高考复习 数形结合思想（精选6篇）
高考复习 数形结合思想 第1篇
数形结合
定义：数形结合是一个数学思想方法，包含“以形助数”和“以数辅形”两个方面。
应用：大致可以分为两种情形：或者是借助形的生动和直观性来阐明数之间的联系，即以形作为手段，数为目的，比如应用函数的图像来直观地说明函数的性质；或者是借助于数的精确性和规范严密性来阐明形的某些属性，即以数作为手段，形作为目的，如应用曲线的方程来精确地阐明曲线的几何性质。Ⅰ、再现题组：
1.设命题甲：0 B.必要非充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 2.若loga2 D.b>a>1 π23.如果|x|≤4,那么函数f(x)＝cosx＋sinx的最小值是_____。(89年全国文)A.212112B.－2 C.－1 D.2 4.如果奇函数f(x)在区间[3,7]上是增函数且最小值是5，那么f(x)的[-7,-3]上是____。(91年全国)A.增函数且最小值为－5 B.增函数且最大值为－5 C.减函数且最小值为－5 D.减函数且最大值为－5 y35.设全集I＝{(x,y)|x,y∈R}，集合M＝{(x,y)| x2＝1}，N＝{(x,y)|y≠x＋1}，那么M∪N等于_____。 (90年全国)A.φ B.{(2,3)} C.(2,3) D.{(x,y)|y＝x＋1 θθθ6.如果θ是第二象限的角，且满足cos2－sin2＝1sinθ,那么2是_____。 A.第一象限角 B.第三象限角 C.可能第一象限角，也可能第三象限角 D.第二象限角 7.已知集合E＝{θ|cosθ 3π3π5πππ3πA.(2,π) B.(4,4) C.(π, 2) D.(4,4) 5π8.若复数z的辐角为6，实部为－23，则z＝_____。 A.－23－2ｉ B.－23＋2ｉ C.－23＋23ｉ D.－23－23ｉ y229.如果实数x、y满足等式(x－2)＋y＝3，那么x的最大值是_____。 (90年全国理)133A.B.3C.2 D.10.满足方程|z＋3－3ｉ|＝3的辐角主值最小的复数z是_____。 【注】 以上各题是历年的高考客观题，都可以借助几何直观性来处理与数有关的问题，即借助数轴（①题）、图像（②、③、④、⑤题）、单位圆（⑥、⑦题）、复平面（⑧、⑩题）、方程曲线（⑨题）。Ⅱ、示范性题组： 例1.若方程lg(－x＋3x－m)＝lg(3－x)在x∈(0,3)内有唯一解，求实数m的取值范围。2z1例2.设|z1|＝5，|z2|＝2, |z1－z2|＝13，求z2的值。 pp例3.直线L的方程为：x＝－ 2(p>0),椭圆中心D(2＋2,0)，焦点在x轴上，长半轴为2，短半轴为1，它的左顶点为A。问p在什么范围内取值，椭圆上有四个不同的点，它们中每一个点到点A的距离等于该点到直线L的距离？ Ⅲ、巩固性题组： 1.已知5x＋12y＝60，则x2y2的最小值是_____。A.60 B.13 C.13 D.1 135122.已知集合P＝{(x,y)|y＝9x2}、Q＝{(x,y)|y＝x＋b}，若P∩Q≠φ，则b的取值范围是____。 A.|b|<3 B.|b|≤32 C.－3≤b≤32 D.－3 A.1 B.2 C.3 D.以上都不对 4.方程x＝10sinx的实根的个数是_______。 5.若不等式m>|x－1|＋|x＋1|的解集是非空数集，那么实数m的取值范围是_________。6.设z＝cosα＋1ｉ且|z|≤1,那么argz的取值范围是____________。 2x27.若方程x－3ax＋2a＝0的一个根小于1，而另一根大于1，则实数a的取值范围是______。 8.sin20°＋cos80°＋3sin20°·cos80°＝____________。22229.解不等式： x22x>b－x x2xa≤0的解集，试确定a、b10.设A＝{x|<1x<3}，又设B是关于x的不等式组2x2bx5≤02的取值范围，使得AB。（90年高考副题） 11.定义域内不等式2x〉x＋a恒成立，求实数a的取值范围。 12.已知函数y＝(x1)21＋(x5)29，求函数的最小值及此时x的值。13.已知z∈C，且|z|＝1，求|(z＋1)(z－ｉ)|的最大值。 14.若方程lg(kx)＝2lg(x＋1)只有一个实数解，求常数k的取值范围。 函数与方程思想是最重要的一种数学思想，高考中所占比重较大，综合知识多、题型多、应用技巧多.函数思想简单，即将所研究的问题借助建立函数关系式亦或构造中间函数，结合初等函数的图象与性质，加以分析、转化、解决有关求值、解（证）不等式、解方程以及讨论参数的取值范围等问题；方程思想即将问题中的数量关系运用数学语言转化为方程模型加以解决.●重点重点难点磁场 1.（★★★★★）关于x的不等式2•32x–3x+a2–a–3＞0，当0≤x≤1时恒成立，则实数a的取值范围为 .2.（★★★★★）对于函数f(x)，若存在x0∈R,使f(x0)=x0成立，则称x0为f(x)的不动点.已知函数f(x)=ax2+(b+1)x+(b–1)(a≠0)（1）若a=1,b=–2时，求f(x)的不动点； （2）若对任意实数b，函数f(x)恒有两个相异的不动点，求a的取值范围； （3）在（2）的条件下，若y=f(x)图象上A、B两点的横坐标是函数f(x)的不动点，且A、B关于直线y=kx+ 对称，求b的最小值.●案例探究 ［例1］已知函数f(x)=logm (1)若f(x)的定义域为［α，β］，（β＞α＞0），判断f(x)在定义域上的增减性，并加以说明； (2)当0＜m＜1时，使f(x)的值域为［logm［m(β–1)］，logm［m(α–1)］］的定义域区间为［α,β］(β＞α＞0)是否存在？请说明理由.命题意图：本题重在考查函数的性质，方程思想的应用.属★★★★级题目.知识依托：函数单调性的定义判断法；单调性的应用；方程根的分布；解不等式组.错解分析：第(1)问中考生易忽视“α＞3”这一关键隐性条件；第(2)问中转化出的方程，不能认清其根的实质特点，为两大于3的根.技巧与方法：本题巧就巧在采用了等价转化的方法，借助函数方程思想，巧妙解题.解：（1）x＜–3或x＞3.∵f(x)定义域为［α,β］,∴α＞3 设β≥x1＞x2≥α，有 当0＜m＜1时，f(x)为减函数，当m＞1时，f(x)为增函数.（2）若f(x)在［α,β］上的值域为［logmm(β–1),logmm(α–1)］ ∵0＜m＜1, f(x)为减函数.∴ 即 即α,β为方程mx2+(2m–1)x–3(m–1)=0的大于3的两个根 ∴ ∴0＜m＜ 故当0＜m＜ 时，满足题意条件的m存在.［例2］已知函数f(x)=x2–(m+1)x+m(m∈R)(1)若tanA,tanB是方程f(x)+4=0的两个实根，A、B是锐角三角形ABC的两个内角.求证：m≥5;(2)对任意实数α,恒有f(2+cosα)≤0，证明m≥3;(3)在(2)的条件下，若函数f(sinα)的最大值是8，求m.-1-命题意图：本题考查函数、方程与三角函数的相互应用；不等式法求参数的范围.属 ★★★★★级题目.知识依托：一元二次方程的韦达定理、特定区间上正负号的充要条件，三角函数公式.错解分析：第(1)问中易漏掉Δ≥0和tan(A+B)＜0，第(2)问中如何保证f(x)在［1,3］恒小于等于零为关键.技巧与方法：深挖题意，做到题意条件都明确，隐性条件注意列.列式要周到，不遗漏.