解释变量是含有一定的合理性。

图3是学校类别x2，学生性别x3以及班级类别x4的直方图，图4表示的是二模成绩y关于中考成绩x1和一模成绩x3的散点图。通过观察可以对新添加解释变量的情况有初步了解。

R软件对样本数据做多元回归得表4.可以得到多元线性回归模型虽然已经得到回归方程，但还要对模型的合理性进行检验。由上文多元回归模型的理论可知，首先要对回归方程做显著性检验，分析数据发现该检验得到p值很小，与此同时相关系数R2为0.9298，说明建立的多元回归模型比较合理，解释变量能很好解释因变量。

接下来还要对模型的解释变量逐个进行t检验，表4中显示中考成绩、一模成绩的p值很小，说明二者对二模成绩影响很显著。

学生性别这个变量对二模成绩影响的p值为0.0271也很显著。人们通知认为高中男生的学习能力要强于女生，但分析结果表明这种说法不是很正确。学生性别变量的回归系数估计值为3.1393，表明女生成绩普遍较好。高中阶段的学习，不仅要求接受新知识能力强，而且要求有丰富的知识积累量。可能是女生学习态度较好，对知识掌握情况较好。

学校类别变量对因变量影响不是很显著，也就是说学校水平对学生成绩影响不大。样本的五所学校可以分为两个水平：重点高中和普通高中。学校水平不同对学生二模影响的功能贡献率不是很大，这个结果与只有去好学校才有优异成绩的想法不符。

二模成绩与一模成绩的散点图说明一模成绩可以很好的预测二模成绩。图中有很清晰的两条直线，可能是由于学校所处水平不同引起的，重点高中学生成绩整体上要比普通高中要好。图5是多元回归方程的残差图，图中点散乱分布在y轴的两侧，说明所选择的中考成绩，学生性别等5个解释变量可以很好的解释二模成绩，也就是说建立的模型有一定的合理性上述多元回归模型残差平方和，对上文五个解释变量做显著分析时知，学生个人对二模成绩影响很大，学生类别与班额对学生成绩影响不是很显著。残差平方和的意义在于除了学生个人之外其他所有因素对因变量的影响，其中也包括学校的教学质量。因此，我们就可以利用各自学校的残差平方和去比较学校之间教学质量差异。利用上式可以得到每所学校的学校对学生的影响程度表示为

利用样本数据计算得到的结果见表6.

从表6可以看出，C、D两所学校残差平方和比较大，表明与其他几所学校有明显差异。从实际意义上看，说明这两所学校在师资力量、办学条件、生源质量等方面与其他三所学校有很大不同。

模型拓展

本文之前的分析都是在样本数据的基础上，利用数据中包含比较直观的信息（学生成绩、性别等），从学生角度分析影响学生的二模成绩因素。在样本中没有任何关于学校办学条件，师资力量等代表学校教学质量相关信息情况下，是否可以利用简单线性回归模型挖掘出潜藏在样本中的信息，进而估测学校的教学质量的差异为学校排名。

其中表示来自第i所学校的第j学生的第二次模拟考试成绩。

表示来自第i所学校的第j 学生的中考成绩。由最小二乘法估计方法，我们有将样本数据代入上式推导出的公式中，计算结果如表7所示。

数据分析之前，已经大致了解学校的基本情况。其中学校编号为CDE的三所学校为省级示范高中，编号为AB的两所学校为普通高中，实际学校排名情况与上表现是排名大体一致。

本文建立的多元回归模型对三组学生成绩分别从学生以及学校角度进行分析，并结合统计学知识、R软件对数据分析处理的结果进行了有效的分析与合理解释。

当统计学与数据相遇总会有这样那样的火花，不一样的风景。样本只包含几次考试成绩和关于学生自身的一些信息，没有直接关联教学质量的信息。但是简单的分析就可以挖掘到许多隐藏在数据背后的信息，这就是统计学的魅力所在。通过上述分析再一次验证了数据力量是巨大的，合理、高效地利用为教学服务，将具有重大的意义。

参考文献：

部分线性模型 第5篇

关键词：CSTR,非线性,状态空间,传递函数

0 引言

过程的抽象与仿真对学术研究是有重要意义和实用价值的,因为我们可以通过采用不同抽象方式和实施不同控制策略来比较出某一模型在辨识、控制器设计和该系统的故障诊断等不同应用领域采用不同处理方法的优劣,从而针对特定工业应用环境选取最优解决方案[1]。本文描述了一个不带有化学反应的连续搅拌加热装置(CSTH)的基本模型,从容积平衡和热平衡两个方面结合实验数据以代数方程的形式推导出模型,其中通过实验测量到得数据是来自安装在实验装置的传感器和一些执行机构获得的,其他一些未知的如通过加热线圈产生的热传递量、加热装置本身体积对加热对象的体积和液位关系的影响等这些特征量在实际应用中是不能被完全忽略的,但这类关系大部分又含有显著的非线性因素和较强的约束条件,这是此类模型辨识的一个难点。一个有价值的特征量应该是对模型采用测量方式得到而不仅仅是模拟其产生的噪声和干扰来获得,因此本文提出的方式是选用一个真实的平台来作为大量数据的识别和处理基础[2,3],结合实验在Simulink中的仿真平台下给出的模型主要是考虑到后续研究的易操作性,下面做详细介绍。

