高考英语阅读理解易错-盘古文库

高考英语阅读理解易错

高考作文

来源：文库

作者：开心麻花

2025-09-18

高考英语阅读理解易错（精选8篇）

高考英语阅读理解易错第1篇

名词的单复数形式的误判

【典例】

What do you think the ______ should do first? They should learn to take ______ as well as share rights in life.

A. grown-up; responsibility

B. growns-up; responsibility

C. grown-ups; responsibilities

D. growns-ups; responsibilities

【错因分析】

有些考生以为grown是复合名词的中心词，其复数形式应该在grown后面加-s;另一方面认为responsibility是不可数名词，没有复数形式，从而错选B。其实，grown-up没有中心名词，其复数形式应该在up后面加-s;同时根据语境可知，responsibility指义务，该单词作“义务，职责”讲时，是可数名词，故正确答案选C。

对不可数名词的应用判断失误

【典例】

I find it very difficult to read ____ novel you lent me last week.

Yes. It’s necessary to have _____ good knowledge of history.

A. the; 不填 B. a; 不填 C. the; a D. a; a

【错因分析】

考生可能以为第一个空是特指对方上周所借给“我”的小说，故应填定冠词;第二个空后面是抽象名词，为不可数名词，不填冠词，于是错选A。然而，此处knowledge之前须用不定冠词，have a good knowledge of意为“对很了解”，是固定搭配，故正确答案选C。

高考英语阅读理解易错第2篇

1. 对在句中作时间、条件、原因还是别的状语不是很清楚。

2.分不清何时用现在分词、何时用过去分词。

解决办法：

1.理解分词作状语时可以转换成相应的状语从句。

2.分清何时用现在分词、何时用过去分词。

用法讲解：

1. 分词或分词短语作状语时，可以表示时间、原因、让步、条件，方式或伴随状况。通常可转换成相应的状语从句;表示方式或伴随状况时可以转换成并列句或非限制性定语从句。例如：

Put into use in April (=When it was put into use in April 2000), the hotline was meant for residents reporting water and heating supply breakdowns. 分词短语作时间状语

Blamed for the breakdown of the school computer network (=Because she was blamed for the breakdown of the school computer network), Alice was in low spirits. 分词短语作原因状语

Given time (=If he is given time), he’ll make a fist-class tennis player. 分词短语作条件状语

We often provide our children with toys, footballs or basketballs, thinking that all children like these things. (= and think that all children like these things.) 分词短语作伴随状语

2. 有时为了强调，分词前可带when, while, if, though, as if, unless等连词一起作状语，以便使句子的意思更清楚、更连贯。例如：

When comparing different cultures, we often pay attention only to the differences without noticing the many similarities.

Though tired, he still continued reading.

3. 现在分词和过去分词作状语时的用法比较。

不管是现在分词还是过去分词单独作状语，其逻辑主语必须与主句的主语一致。分词作状语通常可转换成一个相应的状语从句或并列句，如果状语分句或并列句中的谓语动词为被动结构，就用过去分词;如果状语分句或并列句中的谓语动词为主动结构，就用现在分词。例如：

When compared with the size of the whole earth , the biggest ocean does not seem big at all.

分词部分相当于When the biggest ocean is compared with the size of the whole earth, 主语与分词是被动关系，所以用过去分词。

When comparing it with the size of the whole earth, we find that the biggest ocean does not seem big at all.

When we compare it with the size of the whole earth... 主语与分词是主动关系, 所以用现在分词。

Faced with a bill for$10,000(=Because he is faced with a bill for$10,000), John has taken an extra job.

Whenever he was asked why he was late for class, he would answer carelessly, always saying the same thing (= and he would say the same thing).

注意：

1. 现在分词有两种时态：一般式doing和完成式having done。一般式通常表示与主句的谓语动词所表示的动作同时发生或无先后;完成式则强调分词所表示的动作先于谓语动词所表示的动作。如：

While walking in the street, we met some friends of ours.(同时发生)

Having waited in the queue for half an hour, Tom suddenly realized that he had left his wallet at home. (“等待”先于谓语动词“意识到”)

高考英语单选题易错知识点例析第3篇

【例1】They weren’t a particularly good team, but they refused to give in and ______ defeat.

A. accept B. accepted C. accepting D. have accepted

【分析】考生容易误认为accepted与refused并列,于是选B。其实,accept与give in并列,故答案为A。

【例2】Mother told Jim to watch the milk until it boiled and then ______ off the gas.

A. turn B. turning C. turned D. having turned

【分析】答案为A。turn off the gas与watch the milk until it boiled并列。

【例3】He just does what he pleases and never ______ about anyone else.

A. think B. thinks C. thinking D. thought

【分析】答案为B。thinks与前面的does为并列谓语,同用一般现在时。

【例4】I don’t know whether to stay in teaching or ______ another job.