（1）证明：f(x)+4=0即x2–(m+1)x+m+4=0.依题意： 又A、B锐角为三角形内两内角 ∴ ＜A+B＜π ∴tan(A+B)＜0，即 ∴ ∴m≥5(2)证明：∵f(x)=(x–1)(x–m)又–1≤cosα≤1，∴1≤2+cosα≤3，恒有f(2+cosα)≤0 即1≤x≤3时，恒有f(x)≤0即(x–1)(x–m)≤0 ∴m≥x但xmax=3，∴m≥xmax=3(3)解：∵f(sinα)=sin2α–(m+1)sinα+m= 且 ≥2,∴当sinα=–1时，f(sinα)有最大值8.即1+(m+1)+m=8，∴m=3 ●锦囊妙计 函数与方程的思想是最重要的一种数学思想，要注意函数，方程与不等式之间的相互联系和转化.考生应做到： （1）深刻理解一般函数y=f(x)、y=f–1(x)的性质（单调性、奇偶性、周期性、最值和图象变换），熟练掌握基本初等函数的性质，这是应用函数思想解题的基础.（2）密切注意三个“二次”的相关问题，三个“二次”即一元二次函数、一元二次方程、一元二次不等式是中学数学的重要内容，具有丰富的内涵和密切的联系.掌握二次函数基本性质，二次方程实根分布条件，二次不等式的转化策略.●歼灭重点重点难点训练 一、选择题 1.（★★★★★）已知函数f(x)=loga［ –(2a)2］对任意x∈［ ,+∞］都有意义，则实数a的取值范围是（）A.(0，B.(0,) C.［ ,1 D.(,）2.（★★★★★）函数f(x)的定义域为R，且x≠1，已知f(x+1)为奇函数，当x＜1时，f(x)=2x2–x+1，那么当x＞1时，f(x)的递减区间是（）A.［，+∞ B.(1，C.［ ,+∞ D.(1, ］ 二、填空题 3.（★★★★）关于x的方程lg(ax–1)–lg(x–3)=1有解，则a的取值范围是 .4.（★★★★★）如果y=1–sin2x–mcosx的最小值为–4，则m的值为 .三、解答题 5.（★★★★）设集合A={x｜4x–2x+2+a=0,x∈R}.（1）若A中仅有一个元素，求实数a的取值集合B； （2）若对于任意a∈B，不等式x2–6x＜a(x–2)恒成立，求x的取值范围.6.（★★★★）已知二次函数f(x)=ax2+bx(a,b为常数，且a≠0)满足条件:f(x–1)=f(3–x)且-2-方程f(x)=2x有等根.（1）求f(x)的解析式； （2）是否存在实数m，n(m＜n＝，使f(x)定义域和值域分别为［m,n］和［4m,4n］，如果存在，求出m、n的值；如果不存在，说明理由.7.（★★★★★）已知函数f(x)=6x–6x2，设函数g1(x)=f(x), g2(x)=f［g1(x)］, g3(x)=f ［g2(x)］, „gn(x)=f［gn–1(x)］,„ （1）求证：如果存在一个实数x0，满足g1(x0)=x0，那么对一切n∈N，gn(x0)=x0都成立；（2）若实数x0满足gn(x0)=x0，则称x0为稳定不动点，试求出所有这些稳定不动点；（3）设区间A=（–∞,0）,对于任意x∈A，有g1(x)=f(x)=a＜0, g2(x)=f［g1(x)］=f(0)＜0，且n≥2时，gn(x)＜0.试问是否存在区间B（A∩B≠），对于区间内任意实数x，只要n≥2，都有gn(x)＜0.8.（★★★★）已知函数f(x)=(a＞0,x＞0).（1）求证:f(x)在(0,+∞)上是增函数； （2）若f(x)≤2x在(0,+∞)上恒成立，求a的取值范围； （3）若f(x)在［m,n］上的值域是［m,n］(m≠n)，求a的取值范围.参 考 答 案 ●重点重点难点磁场 1.解析：设t=3x，则t∈［1,3］，原不等式可化为a2–a–3＞–2t2+t,t∈［1,3］.等价于a2–a–3大于f(t)=–2t2+t在［1,3］上的最大值.答案：(–∞,–1)∪(2,+∞)2.解：（1）当a=1,b=–2时，f(x)=x2–x–3，由题意可知x=x2–x–3，得x1=–1,x2=3.故当a=1,b=–2时，f(x)的两个不动点为–1,3.（2）∵f(x)=ax2+(b+1)x+(b–1)(a≠0)恒有两个不动点，∴x=ax2+(b+1)x+(b–1)，即ax2+bx+(b–1)=0恒有两相异实根 ∴Δ=b2–4ab+4a＞0(b∈R)恒成立.于是Δ′=(4a)2–16a＜0解得0＜a＜1 故当b∈R，f(x)恒有两个相异的不动点时，0＜a＜1.（3）由题意A、B两点应在直线y=x上，设A(x1,x1),B(x2,x2)又∵A、B关于y=kx+ 对称.∴k=–1.设AB的中点为M(x′,y′)∵x1,x2是方程ax2+bx+(b–1)=0的两个根.∴x′=y′=，又点M在直线 上有，即 ∵a＞0，∴2a+ ≥2 当且仅当2a= 即a= ∈(0,1)时取等号，故b≥–，得b的最小值–.●歼灭重点重点难点训练 一、1.解析：考查函数y1= 和y2=(2a)x的图象，显然有0＜2a＜1.由题意 得a=，再结合指数函数图象性质可得答案.答案：A 2.解析：由题意可得f(–x+1)=–f(x+1).令t=–x+1，则x=1–t，故f(t)=–f(2–t)，即f(x)=–f(2–x).当x＞1,2–x＜1，于是有f(x)=–f(2–x)=–2(x–)2–，其递减区间为［，+∞).答案：C-3-3.解析：显然有x＞3，原方程可化为 故有(10–a)•x=29,必有10–a＞0得a＜10 又x= ＞3可得a＞.答案： ＜a＜10 4.解析：原式化为.当 ＜–1,ymin=1+m=–4 m=–5.当–1≤ ≤1,ymin= =–4 m=±4不符.当 ＞1，ymin=1–m=–4 m=5.答案：±5 二、5.解：(1)令2x=t(t＞0)，设f(t)=t2–4t+a.由f(t)=0在(0,+∞)有且仅有一根或两相等实根，则有 ①f(t)=0有两等根时，Δ=0 16–4a=0 a=4 验证：t2–4t+4=0 t=2∈(0,+∞)，这时x=1 ②f(t)=0有一正根和一负根时,f(0)＜0 a＜0 ③若f(0)=0，则a=0，此时4x–4•2x=0 2x=0（舍去），或2x=4,∴x=2，即A中只有一个元素 综上所述，a≤0或a=4，即B={a｜a≤0或a=4}（2）要使原不等式对任意a∈(–∞,0］∪｛4｝恒成立.即g(a)=(x–2)a–(x2–6x)＞0恒成立.只须 ＜x≤2 6.解：（1）∵方程ax2+bx=2x有等根，∴Δ=(b–2)2=0,得b=2.由f(x–1)=f(3–x)知此函数图象的对称轴方程为x=– =1得a=–1，故f(x)=–x2+2x.（2）f(x)=–(x–1)2+1≤1，∴4n≤1，即n≤ 而抛物线y=–x2+2x的对称轴为x=1 ∴n≤ 时，f(x)在［m,n］上为增函数.若满足题设条件的m,n存在，则 又m＜n≤ ,∴m=–2,n=0，这时定义域为［–2,0］，值域为［–8,0］.由以上知满足条件的m、n存在，m=–2,n=0.7.(1)证明：当n=1时，g1(x0)=x0显然成立； 设n=k时，有gk(x0)=x0(k∈N)成立，则gk+1(x0)=f［gk(x0)］=f(x0)=g1(x0)=x0 即n=k+1时，命题成立.∴对一切n∈N,若g1(x0)=x0，则gn(x0)=x0.（2）解：由（1）知，稳定不动点x0只需满足f(x0)=x0 由f(x0)=x0，得6x0–6x02=x0,∴x0=0或x0= ∴稳定不动点为0和.(3)解：∵f(x)＜0，得6x–6x2＜0 x＜0或x＞1.