1 过程描述与模型建立

1.1 CSTH装置

本文采用的实验平台是一个体积为3.5L、高20cm的正方体形可进行简单的冷、热水混合的反应装置,结构如图1所示,假定CSTH中能够混合完全,即反应器中反应物的温度和外流体的温度一致。CSTH中的冷水(CW)和热水(HW)都通过一个10psi的泵增压后注入容器,气压传动装置的控制阀可提供压缩空气。测量部分采用了孔板式微分压力变送装置作为流量仪,液位仪采用微分压差测量方式,温度测量是靠安装在管道出口处的热电偶获取,这些测量装置都可提供4m A~20m A的输出信号。

图1(a)为实验平台的一部分(为使图看得比较清晰,未放入搅拌装置和加热器插件),图1(b)为基本工作示意图。

1.2 容积和热平衡方程

容积和热的动态平衡可用下面的方程表示:

其中x表示液位,V是反应器的容积,fhw为流入反应器的热水的流量,fcw为流入反应器的冷水的流量,fout是反应器出口的流量,H是反应器的整体焓;hhw提供的热水的焓;hcw提供的冷水的焓;hout反应器出水的焓;ρcw是加入的冷水的密度;ρhw是加入的热水的密度;ρout是反应器流出水的密度;Wst是来自蒸汽的输入热量值。

1.3 其他方程

接下来给出其他参量的代数方程推导。

比热焓:假定混合充分的情况下,有

液位x表示:反应器底部安装的加热线圈占据了一部分体积,因此,反应器的液位和体积的关系是非线性的。

出口流量表示:将手动输出流量阀混合比为50%作为标准运行状态,在这个标准设置下,给出的是根据实验测得的一个水的高度(cm)和上面提到的手动流量阀测得流量(m3/s)的平方根关系

热力学性质描述:流动液体中比热焓、密度、温度之间的关系及数值用于h和T的转化、T和q分段查表线性化,其中比热焓参考值为0°C。

蒸汽系统热传递:蒸汽系统的热传递是依靠蒸汽阀的开度控制的,因为热交换区域的热传递系数是一个不可获得的量,所以这种关系是通过从稳态起设定不同的蒸汽阀开度一一测定而得到的实验数据,当CSTH在一个稳态时只流入冷水的热平衡方程为:

fcw=fout是稳态,Wst的计算如表1所示,试验中稳态的流量为2.04×10-5m3/s,流入的冷水温度为20°C,hcw=101k J/kg,ρcw=998 kg/m3,上述计算结果用于分段线性化查表,针对一个给定的蒸汽阀的开度给出一个蒸汽热度,数据表1可用于非稳态条件下模拟。先做如下假设:1)假定反应器混合完全,出口温度与内温度一致;2)假定由蒸汽阀开度确定的热传递量不依靠反应器内水的温度;3)假定在所有的蒸汽凝聚的情形下多余的蒸汽对反应物不造成影响。

1.4 传感器和开度阀的校准

输入CSTH的用于加热的蒸汽以及冷水阀输入量通过测量转变为4m A~20m A范围的电信号,输出的温度和液位测量值如表1所示。

冷水流量仪在4m A-20m A范围内,通过分段查表线性化得到校正模型,液位仪校准可转换反应器液位为输出量4m A-20m A的信号,而体积校准只是给出一个查表转换的等级。由于加热线圈占据了反应器底部的一定空间,当液位达到7cm时为加满状态,当液位比较低的时候,容积和液位的比值特性就会表现为非线性。冷水阀对应信号20m A时表示阀完全打开,4m A对应完全关闭,流量可通过当输出完全关闭时观察反应器通过已知水阀充满时所用的时间来计算,热水阀过大和校准超过12m A在实际应用中是不可能的,因为此时反应器会溢出和飞溅。冷水流量仪的校准在4m A~20m A范围内都是线性的,但是当阀全部打开测到的冷水流量的最大值会超出4m A~20m A的范围,这种校准的误差也会在CSTH的simulink仿真中体现出来。经阶跃测试,冷水阀的动力学模型为带有延时的一次时滞,延时为1s,阀的时间常数为3.5s,即阀门的传递函数为