A. trying getting B. to try to get C. trying to get D. try get

【分析】答案为B。to stay in teaching与to try to get another job为两个并列的选择成分,故同用不定式。另外要注意:try to do sth.表示“努力做某事”,try doing sth.表示“尝试做某事”。

二、强调句

【例1】It was in the small house ______ was built with stones by his father ______ he spent his childhood.

A. which; that B. that; which C. which; which D. that; where

【分析】答案为A。答对此题的关键是要弄清第二空必须填that,因为这是一个强调句,被强调部分为in thesmall house,which was built with stones by his father是修饰它的定语从句。

【例2】It was the boy ______ had been in prison ______ stole the money.

A. who; where B. that; how C. who; that D. that; which

【分析】答案为C。本句中的被强调部分是the boy,who had been in prison是修饰它的定语从句。

【例3】It was just in the room ______ he was born ______ he died.

A. where; which B. that; that C. where; that D. which; that

【分析】答案为C。本句中的被强调部分是in this room。where he was born为修饰the room的定语从句。

三、逗号的陷阱

【例1】 ______ is reported, the project was completed yesterday.

A. It B. As C. This D. What

【分析】考生往往忽略了句子中间的逗号而认为此题是主语从句,把It当作句子的形式主语,况且It is reported...也是一个常用句型,读起来也很有英语语感,于是想当然地选了A。而事实上,答案选错了,因为在主语从句中的连接词that不能省略。正确答案应该为B,构成一个As引导的非限制性定语从句。

【例2】The purpose of new technologies is to make life easier, ______ it more difficult.

A. not make B. not to make . not making D. do not make

【分析】有的考生一看到句子中的逗号就会想到此题是考查非谓语动词作状语的用法,于是将答案误选为C。其实,在此句中,逗号相当于连词and或but。not to make it more difficult与逗号前面的不定式to make it easier相并列,对其进行补充、说明,因此答案为B。(值得一提的是:不定式并列作表语时,若否定的不定式在前而肯定的不定式在后,一般须用but连接,而不用逗号。如:My dream is not to live on the earth but to live on the moon.)

【例3】There were a lot of people in the reading-room, most of ______ with their heads bent down overtheir books.

A. them B. whom C. that D. which

【分析】乍一看题干结构,考生可能认为这是考查非限制性定语从句,从而将答案误选为B。但事实上,逗号后面由于没有谓语动词,不是完整的句子,而是一个with复合结构,故答案为A。

练一练:

1. Lucy prefers ______ to ______ , so she becomes a singer.

A. dancing; singing B. singing; dancing

C. dance; sing D. sing; dance

2. I am trying to calm down and ______ the whole thing.

A. forget B. forgetting C. will forget D. have forgotten

3. It was in the rice fields ______ we had our league meeting.

A. where B. that C. in which D. on which

4. Who was it ______ put so many large stones on the road?

A. this B. he C. that D. she

5. It was when she was about to go to bed ______ the telephone rang.

A. since B. as C. then D. that

6. It was the training ______ he had as a young man ______ made him such a good engineer.

A. what; that B. that; what C. that; which D. which; that

7. My idea is to visit the museum, ______ to the park.

A. not go B. not going C. not to go D. do not go

8. If you want to go, ______ is quite all right with me.

A. that B. which C. and it D. so

9. When I say two hours, ______ includes time for eating.

A. as B. which C. what D. it

10. Unless I’m very much mistaken, ______ is my watch you are wearing.

高考英语阅读理解易错第4篇

这类考查方式一般有以下几种题干设问形式：

① What is the general/main idea/topic of the passage/article？

② What does Paragraph X mainly talk about？

③ This passage/article is mainly about ________.

④ What topic is the passage/article chiefly concerned？

⑤ Which of the following best describes the main point of the passage/Paragraph X？

【易错原因】在做这类题时，很多考生容易以偏概全或主观臆断，从而导致做错。有的考生一看到某个选项与文中的某句话意思吻合，就轻率地断定该项为正确答案，殊不知自己可能没有考虑全面，因为选的这一项也许只是概括了短文的部分意思，而不是全文大意。还有的考生一看到某个选项跟自己的主观想象或推断吻合，就轻率地下了结论，而没有综合文章的各个段落来进行选择。

【应对策略】在做这类题时，大家首先要找出短文或段落的主题句，明确其在讲什么，然后再通过速读全文或整个段落去把握其中心思想。对于段落来说，主题句一般在段首、段中或者段尾。对于短文来说，主题句的位置一般位于首段（文章结构为总分）、尾段（文章结构为分总）、首段+尾段（文章结构为总分总）、中间段（文章结构为引题—点题—分述）。对于没有主题句的文章，大家可以概括各段段意，总结主题句。但要注意，概括时不能以偏概全，也不能过于宽泛。另外，大家还可以通过关键词句来概括，比如议论文可以通过寻找表达作者观点态度的词句来概括短文主题，记叙文可以通过寻找概括情节的动词或反映人物特点的形容词等来概括。此外，如果文中出现两种或两种以上的不同观点，务必牢记作者的观点才能体现全文的中心。例如：