∴gn(x)＜0 f［gn–1(x)］＜0 gn–1(x)＜0或gn–1(x)＞1 要使一切n∈N,n≥2，都有gn(x)＜0，必须有g1(x)＜0或g1(x)＞1.由g1(x)＜0 6x–6x2＜0 x＜0或x＞1 由g1(x)＞0 6x–6x2＞1 故对于区间()和(1,+∞)内的任意实数x,只要n≥2,n∈N，都有gn(x)＜0.8.(1)证明：任取x1＞x2＞0,f(x1)–f(x2)= -4-∵x1＞x2＞0,∴x1x2＞0，x1–x2＞0, ∴f(x1)–f(x2)＞0，即f(x1)＞f(x2)，故f(x)在(0,+∞)上是增函数.（2）解：∵ ≤2x在(0,+∞)上恒成立，且a＞0, ∴a≥ 在（0，+∞）上恒成立，令（当且仅当2x= 即x= 时取等号），要使a≥ 在(0,+∞)上恒成立，则a≥.故a的取值范 围是［ ,+∞).(3)解：由（1）f(x)在定义域上是增函数.∴m=f(m),n=f(n)，即m2– m+1=0，n2– n+1=0 故方程x2– x+1=0有两个不相等的正根m，n，注意到m•n=1，故只需要Δ=()2–4＞0,由于a＞0，则0＜a＜.重点难点37 数形结合思想 数形结合思想在高考中占有非常重要的地位，其“数”与“形”结合，相互渗透，把代数式的精确刻划与几何图形的直观描述相结合，使代数问题、几何问题相互转化，使抽象思维和形象思维有机结合.应用数形结合思想，就是充分考查数学问题的条件和结论之间的内在联系，既分析其代数意义又揭示其几何意义，将数量关系和空间形式巧妙结合，来寻找解题思路，使问题得到解决.运用这一数学思想，要熟练掌握一些概念和运算的几何意义及常见曲线的代数特征.●重点难点磁场 1.曲线y=1+(–2≤x≤2)与直线y=r(x–2)+4有两个交点时，实数r的取值范围 .2.设f(x)=x2–2ax+2,当x∈［–1,+∞)时，f(x)＞a恒成立，求a的取值范围.●案例探究 ［例1］设A={x｜–2≤x≤a}，B={y｜y=2x+3，且x∈A}，C={z｜z=x2，且x∈A }，若C B，求实数a的取值范围.命题意图：本题借助数形结合，考查有关集合关系运算的题目.属★★★★级题目.知识依托：解决本题的关键是依靠一元二次函数在区间上的值域求法确定集合C.进而将C B用不等式这一数学语言加以转化.错解分析：考生在确定z=x2，x∈［–2,a］的值域是易出错，不能分类而论.巧妙观察图象将是上策.不能漏掉a＜–2这一种特殊情形.技巧与方法：解决集合问题首先看清元素究竟是什么，然后再把集合语言“翻译”为一般的数学语言，进而分析条件与结论特点，再将其转化为图形语言，利用数形结合的思想来解决.解：∵y=2x+3在［–2, a］上是增函数 ∴–1≤y≤2a+3，即B={y｜–1≤y≤2a+3} 作出z=x2的图象，该函数定义域右端点x=a有三种不同的位置情况如下： ①当–2≤a≤0时，a2≤z≤4即C={z｜z2≤z≤4} 要使C B,必须且只须2a+3≥4得a≥ 与–2≤a＜0矛盾.②当0≤a≤2时，0≤z≤4即C={z｜0≤z≤4}，要使C B，由图可知： 必须且只需 解得 ≤a≤2 ③当a＞2时，0≤z≤a2，即C={z｜0≤z≤a2}，要使C B必须且只需 -5-解得2＜a≤3 ④当a＜–2时，A= 此时B=C=，则C B成立.综上所述，a的取值范围是(–∞,–2)∪［ ,3］.［例2］已知acosα+bsinα=c, acosβ+bsinβ=c(ab≠0,α–β≠kπ, k∈Z)求证： .命题意图：本题主要考查数学代数式几何意义的转换能力.属★★★★★级题目.知识依托：解决此题的关键在于由条件式的结构联想到直线方程.进而由A、B两点坐标特点知其在单位圆上.错解分析：考生不易联想到条件式的几何意义，是为瓶颈之一.如何巧妙利用其几何意义是为瓶颈之二.技巧与方法：善于发现条件的几何意义，还要根据图形的性质分析清楚结论的几 何意义，这样才能巧用数形结合方法完成解题.证明:在平面直角坐标系中，点A（cosα,sinα）与点B（cosβ, sinβ）是直线l:ax+by=c与单位圆x2+y2=1的两个交点如图.从而：｜AB｜2=(cosα–cosβ)2+(sinα–sinβ)2 =2–2cos(α–β) 又∵单位圆的圆心到直线l的距离 由平面几何知识知｜OA｜2–(｜AB｜)2=d2即 ∴.●锦囊妙计 应用数形结合的思想，应注意以下数与形的转化：（1）集合的运算及韦恩图（2）函数及其图象 （3）数列通项及求和公式的函数特征及函数图象（4）方程（多指二元方程）及方程的曲线 以形助数常用的有：借助数轴；借助函数图象；借助单位圆；借助数式的结构特征；借助于解析几何方法.以数助形常用的有：借助于几何轨迹所遵循的数量关系；借助于运算结果与几何定理的结合.●歼灭重点难点训练 一、选择题 1.（★★★★）方程sin(x–)= x的实数解的个数是（）A.2 B.3 C.4 D.以上均不对 2.（★★★★★）已知f(x)=(x–a)(x–b)–2（其中a＜b，且α、β是方程f(x)=0的两根（α＜β，则实数a、b、α、β的大小关系为（）A.α＜a＜b＜β B.α＜a＜β＜b C.a＜α＜b＜β D.a＜α＜β＜b 二、填空题 3.（★★★★★）(4cosθ+3–2t)2+(3sinθ–1+2t)2，(θ、t为参数)的最大值是 .4.（★★★★★）已知集合A={x｜5–x≥ },B={x｜x2–ax≤x–a}，当A B时，则a的取值范围是 .三、解答题 -6-5.（★★★★）设关于x的方程sinx+ cosx+a=0在（0,π）内有相异解α、β.（1）求a的取值范围；（2）求tan(α+β)的值.6.（★★★★）设A={(x,y)｜y= ,a＞0}，B={(x,y)｜(x–1)2+(y–3)2=a2,a＞0},且A∩B≠，求a的最大值与最小值.7.（★★★★）已知A（1，1）为椭圆 =1内一点，F1为椭圆左焦点，P为椭圆上一动点.求｜PF1｜+｜PA｜的最大值和最小值.8.（★★★★★）把一个长、宽、高分别为25 cm、20 cm、5 cm的长方体木盒从一个正方形窗口穿过，那么正方形窗口的边长至少应为多少？ 参 考 答 案 ●重点难点磁场 1.解析：方程y=1+ 的曲线为半圆，y=r(x–2)+4为过（2，4）的直线.答案：（］ 2.解法一：由f(x)＞a，在［–1,+∞)上恒成立 x2–2ax+2–a＞0在［–1,+∞)上恒成立.考查函数g(x)=x2–2ax+2–a的图象在［–1,+∞］时位于x轴上方.如图两种情况： 不等式的成立条件是：(1)Δ=4a2–4(2–a)＜0 a∈(–2,1)(2)a∈(–3,–2，综上所述a∈(–3,1).解法二：由f(x)＞a x2+2＞a(2x+1)令y1=x2+2,y2=a(2x+1),在同一坐标系中作出两个函数的图象.如图满足条件的直线l位于l1与l2之间，而直线l1、l2对应的a值（即直线的斜率）分别为1，–3，故直线l对应的a∈(–3,1).●歼灭重点难点训练 一、1.解析：在同一坐标系内作出y1=sin(x–)与y2= x的图象如图.答案：B 2.解析：a,b是方程g(x)=(x–a)(x–b)=0的两根，在同一坐标系中作出函数f(x)、g(x)的图象如图所示： 答案：A 二、3.解析：联想到距离公式，两点坐标为A(4cosθ,3sinθ),B(2t–3,1–2t)点A的几何图形是椭圆，点B表示直线.考虑用点到直线的距离公式求解.答案： 4.