这里的MV(s)为阀的开度,OP(s)为阀需求信号对应的开环控制器输出。

1.3节中设定了反应釜内液位和通过输出管道流量的关系:

表达式中的参数m和c取决于校正中最佳直线的斜率和纵坐标截距,它给出的是fout依据的构造量,这里的x是反应器中的液位(单位cm),实验方法选用了闭环控制。

2 仿真

2.1 仿真平台

CSTH模型方程的数值解需要基于方程的仿真器,因此本文中在Simulink中做了仿真。

2.2 输入和输出

模拟输入输出采用4m A~20m A的电信号表征,输入量为CW,蒸汽阀需求量为HW,输出来自液位测量、冷水和热水流量及温度测量的值,仿真的目的在于确定规定时变或稳定输入下的输出动态响应。通过查表将4m A~20m A的信号量CW和HW转换为fcw和fhw(单位m3/s),蒸汽阀需求量转换为蒸汽焓的流速(单位k J/s),输出量的校准也通过查表转化,水流速率、温度均为4-20m A的值。

2.3 加热和体积平衡

容积平衡变换为体积的冷水进入量的当前值,液位和出口流量综和为式(1),体积和出口流量成为带有蒸汽阀设定和冷水进入量的热平衡模型的输入,热平衡模型综和为式(2),当温度已由式(3)结合查询水的热力学性质分段线性表确定。

2.4 控制器构建

控制系统直接采用提供的输入输出量应用Simulink构造了闭环控制模型。过程控制标准形式的比例-积分控制器如下:

其中Kc是控制器增益,τis是积分时间,PI控制器通过Simulink提供,相比之下,需要控制和积分器增益规范如下:

其中P=Kc,I=Kc/τis。

3 线性化

3.1 工作标准

多数文献的仿真实例提到了状态空间模型或者由矩阵表示的传递函数[4~6],这些形式使得搅拌加热器线性化模型可以更容易的应用到多变量控制设计和分析中,现假定有两个线性化的工作点,一个是只带有冷水流入的搅拌器加热模型,另一个是冷水和热水流入都包括的情形。每一种情形下,稳态时阀的位置和仪器条件由表2给出,线性模型中的变量离操作点略有偏差,冷水阀当温度测量延时为8s时会有1s的延时。

3.2 工作点1

3.2.1 开环状态空间模型

状态空间模型为:

这里u1是冷水阀位置,u2为蒸汽阀位置,y1为液位测量值,y2为冷水流量测量值,y3为温度测量量,x1为反应釜体积,Eq(1)输出积分,x2为Eq(4)阀门传递函数输出积分,x3为反应釜全部焓,Eq(2)输出焓积分。

3.2.2 开环传递函数模型

下列形式传递函数模型的U(s)和Y(s)是输入输出变量的Laplace变换向量:

其中:

3.3 工作点2

3.3.1 开环状态空间模型

状态空间模型为:

这里u1是冷水阀位置,u2为蒸汽阀位置,u3为热水阀位置,y1是液位值,y2是冷水流量测量值,y3为温度测量值,x1为反应釜体积,Eq(1)输出积分,x2为阀门传递函数Eq(1)输出,x3为反应釜全部焓,Eq(2)输出焓积分。

3.3.2 开环传递函数模型

其中:

3.4 直接线性化的传递函数模型

4 扰动测试

实验过程的扰动包含了一个确定的振荡扰动的冷水流量速率扰动,一个液位的随机扰动,以及温度测量时混杂的噪声。

4.1 冷水流量扰动

实验设备冷水流量包含一个确定的来自于设备其他地方的周期约为40s的振荡扰动,这个扰动通过测量冷水流经冷水阀时在4m A~20m A范围内中点处被捕获。实验中反应器的出口阀需完全打开,即排空反应器,部分扰动如图2(a)所示,可以反映出振荡的性质。

4.2 气泡引起的液位扰动

实验时由于操作会对反应器内充入压缩空气,这是产生气泡从而扰动反应器内液位的原因,当进、出口阀均关闭且反应器内充满一半时,气泡扰动会在液位仪输出时监测到,该扰动的性质是随机的。

4.3 温度测量噪声

在反应器内充满一半时在温度闭环控制下监测温度测量噪声,会获得高频分量和一些中段低频波动。

4.4 带有扰动的仿真

在上述仿真中加入如下的扰动:

冷水流量扰动dc w加在冷水阀位置mvd(t)=mv(t)+dcw,这里mv是阀传递函数的时域输出。

液位扰动xd变为:

温度噪声转变为dT,热平衡噪声温度测量Td下的温度计算,H可通过Eq(3)和查表得到水的热力学性质:

5 结束语

本文已对测量仪器、制动器和操作过程的非线性给出了较为详细的描述,得出的线性状态空间和传递函数模型可用于线性多变量控制器设计和其他活动的近似线性,得出的模型和实验数据均具有实际操作性,可在进一步的系统辨识工作中根据具体情况加以改进或直接应用。

参考文献

[1]D.Chen,D.E.Seborg,Relative gain array analysis for uncer-tain process models,AIChE Journal,2008,48:302–310.

[2]R.Chen,K.Dave,T.J.McAvoy,M.Luyben,A non-linear dyna-mic model of a vinyl acetate process,Industrial and Engineering Chemistry Research,2003,42:4478–4487.

[3]R.Dixon,A.W.Pike,Alstom benchmark challenge II on gasifier control,IEE Proceedings-Control Theory and Applications 2006,153:254–261.

[4]李新卫.连续反应釜温度控制系统的设计与仿真[J].化工自动化及仪表,2010,37(11):19-22.

[5]A.Singhal,D.E.Seborg,Evaluation of a pattern matching method for the Tennessee Eastman challenge process,Journal of Process Control,2006,16:601–613.

非线性因果模型辨识方法 第6篇

因果模型的辨识在自然和社会科学( 包括经济学、心理学、 社会学和生物学) 中有着极为重要的应用,因为它可以用来对未来行为进行预测。对于观测数据为连续值的情况,通常可采用结构化方程模型SEM( Structural Equation Models) 或贝叶斯网络BN( Bayesian Networks) 方法进行求解[1]。然而,这一类的方法都假设了因果模型的结构是已知的,仅需要求解模型的参数, 而现实情况是,这些假设往往是无法得知的。研究表明,在模型的结构不能确定的情况下,也可以辨识整个模型结构。但是,这类方法在没有先验知识的前提下仅使用数据的协方差往往只能判定模型的部分结构,其中因果序列和连接权值则无法确定。 最近,Shimizu提出[2],针对线性因果模型,如果观测数据满足非高斯分布,可以使用基于独立成分分析ICA( Independent Component Analysis) 的方法推断模型的因果结构,包括因果序列以及连接权值。

文献[12]针对小样本数据通过计算观测变量虚列的熵辨识系统模型,文献[13]将问题分解为子问题并利用递归方法求解、以提高算法的精确度,文献[14]从观测序列直接估算变量顺序、并针对稀疏结构提高算法精度,文献[16 - 18]介绍了含有隐含变量的模型估计方法。上述算法都是针对线性因果模型,而事实上在很多情况下这一条件并不能满足。近来,也有一些针对非线性因果模型的算法,文献[4]利用系统噪声辨识模型,文献[5]针对后非线性模型介绍了一种两步骤的辨识方法, 文献[15]利用似然函数的一阶近似判断模型的因果方向,文献 [19]解决了含隐变量的模型辨识问题。本文考虑一个更为通用的非线性因果模型,对于两变量的情况,提出一种非线性成对独立性测试方法,用以判断两个变量间的因果方向 ( 因果关系) 。对于多个变量的情形,通常的做法是采用贪婪算法来搜索因果关系,但是这种算法面临两个突出的问题: 一是变量较多时测量变量间互独立性很困难; 二是随着变量数目的增加,模型对应的可能的有向无环图DAG( directed acyclic graph) 的数目增长速度过快。因此这种方法只适合于变量数目不太多的情况 ( 一般在5以下) 。本文提出一种两步骤的算法可以很好地解决这一问题。首先,利用基于特征选择的算法,如RFE( Recursive Feature Elimination )[6]、TC ( Total Conditioning)[7]等生成DAG的对应d分离等价类[7]; 接着,使用两变量情况下的非线性成对独立性测试方法为图中无向边标注因果方向。

1非线性因果模型

本文中,假设非线性因果模型具有以下性质:

1) 观测变量为xi,i = { 1…n} ,可以排列成一个因果序列。 所谓因果序列是指原因必定在先,结果必定在后的序列。即,xj可以由xi( i < j) 完全决定,且不依赖于xl( l > j) ,此因果序列用ki表示。这样的变量可以用递归的方式生成,每一个模型都可以表示成一个DAG。

2系统辨识方法

3. 1两变量的辨识方法

给定两个观测变量x1和x2,假设其满足非高斯分布,并且具有零均值和单位方差,可使用如下方法判定两变量之间的因果关系。如果两变量之间的关系为x → y,则y = f( x) + d,其中f为非线性函数,d为噪声且独立于x。反之,如果关系为y → x,则x = g( y) + e,其中g为非线性函数,e为噪声且独立于y 。Zhang等人采用极小化互信息的方法判定因果方向[3],但计算量偏大。Hyvarinen针对线性模型给出了更为简便的成对独立性判断计算方法[8],本文将对文献[8]中提出的算法加以改进,扩展为非线性模型处理。