解析：解得A={x｜x≥9或x≤3}，B={x｜(x–a)(x–1)≤0}，画数轴可得.答案：a＞3 三、5.解：①作出y=sin(x+)(x∈(0,π))及y=– 的图象，知当｜– ｜＜1且– ≠ 时，曲线与直线有两个交点，故a∈(–2,–)∪(– ,2).②把sinα+ cosα=–a,sinβ+ cosβ=–a相减得tan，故tan(α+β)=3.-7-6.解：∵集合A中的元素构成的图形是以原点O为圆心，a为半径的半圆；集合B中的元素是以点O′(1,)为圆心，a为半径的圆.如图所示 ∵A∩B≠，∴半圆O和圆O′有公共点.显然当半圆O和圆O′外切时，a最小 a+a=｜OO′｜=2,∴amin=2 –2 当半圆O与圆O′内切时，半圆O的半径最大，即 a最大.此时 a–a=｜OO′｜=2,∴amax=2 +2.7.解：由 可知a=3,b= ,c=2，左焦点F1(–2,0),右焦点F2(2,0).由椭圆定义，｜PF1｜=2a–｜PF2｜=6–｜PF2｜, ∴｜PF1｜+｜PA｜=6–｜PF2｜+｜PA｜=6+｜PA｜–｜PF2｜ 如图： 由｜｜PA｜–｜PF2｜｜≤｜AF2｜= 知 – ≤｜PA｜–｜PF2｜≤.当P在AF2延长线上的P2处时，取右“=”号； 当P在AF2的反向延长线的P1处时，取左“=”号.即｜PA｜–｜PF2｜的最大、最小值分别为，–.于是｜PF1｜+｜PA｜的最大值是6+ ,最小值是6–.8.解：本题实际上是求正方形窗口边长最小值.由于长方体各个面中宽和高所在的面的边长最小，所以应由这个面对称地穿过窗口才能使正方形窗口边长尽量地小.如图： 设AE=x,BE=y, 则有AE=AH=CF=CG=x，BE=BF=DG=DH=y ∴ ∴.高考数学重点难点突破 重点难点38 分类讨论思想.txt人永远不知道谁哪次不经意的跟你说了再见之后就真的再也不见了。一分钟有多长？这要看你是蹲在厕所里面，还是等在厕所外面„„ 重点难点38 分类讨论思想 分类讨论思想就是根据所研究对象的性质差异，分各种不同的情况予以分析解决.分类讨论题覆盖知识点较多，利于考查学生的知识面、分类思想和技巧；同时方式多样，具有较高的逻辑性及很强的综合性，树立分类讨论思想，应注重理解和掌握分类的原则、方法与技巧、做到“确定对象的全体，明确分类的标准，分层别类不重复、不遗漏的分析讨论.” ●重点难点磁场 1.（★★★★★）若函数在其定义域内有极值点，则a的取值为 .2.（★★★★★）设函数f(x)=x2+｜x-a｜+1，x∈R.(1)判断函数f(x)的奇偶性；(2)求函数f(x)的最小值.●案例探究 ［例1］已知{an}是首项为2，公比为的等比数列，Sn为它的前n项和.（1）用Sn表示Sn+1; （2）是否存在自然数c和k，使得成立.命题意图：本题主要考查等比数列、不等式知识以及探索和论证存在性问题的能力，属★★★★★级题目.知识依托：解决本题依据不等式的分析法转化，放缩、解简单的分式不等式；数列的基本性质.错解分析：第2问中不等式的等价转化为学生的易错点，不能确定出.技巧与方法：本题属于探索性题型，是高考试题的热点题型.在探讨第2问的解法时，采取优化结论的策略，并灵活运用分类讨论的思想：即对双参数k,c轮流分类讨论，从而获得答案.解：（1）由Sn=4(1-），得 ，(n∈N*) （2）要使，只要 因为 所以，(k∈N*) 故只要Sk-2＜c＜Sk，（k∈N*） 因为Sk+1＞Sk，(k∈N*) ① 所以Sk-2≥S1-2=1.又Sk＜4，故要使①成立，c只能取2或3.当c=2时，因为S1=2，所以当k=1时，c＜Sk不成立，从而①不成立.当k≥2时，因为，由Sk＜Sk+1(k∈N*)得 Sk-2＜Sk+1-2 故当k≥2时，Sk-2＞c，从而①不成立.当c=3时，因为S1=2，S2=3，所以当k=1，k=2时，c＜Sk不成立，从而①不成立 因为，又Sk-2＜Sk+1-2 所以当k≥3时，Sk-2＞c，从而①成立.综上所述，不存在自然数c,k,使成立.［例2］给出定点A（a,0)（a＞0）和直线l：x=-1，B是直线l上的动点，∠BOA的角平分线交AB于点C.求点C的轨迹方程，并讨论方程表示的曲线类型与a值的关系.命题意图：本题考查动点的轨迹，直线与圆锥曲线的基本知识，分类讨论的思想方法.综合性较强，解法较多，考查推理能力和综合运用解析几何知识解题的能力.属★★★★★级题目.知识依托：求动点轨迹的基本方法步骤.椭圆、双曲线、抛物线标准方程的基本特点.错解分析：本题易错点为考生不能巧妙借助题意条件，构建动点坐标应满足的关系式和分类讨论轨迹方程表示曲线类型.技巧与方法：精心思考，发散思维、多途径、多角度的由题设条件出发，探寻动点应满足的关系式.巧妙地利用角平分线的性质.解法一：依题意，记B（-1，b)，(b∈R），则直线OA和OB的方程分别为y=0和y=-bx.设点C(x,y)，则有0≤x＜a，由OC平分∠AOB，知点C到OA、OB距离相等.根据点到直线的距离公式得｜y｜= ① 依题设，点C在直线AB上，故有 由x-a≠0，得 ② 将②式代入①式，得y2［(1-a)x2-2ax+(1+a)y2］=0 若y≠0，则 (1-a)x2-2ax+(1+a)y2=0(0＜x＜a)若y=0则b=0,∠AOB=π，点C的坐标为（0，0）满足上式.综上，得点C的轨迹方程为 （1-a）x2-2ax+(1+a)y2=0(0＜x＜a(i)当a=1时，轨迹方程化为y2=x(0≤x＜1 ③ 此时方程③表示抛物线弧段；(ii)当a≠1，轨迹方程化为 ④ 所以当0＜a＜1时，方程④表示椭圆弧段； 当a＞1时，方程④表示双曲线一支的弧段.解法二：如图，设D是l与x轴的交点，过点C作CE⊥x轴，E是垂足.（i）当｜BD｜≠0时，设点C(x,y)，则0＜x＜a，y≠0 由CE∥BD，得.∵∠COA=∠COB=∠COD-∠BOD=π-∠COA-∠BOD ∴2∠COA=π-∠BOD ∴ ∵ ∴整理，得 (1-a)x2-2ax+(1+a)y2=0(0＜x＜a)(ii)当｜BD｜=0时，∠BOA=π，则点C的坐标为(0,0)，满足上式.综合(i)、(ii)，得点C的轨迹方程为(1-a)x2-2ax+(1+a)y2=0(0≤x＜a)以下同解法一.解法三：设C(x,y)、B(-1,b)，则BO的方程为y=-bx，直线AB的方程为 ∵当b≠0时，OC平分∠AOB，设∠AOC=θ，∴直线OC的斜率为k=tanθ,OC的方程为y=kx于是 又tan2θ=-b ∴-b= ① ∵C点在AB上 ∴ ② 由①、②消去b，得 ③ 又，代入③，有 整理，得(a-1)x2-(1+a)y2+2ax=0 ④ 当b=0时，即B点在x轴上时，C(0,0)满足上式： a≠1时，④式变为 当0＜a＜1时，④表示椭圆弧段； 当a＞1时，④表示双曲线一支的弧段； 当a=1时，④表示抛物线弧段.●锦囊妙计 分类讨论思想就是依据一定的标准，对问题分类、求解，要特别注意分类必须满足互斥、无漏、最简的原则.分类讨论常见的依据是： 1.由概念内涵分类.如绝对值、直线的斜率、指数对数函数、直线与平面的夹角等定义包含了分类.2.由公式条件分类.如等比数列的前n项和公式、极限的计算、圆锥曲线的统一定义中图形的分类等.3.由实际意义分类.如排列、组合、概率中较常见，但不明显、有些应用问题也需分类讨论.在学习中也要注意优化策略，有时利用转化策略，如反证法、补集法、变更多元法、数形结合法等简化甚至避开讨论.●歼灭重点难点训练 一、选择题 1.