针对线性情况,假设两变量的关系为x → y,即有如下关系: y = ρx + d,其中d为噪声且独立于x ,其似然函数为[8]:

式中,Gx( u) = logpx( u) ,Gd为标准对数概率密度函数,ρ 为线性回归系数。

当两个变量之间为非线性关系时,其似然函数变为:

式中,σd为剩余量方差,Gd,Gx的含义与线性情况下的相同,接着可以计算似然率:

然后,通过计算R来判定变量间的因果方向,如果R为正数,则变量间关系为x → y,否则为y → x 。

式中,E代表变量的样本均值,因此log E{ |·| } 实际表示的是相对于平均值差的绝对值。

2. 2多变量( 多于两变量) 的辨识方法

当变量数目较多( 大于2) 时,对因果模型的辨识则要困难许多。一般的做法是采取暴力穷举法,搜索所有的可能: 对每一个可能的因果模型,都对应于一个DAG,先使用非线性ICA方法计算对应的噪声项,然后使用统计独立性测试方法计算对应噪声项的互独立性[10],从而判断该结构是否合理,并作出接受或拒绝的判断。这种方法只有在结构模型规模不大,即变量数目较少时才可行。当DAG中变量数目较多时,会呈现两个问题: 一是计算变量间的互独立性运算量很大; 二是模型对应可能的DAG的数目呈指数级上升。因此蛮力穷举法必然导致极大的计算负载。

本文介绍一种更有效的方法用于辨识多变量非线性因果模型。算法分为两个步骤: 第一步,使用特征选择方法寻找DAG的d分离等价类; 第二步,对于d分离等价类中每种可能的DAG模型,使用2. 1节中介绍的非线性成对独立性测试方法判别变量之间的因果方向,这样可以避免了穷举法带来的巨大计算量。算法步骤如下:

算法1非线性因果模型辨识算法

在算法1第3行中R的计算可采用式( 3) 或式( 4) 进行,第1行中的Construct Equivalent Class函数用于构建DAG对应的d分离等价类,一般使用通用的特征选择的方法[7],其效率要比传统的基于独立性测试的方法更高。具体算法步骤如下:

算法2构建d分离等价类算法

算法2的第5行中Mb( X) 表示变量X的Markov包[7],在Markov包中包含了X的双亲节点、子节点以及子节点的双亲节点( 即配偶节点) 。在步骤1中,使用特征选择算法来搜索所有变量的Markov包,形成端正图[7]。算法第2行的特征选择算法可以使用RFE[6]、TC或TCBW( Total Conditioning Backward Feature-Selection) 算法[7]。RFE算法使用支持向 量机方法 搜索Markov包; TC是一种快速算法,并被证明在多元高斯假设下是正确的; TCbw是对TC方法的改进,在小样本情况下能提高预测的准确性。在步骤2中,任务是要删除假边,即配偶节点间的边,并尽可能标注无向图中边的方向,可使用GS( Grow-Shrink) 算法[11]或CS( Sets-based) 算法[7]。步骤3对DAG中无向边尽可能标注方向,以形成最大限度标注边的方向的部分有向无环图( PDAG,partially DAG) ,其算法在文献[7]中有详细说明。

3模拟数据实验

本文通过人工合成模拟数据进行两个实验,实验1用于测试算法的性能,实验2用于验证算法的有效性。在测试中,总是尽量假设复杂条件,即观测样本数目不大,且放宽了对噪声变量非高斯性的假设,计算机的基本配置为Intel酷睿i5四核,主频2. 4 GHz,内存4 GB,实验环境为Windows 7,Matlab 2009。

3. 1算法性能对比实验

采用如下非线性模型生成数据: y = αtanh( x) xβ+ e,其中x和e都符合标准高斯分布,α 的值是[0. 8,1. 2]之间的随机数,指数 β 随机分布在[0. 5,1. 5]之间,观测变量样本数分别为200,300和500。

在测试过程中,分别使用式( 3) 和式( 4) 来进行成对独立性测试,并和Zhang[3]以及Hoyer[4]的方法进行对比。

实验结果如图1所示,本文提出的两种基于似然度的计算方法,对应于式( 3) 和式( 4) ,在图中分别记为na1和na2。文献 [3]使用非线性ICA模型,最小化变量的互信息进行独立性测试,该算法图中记为zhang,文献[4]中使用非线性回归,然后测试变量间互独立性,该算法图中记为hoyer。从图1中可看出, 本文的两种算法na1和na2性能均优于其他方法,尤其是在样本数较小时,优势更为突出。从图2可以观察发现na1和na2算法的运行时间比zhang和hoyer算法更短,当样本数目增大时,这种差别更为明显,当样本数达到500时,na1和na2算法运行时间仅为hoyer算法的1 /10左右。