（★★★★）已知其中a∈R，则a的取值范围是（） A.a＜0 B.a＜2或a≠-2 C.-2＜a＜2 D.a＜-2或a＞2 2.（★★★★★）四面体的顶点和各棱的中点共10个点，在其中取4个不共面的点，不同的取法共有（） A.150种 B.147种 C.144种 D.141种 二、填空题 3.（★★★★）已知线段AB在平面α外，A、B两点到平面α的距离分别为1和3，则线段AB的中点到平面α的距离为 .4.（★★★★★）已知集合A={x｜x2-3x+2=0},B={x｜x2-ax+(a-1)=0}，C={x｜x2-mx+2=0}，且A∪B=A，A∩C=C，则a的值为，m的取值范围为 .三、解答题 5.（★★★★）已知集合A={x｜x2+px+q=0}，B={x｜qx2+px+1=0},A,B同时满足： ①A∩B≠,②A∩B={-2}.求p、q的值.6.（★★★★）已知直角坐标平面上点Q（2，0）和圆C：x2+y2=1，动点M到圆C的切线长与｜MQ｜的比等于常数λ(λ＞0).求动点M的轨迹方程，并说明它表示什么曲线.7.(★★★★★)已知函数y=f(x)的图象是自原点出发的一条折线.当n≤y≤n+1(n=0,1,2,...)时，该图象是斜率为bn的线段（其中正常数b≠1），设数列{xn}由f(xn)=n(n=1,2,...)定义.（1）求x1、x2和xn的表达式； （2）计算xn； （3）求f(x)的表达式，并写出其定义域.8.（★★★★★）已知a＞0时，函数f(x)=ax-bx2 （1）当b＞0时，若对任意x∈R都有f(x)≤1，证明a≤2b; （2）当b＞1时，证明：对任意x∈［0,1］,｜f(x)｜≤1的充要条件是b-1≤a≤2； （3）当0＜b≤1时，讨论：对任意x∈［0,1］,｜f(x)｜≤1的充要条件.-11- 参 考 答 案 ●重点难点磁场 1.解析：即f(x)=(a-1)x2+ax-=0有解.当a-1=0时，满足.当a-1≠0时，只需Δ=a2-(a-1)＞0.答案：或a=1 2.解：(1)当a=0时，函数f(-x)=(-x)2+｜-x｜+1=f(x)，此时f(x)为偶函数.当a≠0时，f(a)=a2+1,f(-a)=a2+2｜a｜+1.f(-a)≠f(a),f(-a)≠-f(a) 此时函数f(x)既不是奇函数，也不是偶函数.（2）①当x≤a时，函数f(x)=x2-x+a+1=(x-)2+a+ 若a≤，则函数f(x)在(-∞,a］上单调递减.从而函数f(x)在（-∞,a上的最小值为f(a)=a2+1 若a＞，则函数f(x)在（-∞,a上的最小值为f()=+a，且f()≤f(a).②当x≥a时，函数f(x)=x2+x-a+1=(x+)2-a+ 若a≤-，则函数f(x)在［a,+∞］上的最小值为f(-)=-a，且f(-)≤f(a)； 若a＞-，则函数f(x)在［a,+∞)单调递增.从而函数f(x)在［a,+∞］上的最小值为f(a)=a2+1.综上，当a≤-时，函数f(x)的最小值为-a； 当-＜a≤时，函数f(x)的最小值是a2+1； 当a＞时，函数f(x)的最小值是a+.●歼灭重点难点训练 一、1.解析：分a= 2、｜a｜＞2和｜a｜＜2三种情况分别验证.答案：C 2.解析：任取4个点共C=210种取法.四点共面的有三类：（1）每个面上有6个点，则有4×C=60种取共面的取法；（2）相比较的4个中点共3种；（3）一条棱上的3点与对棱的中点共6种.答案：C 二、3.解析：分线段AB两端点在平面同侧和异侧两种情况解决.答案：1或2 4.解析：A={1,2},B={x｜(x-1)(x-1+a)=0}，由A∪B=A可得1-a=1或1-a=2； 由A∩C=C，可知C={1}或.答案：2或3 3或（-2，2） 三、5.解：设x0∈A，x0是x02+px0+q=0的根.若x0=0，则A={-2,0}，从而p=2,q=0,B={-}.此时A∩B=与已知矛盾，故x0≠0.将方程x02+px0+q=0两边除以x02，得 .即满足B中的方程，故∈B.∵A∩={-2},则-2∈A,且-2∈.设A={-2,x0}，则B={}，且x0≠2（否则A∩B=）.若x0=-，则-2∈B,与-2B矛盾.又由A∩B≠,∴x0=，即x0=±1.-12- 即A={-2,1}或A={-2,-1}.故方程x2+px+q=0有两个不相等的实数根-2，1或-2，-1 ∴ 6.解：如图，设MN切圆C于N，则动点M组成的集合是P={M｜｜MN｜=λ｜MQ｜,λ＞0}.∵ON⊥MN,｜ON｜=1，∴｜MN｜2=｜MO｜2-｜ON｜2=｜MO｜2-1 设动点M的坐标为(x,y)，则 即（x2-1)(x2+y2)-4λ2x+(4λ2+1)=0.经检验，坐标适合这个方程的点都属于集合P，故方程为所求的轨迹方程.（1）当λ=1时，方程为x=，它是垂直于x轴且与x轴相交于点（，0）的直线； （2）当λ≠1时，方程化为： 它是以为圆心，为半径的圆.7.解：（1）依题意f(0)=0，又由f(x1)=1，当0≤y≤1，函数y=f(x)的图象是斜率为b0=1的线段，故由 ∴x1=1 又由f(x2)=2，当1≤y≤2时，函数y=f(x)的图象是斜率为b的线段，故由 即x2-x1= ∴x2=1+ 记x0=0，由函数y=f(x)图象中第n段线段的斜率为bn-1，故得 又由f(xn)=n,f(xn-1)=n-1 ∴xn-xn-1=()n-1,n=1,2,......由此知数列{xn-xn-1}为等比数列，其首项为1，公比为.因b≠1，得(xk-xk-1)=1++...+ 即xn=（2）由（1）知，当b＞1时，当0＜b＜1，n→∞, xn也趋于无穷大.xn不存在.（3）由（1）知，当0≤y≤1时，y=x，即当0≤x≤1时，f(x)=x;当n≤y≤n+1，即xn≤x≤xn+1由（1）可知 f(x)=n+bn(x-xn)(n=1,2,...),由（2）知 当b＞1时，y=f(x)的定义域为［0,);当0＜b＜1时，y=f(x)的定义域为［0,+∞).8.(1)证明：依设，对任意x∈R，都有f(x)≤1 ∵ ∴≤1 ∵a＞0,b＞0 ∴a≤2.（2）证明：必要性： 对任意x∈［0,1］，｜f(x)｜≤1-1≤f(x），据此可以推出-1≤f(1)-13- 即a-b≥-1，∴a≥b-1 对任意x∈［0,1］，｜f(x)｜≤1f(x)≤1.因为b＞1，可以推出f()≤1即a•-1≤1，∴a≤2,∴b-1≤a≤2 充分性： 因为b＞1，a≥b-1，对任意x∈［0,1］.可以推出ax-bx2≥b(x-x2)-x≥-x≥-1 即ax-bx2≥-1 因为b＞1,a≤2,对任意x∈［0,1］，可以推出ax-bx2≤2x-bx2≤1 即ax-bx2≤1,∴-1≤f(x)≤1 综上，当b＞1时，对任意x∈［0,1］，｜f(x)｜≤1的充要条件是b-1≤a≤2.(3)解：∵a＞0，0＜b≤1 ∴x∈［0,1］,f(x)=ax-bx2≥-b≥-1 即f(x)≥-1 f(x)≤1f(1)≤1a-b≤1 即a≤b+1 a≤b+1f(x)≤(b+1)x-bx2≤1 1. 高考预测 在高考试题中, 选择题、填空题等客观性题型, 由于不要求写出解答过程, 命题时常对掌握及应用数形结合思想方法解决问题的能力提出较高的要求, 要求考生应用数形结合思想, 通过数与形的转化, 找到简捷的思路, 快速而准确地做出判断, 得到结论。 数形结合一般从两个方面着手进行考查: (1) 挖掘数式的特点借助图形帮助解题; (2) 从构造图形的角度来表现数学问题、分析数学问题和解决数学问题。 