3. 2算法有效性实验

数据生成的过程模型如图3所示,该模型包含了7个观测变量 ( x1,x2,…,x7) ,噪声( e1,e2,…,e7) 的概率密度函数随机生成且相互独立,变量间边的连接既有线性关系也有非线性关系,观测样本数目为1000。

首先使用TC算法为每个变量构建Markov包,并据此生成端正图,如图4( a) 所示。然后,使用CS算法检测出边 ( x2,x3) 和( x5,x6) 是配偶连接,节点x4,x7是碰撞点[7]。接着,为图中的边尽可能标注方向,形成PDAG,如图4( b) 所示。接下来,需要使用式( 3) 或式( 4) 判定边 ( x1,x3) 和( x3,x6) 的方向,最终得到的因果模型如图4( c) 所示,这与图3中的生成模型结果是一致的,这表明算法是有效的。

4真实数据实验

为了验证算法在真实数据上运行的有效性和准确度,使用国际通用的因果关系测试数据集Baye Network Repository中的Insurance标准样本数据进行测试。Insurance网络包含了个56节点( 观测变量) 和66条边,是用来预测科罗拉多州东北部严重夏季冰雹的系统。

在实验中,观测样本数据集大小分别为300、500、800、1200、 1800和3000,分别使用四种不同算法进行测试。图5 ( a) 表明DAG中多余边的数目随着样本数目的增大呈现下降趋势。图5 ( c) 中反向边的条数随着样本数增大并未呈稳定下降趋势,尤其在na2算法中更明显,其原因是在样本数较少时,图中缺失边的条数较多,故而na2算法标注反向边的可能性也较小,而当样本数上升,缺失边越来越少,因此标注反向边的可能性随之增多。从图5( d) 可以明显看出na1和na2算法得出的DAG中错误边的总数较少,较其他算法性能更好。

5结语

滞回非线性模型研究现状 第7篇

滞回非线性是很常见的系统非线性特性, 常用于描述位移或应力和应变力、材料的力和速度之间的滞后关系。在振动利用工程中具有广泛的实际应用背景[1]。

非线性系统的滞回模型种类很多, 大致可以分为分段直线型滞回模型和曲线型滞回模型两大类, 下面对这两种类型中常用的模型作简单介绍。

1 分段直线滞回模型

1.1 干摩擦理想模型

Den Hartog[2,3]在1931年按能量耗散相等原则用等效黏性阻尼力替代干摩擦力, 发展成了等效线性化方法, 同时提出了最简单的滞回非线性的模型—干摩擦理想模型, 其表达式为

干摩擦力与速度、位移的关系可用图1表示。干摩擦力方向与速度方向相反, 为一个常数, 图中的矩形面积就是一个振动周期内的能量损耗。C.W.Stammers对半主动干摩擦系统的振动控制进行了研究, 干摩擦力在质量控制中的应用取代了只能作用于相反方向的弹性力。干摩擦阻尼器可以用来模拟黏性阻尼器[4]。王华中等[5]以理想的干摩擦模型为基础, 对摩擦力的分布情况进行了分析, 得出了摩擦力方向判断及大小计算的方法。

1.2 双线性模型

Iwan WD于1961年在干摩擦模型的基础上, 提出了双线性模型[6], 其数学表达式为

滞后曲线可分解弹性和迟滞两部分, 如图2所示。这个模型可以描述系统干摩擦时的情况, 能够对滞回回线进行较好的近似。具有简单的表现形式、少量的物理参数识别、明确的物理意义等特点。

胡海岩[7]提出的记忆力模型, 是通过实验对双线性模型进行了改进, 此模型的提出, 为非线性隔振器的研究提供了方便。R.Y.Tan[8]提出了一个验证算法来研究铅橡胶基座高速公路桥隔振系统的动态特性。用线性模型来表示底座构造, 用双线性滞回模型表示支承体系, 并且通过一个数值实例说明了验证过程和算法的可行性。白鸿柏等运用Floquet理论解决了滞回非线性系统周期解的稳定性分析问题[9,10]。

1.3 Caughy双线性模型

Caughy[11]于1960年提出了最早的最简单的对称的双线性滞回模型, 其中系统的力—位移曲线由线段组成, 如图3所示。

2个线性弹簧及库仑阻尼组合成了它的物理系统, 此模型可用来研究振动压实过程中的不对称滞回模型。

1.4 Neilsen退化双线型模型

Neilsen提出的退化双线模型常用于钢材, 如图4所示。图中的数字表示不同的作用力下的路线变化。

其中卸载曲线的斜率Ky表达式为

式中:xy为正负加载的屈服变形的绝对值;K为在变形x<xy时, 正负加载或卸载的直线的斜率;xmax为当x>xy时曾经到达的变形绝对值的最大值;α为刚度退化指数, 当α=0时, Neilson模型转化为Caughy双线模型。