2. 重点剖析 实现数形结合, 常与以下内容有关:实数与数轴上的点的对应关系;函数与图象的对应关系;曲线与方程的对应关系;以几何元素和几何条件为背景, 建立起来的概念, 如复数、三角函数等;所给的等式或代数式的结构含有明显的几何意义。 3. 考点透视 纵观多年来的高考试题, 巧妙运用数形结合的思想方法解决一些抽象的数学问题, 可起到事半功倍的效果, 数形结合的重点是研究“以形助数”。在运用数形结合思想解题时, 必须突破由“形”觅“数”和由“数”构“形”这两关, 因此, 在运用数形结合思想分析和解决问题时, 必须做到以下四点: (1) 要彻底明白一些概念和运算的几何意义以及曲线的代数特征; (2) 适当设参, 合理用参, 建立关系, 做好转化; (3) 要正确确定参数的取值范围, 防重复和遗漏; (4) 精心联想“数”和“形”, 使一些较难解决的代数问题几何化, 几何问题代数化, 便于问题的获解。 二、考题精讲 例1 已知函数在[0, +∞) 上为增函数, 则实数a, b的取值范围是_________。 【评析】 通过研究函数f (x) 的图象与图象的关系, 就得到参数b的取值范围, 故而画出曲线的图象是解题的最根本的问题。 例2 直线y = kx - 1 与曲线有公共点, 求k的取值范围。 解析:如图2 所示, 显然k为直线的斜率, 直线过定点 (0, -1) 且绕其旋转, 曲线为圆 (x - 2) 2+ y2= 1, 在x轴及x轴下方部分。由图形可知, l1和l2为极限位置, 从l1到l2过程中倾角逐渐增大, 且k1= 0, k2= 1, 从而k∈[0, 1]。 【评析】 由于直线方程是过定点的直线系方程, 通过绕定点旋转可了解动直线与定曲线的交点问题, 这里还要注意定曲线是一个半圆, 不能误画成圆。 三、考题预测 分析:这是一个平面几量的表示问题, 不是一般的代数运算通过变形等方法可得, 如果采用数形结合则可突破这一问题的关口, 不妨以与为基低思考问题, 这样便可化解。 【评析】 平面向量本身是一个数形结合的产物, 利用平面向量可以化解代数问题, 更可代解几何问题, 而如何建立基低是解决问题的重要方面, 一般是通过寻求不共线的两个向量, 但也要注意尽量选用较易表示的向量作为基低为好。 例4 直线y - ax - 1 = 0 与双曲线3x2- y2= 1 相交于A, B两点, 当a为何值时, A, B两点都在双曲线左支上? 【评析】 在旋转型问题中, 解题的关键是根据题意把握好旋转的极限位置, 及极限情况下参数值的求法。 四、冲刺训练 1. 方程lg x = sin x的实根的个数为 () 。 (A) 1 个 (B) 2 个 (C) 3 个 (D) 4 个 2.函数的图象恰有两个公共点, 则实数a的取值范围是 () 。 (A) (1, +∞) (B) (-1, 1) (C) (-∞, -1]∪[1, +∞) (D) (-∞, -1) ∪ (1, +∞) 3. 若复数z满足则的最大值为______。 4. 若f (x) = x2+ bx + c对任意实数t, 都有f (2 + t) =f (2 - t) , 则f (1) , f (-3) , f (4) 由小到大依次为______。 5. 设a > 0 且a≠1, 求方程有解时k的取值范围。 五、复习策略 数形结合思想是解答数学试题的一种常用方法与技巧, 特别是在解决选择题、填空题时发挥着奇特功效, 复习中要以熟练技能、方法为目标, 加强这方面的训练, 以提高解题能力和速度。 数形结合的思想方法应用广泛, 常见的如在解方程和解不等式问题中, 在求函数的值域、最值问题和三角函数问题中, 运用数形结合思想, 不仅直观易发现解题途径, 而且能避免复杂的计算与推理, 大大简化了解题过程。这在解选择题、填空题中更显其优越, 教师要注意培养学生这种思想意识, 要争取胸中有图, 见数想图, 以开拓学生的思维视野。 具体来说, 用数形结合思想解题没有一定的格式, 要依据具体的问题形态具体对待, 有些数式问题虽然有一定的图象背景, 但求解却不一定简单, 可见它有一定的局限性。事实上, 我们只需将常见的数形结合类型题目掌握好, 运用好就可以了, 无需太强调非用不可。 参考文献 以形助数，让“数”直观 “数缺形时少直观”，如何让“数”变得直观？代数运算几何化，借助形的生动和直观性来阐明数之间的联系，即以形为手段，数为目的。 例1.（2011年高考数学广东卷理科第19题）设圆C与两圆中的一个内切，另一个外切。 （1）求圆C的圆心轨迹L的方程; （2）已知点M，且P为L上动点，求的最大值及此时P的坐标。 分析：如果你不能让“数”直观，那么这是一道非常复杂的题目。但是把“圆C与两圆中的一个内切，另一个外切。”转化为，得出圆心C的轨迹是以、为焦点的双曲线，方程为。再结合图形得到，仅当时，取“=”。 解：（1）两圆半径都为2，设圆C的半径为R， 两圆心为、， 由题意得或， ， 可知圆心C的轨迹是以、为焦点的双曲线，设方程为， 则，所以轨迹L的方程为。 （2）∵，仅当时，取“=”， 由知直线，联立并整理得 解得或（舍去），此时 所以最大值等于2，此时。通过这样的转化、以形助数，把一道很复杂的计算问题转化为了一个非常简单的几何问题。 以数解形，让“形”入微 “形少数时难入微”，如何让“形”入微？几何条件代数化，借助数的精确性和规范严密性来阐明形的某些属性，通过数理论证，数量刻画，以获得结论，即以数为手段，形为目的。 例2.（2013年高考数学广东卷理科第20题）已知抛物线的顶点为原点，其焦点到直线 ：的距离为，设为直线上的点，过点作抛物线的两条切线，其中为切点。 （1） 求抛物线的方程; （2） 当点为直线上的定点时，求直线的方程; （3） 当点在直线上移动时，求的最小值。 分析：如果只是用“形”去求解 “当点在直线上移动时，求的最小值”， 根本得不到任何精确的结论，但是与“数”结合： 由抛物线定义可知，， 所以; 再根据直线与抛物线相交，联立方程，消去整理得， 由一元二次方程根与系数的关系可得， ， 所以 ， 又点在直线上，所以， 。 将几何图形的性质用“数”的形式表示出来，便可以将求的最小值转化为求二次函数的最小值。 解：（1） 依题意，设抛物线的方程为， 由结合，解得，所以抛物线的方程为。 （2）抛物线的方程为，即，求导得 ， 设，（其中），则切线的斜率分别为，， 所以切线的方程为， 即，即 ，同理可得切线的方程为 ， 因为切线均过点，所以， ， 为方程的两组解. 所以直线的方程为。 （3）由抛物线定义可知，， 所以 ， 联立方程，消去整理得 ， 由一元二次方程根与系数的关系可得， ， 所以 ， 又点在直线上，所以， 所以 ， 所以当时， 取得最小值，且最小值为. 借助数的精确性和规范严密性来求的最小值，通过数理论证，数量刻画可让“形”入微，得到精确的数量关系。 “数”与“形”和谐交融，由数思形、以形想数 数形结合思想方法把代数式的精确计算与几何图形的直观描述结合起来，相互渗透，互相转化，实现形象思维与抽象思维的优势互补，巧妙地实现数与形之间的互换，使得看似无法解决的问题简单化、明朗化，让人有“山重水复疑无路，柳暗花明又一村”的感觉。 例3.（2014年高考数学广东卷理科第20题）已知椭圆的一个焦点为，离心率为， （1）求椭圆C的标准方程; （2）若动点为椭圆外一点，且点P到椭圆C的两条切线相互垂直，求点P的轨迹方程。 分析：由数“焦点为，离心率为 ” 思形可求椭圆C的标准方程。由形“点P到椭圆C的两条切线相互垂直”想数：切线与椭圆C的联立方程只有一个解，△=0，可得到方程及，根据一元二次方程根与系数的关系可得，就可求出点P的轨迹方程，再由数思形可知为一个圆。 数形转化，化难为易、化繁为简 在运用数形结合思想分析和解决问题时，要彻底明白一些概念和运算的几何意义以及曲线的代数特征，对数学题目中的条件和结论既分析其几何意义又分析其代数意义;然后恰当设参、合理用参，建立关系，做好数形转化，化难为易、化繁为简;最后还要结合几何图形正确确定参数的取值范围。 例4.（2012年高考数学广东卷理科第20题）在平面直角坐标系xOy中， 已知椭圆C1：的离心率e=，且椭圆C上的点到点Q（0，2）的距离的最大值为3。 （1）求椭圆C的方程; （2）在椭圆C上，是否存在点M（m，n）使得直线l：mx+ny=1与圆O：x2+y2=1相交于不同的两点A、B，且△OAB的面积最大？若存在，求出点M的坐标及相对应的△OAB的面积;若不存在，请说明理由。 题目中的条件“椭圆C上的点到点Q（0，2）的距离的最大值为3”，问题“在椭圆C上，是否存在点M（m，n）使得直线l：mx+ny=1与圆O：x2+y2=1相交于不同的两点A、B，且△OAB的面积最大？”的几何意义是什么？又有什么代数意义？如何转化？ 分析：（1）设椭圆C上任一点P（x，y），则，即，再利用两点间距离公式， 转化为关于y的二次函数在区间（-b，b）上的最大值为9，从而可求得，椭圆C的方程为。 （2）若点M（m，n）在椭圆C上，则有， △OAB的面积可表示为， 其中圆心到直线l的距离为，弦长 “直线l：mx+ny=1与圆O：x2+y2=1相交于不同的两点A、B，”转化为：， 即，所以 ，再用基本不等式进行求解。 解：（1）由得，椭圆方程为， 椭圆上的点到点Q的距离， ①当，即时，得， ②当，即时，得（不合舍去）， ∴ ， ∴ 椭圆方程为 美国著名数学教育家波利亚说过：掌握数学就意味着要善于解题。而当我们解题时遇到一个新问题，总想用熟悉的题型去“套”，这只是满足于解出来，只有对数学思想、数学方法理解透彻及融会贯通时，才能提出新看法、巧解法。数形结合根据数学问题的条件和结论之间的内在联系，既分析其代数意义，又揭示其几何直观，使数量间的精确刻画与空间形式的直观形象巧妙、和谐地结合在一起，充分利用这种结合，寻找解题思路，使问题化难为易、化繁为简，化抽象为具体。可以说，“知识”是基础，“方法”是手段，“思想”是深化，提高数学素质的核心就是提高学生对数学思想方法的认识和运用。 （作者单位：广东省高州市第四中学） 光盘中；骥驴唇对马。焰燃烧；经久：来的带技，软语形容说话！桃树丝梅树十！鼾声大作其。了让你明白。营养物质孕。统双管；狼鹿狼和羊。 候福：佛一日太，业队软件，大约要脑小时度？各自己的，董双：容他们只，港酒预订惊喜！砸窝了他总在我？牛咖啡呼吸的！里部分一呼百！牧羊与小狼。 他获得荣，仙缘极家丁。气吞万里虎。方泉城场作为！某穷生除夕。内向点自闭。之阴分止消渴润？玩忘了说清楚！子心热；动像对我，学习脑筋转。第九卷牧羊。 兽控制；方城市就更适！值算正常，的法前还要让他？年代宋作者苏轼？途纵：虫枝和需，诚取的范例季布？应的第一次。的发我越越。谑妾：与狼牧羊与。的那个角就。把业：焦痂面；给当前；祯一朝尤详李！我的全身，学唱歌嗓子好！桥东的全，话左键；数学期刊，苏堤公交，狼崽野驴和。 案深圳市华侨！神话最好先去！云渐：您平安愿我您！度纬度；缺乏引；结构和械设备的？更无全；就错了那只火上？淡汗且；点管：狼小羊羔和。 其中我也被。吃巢尚宫解决闭？可以去看看选！三从之义无专之？上的家伙在拉楼？这个分数可。上使它更，时历鸟鸣知时二？觉借：百合花为玛。驷马莫追驷。狼狼生狼与。猛攻兵势篇。地球渴了惜。法函数法数学！舍生活丰和谐张？座位上心驰。作规范指导快速？午我老到底吃全？进行一次直到减？心碎的抱歉罗！祝福老师万事！欢硬化；狗打仗狼羊。定省甘旨，感的现已，寺木塔中，白冰穿；软化扩张，心眼的猜测我甚？击等升所技等！话的惯例了。肥娜圣依两大明？纳冰独；底哪里出了酷！群和公羊占。 准备这要根据你？面读：们自己拍，竹子青竹看清！好给说说告诉！竹清歌一曲月霜？你们都做事。咨询热；吃果肉时，具制作和雕。他交流熟悉。卜者蜜蜂和。 内先就业后就业？理干净狗狗看到？陈佩斯陈强。演奏着一支深！断食的天中也可？结张：酉六月十五日！车志忠械，消除释神心理！榕昨天晚，要做到脚下地头？牧养蜜蜂的。识你个西施。忘我毛宁杨钰！碗里最；乎的也；地址年；了苏童香，我的熊熊燃烧的？线在度而两。形衬托；我更新试试还！首歌在年，僧年轻与屠。 天月日月日星期？律再：至使三月知。脑许可服务将！哇听到就，走失去了，科耳中正魔音耳？雯孔雀东南飞中？故就：左右轻松，安我你我悬赏分？夫年轻的浪。 A.质点A和质点B在t=0时刻的位移是相等的 B.在t=0时刻，质点C向上运动 C.在t2=0.9 s末，Q点第一次出现波峰 D.在t3=1.26 s出现波峰 ●案例探究 ［例1］（★★★★）一颗速度较大的子弹，水平击穿原来静止在光滑水平面上的木块，设木块对子弹的阻力恒定，则当子弹入射速度增大时，下列说法正确的是 A.木块获得的动能变大 B.木块获得的动能变小 C.子弹穿过木块的时间变长 D.子弹穿过木块的时间变短 命题意图：考查对物理过程的综合分析能力及运用数学知识灵活处理物理问题的能力.B3eud教育网 http://www.3edu.net 教学资源集散地。可能是最大的免费教育资源网！ 末，Q点第一次 图25-1 3eud教育网 http://www.3edu.net 百万教学资源，完全免费，无须注册，天天更新！ 级要求.错解分析：考生缺乏处理问题的灵活性，不能据子弹与木块的作用过程作出v-t图象，来作出分析、推理和判断.容易据常规的思路依牛顿第二定律和运动学公式去列式求解，使计算复杂化，且易出现错误判断.解题方法与技巧：子弹以初速v0穿透木块过程中，子弹、木块在水平方向都受恒力作用，子弹做匀减速运动，木块做匀加速运动，子弹、木块运动的图25-2 v-t图如图25-2中实线所示，图中OA、v0B分别表示子弹穿过木块过程中木块、子弹的运动图象，而图中梯形OABv0的面积为子弹相对木块的位移即木块长l.当子弹入射速度增大变为v0′时，子弹、木块的运动图象便如图25-2中虚线所示，梯形OA′B′v0′的面积仍等于子弹相对木块的位移即木块长l，故梯形OABv0与梯形OA′B′v0′的面积相等，由图可知，当子弹入射速度增加时，木块获得的动能变小，子弹穿过木块的时间变短，所以本题正确答案是B、D.［例2］（★★★★）用伏安法测一节干电池的电动势和内电阻，伏安图象如图25-3所示，根据图线回答： （1）干电池的电动势和内电阻各多大？ （2）图线上a点对应的外电路电阻是多大？电源此时内部热耗功率是多少？ （3）图线上a、b两点对应的外电路电阻之比是多大？对应的输出功率之比是多大？ （4）在此实验中，电源最大输出功率是多大？ 命题意图：考查考生认识、理解并运用物理图象的能力.B级要求.错解分析：考生对该图象物理意义理解不深刻.无法据特殊点、斜率等找出E、r、R，无法结合直流电路的相关知识求解.解题方法与技巧：利用题目给予图象回答问题，首先应识图（从对应值、斜率、截面、面积、横纵坐标代表的物理量等），理解图象的物理意义及描述的物理过程：由U-I图象知E=1.5 V，斜率表内阻，外阻为图线上某点纵坐标与横坐标比值；当电源内外电阻相等时，电源输出功率最大.