2.5 Clough退化双线型模型

这个滞回曲线模型的提出, 主要是为了研究钢筋混凝土构件, 如图5所示。图5中数字与图4中的具有相同意义, 退化刚度按照最近一次反向变形的最远点来计算, 例如路线7的斜率由J、C两点坐标计算如下:

2 曲线滞回模型

2.1 Davidenkov模型

Davidenkov[12]于1939年提出了双参数模型, 其数学表达式为

式中:K为滞后环的线性刚度;x为相对位移;n和η为滞后环系数, 由实验确定。滞后曲线如图6所示。杨绍普[13]利用此模型提出了转迁极限点的概念;金栋平等[14]在Davidenkov模型的基础上, 描述了材料的滞回非线性特性。通过多尺度法和奇点理论得到了此类系统的新的动态特性;陈恩利等[15]对两系非线性悬挂车辆的运行稳定性与分岔进行了研究, 建立了以Davidenkov模型为基础的动微分方程, 为车辆设计和参数选取提供了依据;项伟等[16]结合对土体动力学特性广泛适用性的基于等效黏弹性理论的修正Davidenkov模型, 提出用于求取最大动剪切模量并得到本构方程中所需系数, 对该模型中的3个参量多元回归和对最大动剪切模量自适应逼近迭代的反分析算法。荣棉水等[17,18]利用此模型对渤海海域软表层土非线性动力本构关系进行了一系列研究。

2.2 Bouc-Wen模型

由Bouc[11]于1967年提出, Wen等[19]于1976年进一步发展得到了被称作一阶非线性微分方程模型的BoucWen模型, 如图7, 其表达式为

式中:Z为滞后恢复力;x为相对位移;为相对速度;α、β、γ、n为参数。

通过对具有滞回非线性恢复力的系统进行研究, Bouc[20]于1967年介绍了一种沿用至今的简单的光滑滞回模型, 它是通过微分方程来进行控制的。1976年Wen[11,21]改进了Bouc-Wen模型, 其表达式为

式中:x为位移, 为速度, x咬为加速度, ζ为阻尼系数, γ为刚度系数, ω为频率, z为滞回非线性恢复力, 主要受响应幅值、结构特性和材料特性的影响;u (t) 为外界激励。

式中:为Z的导数, 表示滞回力变化速度的快慢;α、β、γ、n为常数。

式 (8) 可以表示一般曲线滞回非线性模型。α、β、γ决定滞回曲线的大小和形状, 常数n决定曲线的光滑程度。调节这些系数, 取α=1.0, β=0和γ=1.0, 所得到的滞回恢复力系统具有不同的特性, 如图8所示。其中:图8 (a) ~ (e) 中α<0, β≥0;图8 (f) ~ (j) 中α>0, β<0。

由图8可知Brouc-Wen模型的光滑滞回曲线特点:

1) 当α>0, β≥0时, 系统的恢复力与位移绝对值成反比, 即具有软特性;当α>0, β<0时, 系统的恢复力随着位移绝对值成正比, 即具有硬特性。

2) 系统滞回恢复力曲线包含的面积、曲线形状和系统在振动过程中消耗的能量与α/β比值成正比。

目前, 该模型主要用于对土木结构、机械系统的地震随机响应分析和磁流变阻尼力分析。严天宏等[22]在BoucWen模型的基础上, 提出了一个基于轨道结构主动控制的用于非线性滞回隔振系统的改进瞬时主动控制算法, 此算法使控制系统的评估更简单明了, 最后运用数字仿真证明了算法的可行性。鲁丽雪等[23]讨论了动态BoucWen模型的应用条件和滞回环上模型参数的影响, 得到了Bouc-Wen动态模型的增益耗散函数表达式, 分析了筑坝土石的能量耗散原理, 对进一步认识土体动应力-应变特性有一定意义。Spencer[24]在Bouc-Wen模型的基础上提出了一个新的能够有效地描述典型磁流变减振器特性的模型, 此模型在很大范围的操作条件下都能保证精确度, 同时适用于控制设计和分析;关新春等[25]分析了磁流变耗能器阻尼力和它的一般模型的特性, 建立了阻尼力的改进Bouc-Wen模型并确定了模型参数, 为磁流变耗能器在结构控制领域的应用提供了基础;王贞艳等[26]提出了一个针对压电致动器的基于Bouc-Wen滞回非线性特性的Hammerstein率相关模型, 建立了一个基于BoucWen模型的滞回补偿器, 并且将其与被控对象串联起来, 使系统线性化。