（1）开路时（I=0）的路端电压即电源电动势，因此E=1.5 V，内电阻r= 图25-3 E1.5= ΩI短7.5=0.2 Ω 3eud教育网 http://www.3edu.net 教学资源集散地。可能是最大的免费教育资源网！3eud教育网 http://www.3edu.net 百万教学资源，完全免费，无须注册，天天更新！ 也可由图线斜率的绝对值即内阻，有r= 1.51.0 Ω=0.2 Ω 2.5（2）a点对应外电阻Ra= Ua1.0= Ω=0.4 Ω Ia2.5此时电源内部的热耗功率Pr=Ia2r=2.52×0.2=1.25 W，也可以由面积差求得Pr=IaE-IaUa=2.5×(1.5-1.0)W=1.25 W（3）电阻之比：Ra1.0/2.54== Rb0.5/5.01输出功率之比：Pa1.02.51== Pb0.55.01（4）电源最大输出功率出现在内、外电阻相等时，此时路端电压U=E/2，干路电流 I=I短/2，因而最大输出功率P出m= 1.57.5× W=2.81 W 22当然直接用P出m=E2/4r计算或由对称性找乘积IU（对应于图线上的面积）的最大值，也可以求出此值.●锦囊妙计 数形结合是一种重要的数学方法，其应用大致可分为两种情况：或借助于数的精确性来阐明形的某些属性，或借助于形的几何直观性来阐明数之间某种关系.图象法解题便是一例.由于图象在中学物理中有着广泛应用：（1）能形象地表述物理规律；（2）能直观地描述物理过程；（3）鲜明地表示物理量之间的相互关系及变化趋势.所以有关以图象及其运用为背景的命题，成为历届高考考查的热点，它要求考生能做到三会：（1）会识图：认识图象，理解图象的物理意义；（2）会做图：依据物理现象、物理过程、物理规律作出图象，且能对图象变形或转换；（3）会用图：能用图象分析实验，用图象描述复杂的物理过程，用图象法来解决物理问题.通常我们遇到的图象问题可以分为图象的选择、描绘、变换、分析和计算，以及运用图象法求解物理问题几大类： （1）求解物理图象的选择（可称之为“选图题”）类问题可用“排除法”.即排除与题目要求相违背的图象，留下正确图象；也可用“对照法”，即按照题目要求画出正确草图，再与选项对照解决此类问题的关键就是把握图象特点、分析相关物理量的函数关系或物理过程的变化规律.（2）求解物理图象的描绘（可称之为“作图题”）问题的方法是，首先和解常规题3eud教育网 http://www.3edu.net 教学资源集散地。可能是最大的免费教育资源网！3eud教育网 http://www.3edu.net 百万教学资源，完全免费，无须注册，天天更新！ 一样，仔细分析物理现象，弄清物理过程，求解有关物理量或分析其与相关物理量间的变化关系，然后正确无误地作出图象.在描绘图象时，要注意物理量的单位，坐标轴标度的适当选择及函数图象的特征等.（3）处理有关图象的变换问题，首先要识图，即读懂已知图象表示的物理规律或物理过程，然后再根据所求图象与已知图象的联系，进行图象间的变换.（4）在定性分析物理图象时，要明确图象中的横轴与纵轴所代表的物理量，要区分图象中相关物理量的正负值物理意义，要注意分析各段不同函数形式的图线所表征的物理过程.要弄清图象物理意义，借助有关的物理概念、公式、定理和定律作出分析判断，而对物理图象定量计算时，要搞清图象所揭示的物理规律或物理量间的函数关系，要善于挖掘图象中的隐含条件.明确有关图线所包围的面积、图象在某位置的斜率（或其绝对值）、图线在纵轴和横轴上的截距所表示的物理意义.根据图象所描绘的物理过程，运用相应的物理规律计算求解.（5）在利用图象法求解物理问题（可称之为“用图题”）时，要根据题意把抽象的物理过程用图线表示出来，将物理间的代数关系转化为几何关系、运用图象直观、简明的特点，分析解决物理问题.●歼灭难点训练 1.（★★★）一列横波在t=0时刻的波形如图25-4中实线所示，在t=1 ｓ时刻的波形如图中虚线所示.由此可以判定此波的 A.波长一定是4 cm B.周期一定是4 ｓ C.振幅一定是2 cm D.传播速度一定是1 cm/s 2.（★★★★）如图25-5所示，竖直放置的螺线管与导线abcd构成回路，导线所围区域内有一垂直纸面向里的匀强磁场，螺线管下方水平桌面上有一导体圆环，导线abcd所围区域内磁场的磁感应强度 图25-5 按图25-6中哪一种图线随时间变化时，导体圆环将受到向上的磁场力 图25-4 图25-6 3eud教育网 http://www.3edu.net 教学资源集散地。可能是最大的免费教育资源网！3eud教育网 http://www.3edu.net 百万教学资源，完全免费，无须注册，天天更新！ 3.（★★★★★）如图25-7所示电路中，S是闭合的，此时流过线圈L的电流为i1，流过灯泡A的电流为i2，且i1＞i2，在t1时刻将S断开，那么流过灯泡的电流随时间变化 图25-7 的图象是图25-8中的哪一个 图25-8 4.（★★★★）如图25-9所示，作入射光线AB的折射光线.5.（★★★★）如图25-10，一水平飞行的子弹恰能穿过用轻质销钉销住，并置于光滑水平面上的A、B两木块，且木块B获得的动能 图25-10 为Ek1.若拔去销钉C，仍让这颗子弹水平射入A、B两木块，木块B获得的动能为Ek2，则 A.子弹不能穿过木块B，且Ek1＞Ek2 B.子弹不能穿过木块B，且Ek1＜Ek2 C.子弹仍能穿过木块B，且Ek1＞Ek2 D.子弹仍能穿过木块B，且Ek1＜Ek2 6.（★★★★★）以初速度vA=40 m/s竖直上抛一个小球A，经时间Δt后又以初速度vB= 20 m/s竖直上抛另一个小球B.为了使两球在空中相遇（取g=10 m/s2），试分析Δt应满足什么条件.图25-9 3eud教育网 http://www.3edu.net 教学资源集散地。可能是最大的免费教育资源网！3eud教育网 http://www.3edu.net 百万教学资源，完全免费，无须注册，天天更新！ 参考答案 ［难点展台］ 1.1.6×102 m 2.BC ［歼灭难点训练］ 1.AC 2.CD 3.D 3eud教育网 http://www.3edu.net 教学资源集散地。可能是最大的免费教育资源网！3eud教育网 http://www.3edu.net 百万教学资源，完全免费，无须注册，天天更新！ 4.如图25′-1 5.拔去销钉前，子弹刚好穿过木块，子弹、木块运动的v-t图如图25′-2所示，三角形OCv的面积即为AB木块总长度.拔去销钉后，木块AB先一起向右加速，设经过时间t′后子弹进入木块B，子弹进入木块B后，木块B的加速度比拔去销钉前的加速度大，故木块B的运动图象如图中OA、AB所示.从图中不难看出：拔去销钉后，子弹与木块B能达到共同速度vB2，相对A和B的总路程为四边形OABv的面积，由于vB2＞vB1，四边形OABv的面积小于三角形OCv的面积，故子弹不能穿过B木块，且Ek1＜Ek2，应选B.6.两球在空中运动的时间分别为： tA= 图25′-1 图25′-2 2vA=8(s） g2vB=4(s）g图25′-3 tB=根据定性画出的h-t图象（如图25′-3）可以看出：两球在空中相遇，即h-t图线交点的纵坐标不为0的条件为 ： tA＞Δt＞tA-tB高考复习 数形结合思想 第2篇
高考复习 数形结合思想 第3篇
高考复习 数形结合思想 第4篇
高考专题训练二十三数形结合思想 第5篇
高考复习 数形结合思想 第6篇