2.3 迹法模型

1987年Badrakhan[27,28]提出了迹法模型, 其滞后恢复力的表达式为

模型示意图如图9所示。迹法模型具有平均和等效原则, 形式简单, 振幅和频率的改变会导致其恢复力的变化, 易于根据实验数据进行拟合。根据不同的阶次和参数, 可得到不同的形状, 有较为广泛的使用范围。

L.M.Tinker[29]利用迹法模型对建立在螺旋光电隔振器上的钢丝绳隔振系统的动态特性进行了研究, 提出了一个包含非线性刚度、加速度阻尼和可变库仑摩擦阻尼的半经验方程, 并对实验数据进行比较。潘东等[30]在迹法模型的基础上提出了一个用新的参数来描述线性阻尼和干摩擦混合阻尼特性的模型, 并通过参数辨识来证明此模型能够有效地描述混合型阻尼滞回非线性特性。王轲等[31]通过实验在利用迹法模型建模过程中首先引入了最大位移变形, 然后根据恢复力和位移变形之间先后达到最大位移变形的不同的本构关系, 得到滑移极限等模型参数, 并证明整个识别过程是可行的。龚宪生[32,33]利用迹法模型对以钢丝绳为基本元件的联轴器和增强泡沫塑料隔振器的建模和参数识别进行研究, 并提出了多种以试验数据为基础的数学模型。赵荣国[34]基于迹法模型提出了一个新的非线性隔振系统动力学模型, 并且推导出了它的理论表达式。此模型由非线性刚度和非线性滞回阻尼原理构成, 将非线性滞回阻尼力表示为位移的函数, 这使数字计算更加简便, 减少了测量工作量。

另外, 杨绍普等[35]提出了新的迹法模型, 他用位移和速度的立方对系统的滞回非线性特性进行模拟, 其表达式为

式中:x为相对位移;x觶为相对速度;k1、k2、c1、c2为参数, 由实验数据拟合。

其滞后回线如图10所示。杨绍普[35]运用此模型研究了一个基于均值法的多频激励滞回非线性系统组合共振, 提出了组合共振系统参数的影响。李韶华[36,37]利用这种模型研究了具有滞后非线性的汽车悬架在发生路面多频正弦激励下的受迫振动时的混沌运动, 得到从准周期运动到混沌运动的轨迹。周艳国等[38]针对金属橡胶动力学特性提出了三个非线性模型, 其中精确推导出了两种形式的迹法模型和记忆力模型, 为金属橡胶隔振器的建模和参数识别提供了一种实际有效的方法。

3 结论

圆柱形非线性水箱模型 第8篇

各符号表述如下:

Qi (t) ——入口流量;Q0 (t) ——出口流量;H (t) ——液位高度;Ku——入口流量系数;α——出口流量系数

非线性水箱与线性模型相比横截面积A为可变量, 且与液位H (t) 有关。由图1可知:

单位时间内进入水箱的物料减去单位时间内从水箱流出的物料等于水箱中物料存储量的变化率, 得:

将 (1) 代入 (2) , 可得:

进一步得:

2 非线性水箱OPC模型的实现

类的定义如下:

3 算法实现

4 测试

为了验证组态王仿真结果的是否正确, 可以比较模型在Matlab中的结果响应曲线, 比如阶跃从10%变化到50%, 观察响应曲线如下:

非线性水箱在Matlab中进行仿真, 得到的响应曲线如下:

可以看出, 曲线是相近程度较高, 误差较小, 甚至可以忽略, 从而验证的系统实现的正确性和可靠性。

5 总结

针对A3000过程控制实验系统, 主要研究和实现了基于组态王的过程控制仿真实验系统, 在了解过程控制实验装置的内容、控制方案的要求基础之上, 实现了圆柱形非线性水箱模型, 并以OPCserver形式实现了所开发的模型。利用组态王的OPC接口实现了对所开发模型对象的控制和上位机监控功能的开发, 从而实现了过程仿真实验系统, 并经过实际运行测试, 同时利用MATLAB软件对所建模型对象进行PID控制仿真, 与组态王所得曲线进行比较, 验证了所得组态王曲线的正确性。

摘要：本文主要研究和实现基于组态王的过程控制仿真实验系统。通过系统主要研究组态王的软件组态技术, 尤其是组态王的OPC组态技术模拟工业控制中的应用;在了解过程控制实验装置的内容、控制方案的要求基础之上, 开发圆柱形非线性水箱模型, 并以OPCserver形式实现了所开发的模型。利用组态王的OPC接口实现了对所开发模型对象的控制和上位机监控功能的开发, 从而实现了过程仿真实验系统。