41. What does Paragraph 8 mainly talk about？（2014年四川卷C篇）

A. What Colm suffered.

B. Colm's present condition.

C. What caused Colm's allergy.

D. Symptoms of Colm's allergic reaction.

【解析】根据题干可知，本题属于段落大意类。Paragraph 8详细描述了Colm因为过敏反应而导致心脏骤停，由此可知本段讲述了Colm的遭遇。四个选项中B、C两项未提及，D项只陈述了该段的部分意思，只有A项总结了该段的大意，故正确答案为A。

短文标题或主题

这类考查方式一般有以下几种题干设问形式：

① The best title/headline for this passage might be ________.

② The text/passage could be entitled ________.

③ What is the best title for the passage？

④ Which of the following would be suitable as a title for the passage？

【易错原因】这类主旨大意题出错的原因主要在于题中有几个选项与原文某些段落的意思吻合，可以做这几个段落的小标题。考生若不能纵观全文，很容易做出片面的选择。

【应对策略】一篇文章的题目即为其浓缩的主旨，因此要想得到文章的题目，同样需要抓住文章的主题句或主题段，然后从中精选有代表性的单词、短语或短句，进行总结概括，最后再与题中的选项一一对照，最相匹配的就是最佳标题。例如：

58. Which would be the best title for the passage？（2014年湖北卷B篇）

A. The Shard： Cheers and Claps

B. The Shard： Work of a Great Architect

C. The Shard： New Symbol of London？

D. The Shard： A Change for the Better？

【解析】根据题干可知，本题属于短文标题类。原文为一篇新闻报道，介绍了伦敦最新的摩天大楼the Shard的形状和设计理念，同时还讲述了人们对这栋大楼的不同看法。根据第一段最后一句“However， not everyone thinks that it is a change for the better”可知有些人反对建造这栋大楼，后文第四段和第五段分别陈述了人们不同意建造这座大楼的原因（it destroys the beauty of the city、the Shard seems a symbol of the division in society between the very rich and the poor），最后一段作者表明“It is not certain， however， that ordinary London citizens will ever accept it as a valuable addition to the city”，故可知D项最符合文章的主题。A、B、C三项只陈述了原文的部分意思，没有概括出全文的大意。

作者意图或目的

这类考查方式一般有以下几种题干设问形式：

① The main purpose of this text/paragraph is ________.

② The author's purpose of writing this text is to ________.

③ What's the main purpose of the passage？

【易错原因】考生在做这类题时，常常会把自己想象的观点和目的当成作者的意图或目的，从而导致错选。

【应对策略】做这类题时，首先要抓住文章主题句（若无主题句，可以通过概括各段中心句进行总结）。第二，要抓住文章逻辑线索，理清文章发展脉络（一般来说，作者会采取举例、比较、分类、归纳等不同方法来组织文章）。第三，要把握文章的体裁。最后，要体会作者的写作意图和所要表达的思想感情或态度（是褒、贬还是中立），切忌将自己的观点强加于作者实际所表达的观点上。例如：

68. What does the author try to do in the last paragraph？（2014年江西卷C篇）

A. Appeal for donations. B. Make an advertisement.

C. Promote training programs. D. Show sympathy for the blind.

【解析】根据题干可知，本题属于作者意图类。原文第一段很巧妙地通过一个闭眼实验将我们的注意力转移到盲人身上，然后讲述了ORBIS这家国际机构为盲人所做的努力，最后一段号召我们为ORBIS捐款来帮助更多的盲人，因此正确答案为A。B和D项考生容易因主观臆断而误选，C项只是作者的一部分意图，作者主要还是想号召大家捐款。

高考英语易错知识点第5篇

【典例】

I would appreciate _____ if you could come and help me with my work.

A. that B. it C. this D. one

【错因分析】

很多考生认为this或that可以指代上文或下文所出现的内容，于是误选A或C。其实，用于指代后面整个句子的内容且作形式宾语时，只能用it，故答案选B。

名词的格的误用

【典例】

Look! This is _______.

Very beautiful. When did she take it?

A. my mother’s picture

B. my mother in the picture

C. a picture of my mother

D. a picture of my mother’s

【错因分析】

高考英语易错知识点第6篇

单词要记住用法而不只是记意思，最好背单词的时候能多读读例句，掌握它的用法。在写作的时候要有意识的去用这些单词。另外像go, come, take等的词组也要能辨析它们的意思和用法。

语法是需要用题去巩固的，老师也会在复习完一个语法后给你们单选题去做，记住一定要认真对待，及时搞清楚它们的用法。在写作时可以用些从句，非谓语来巩固用法。

2013年高考英语易错单项选择第7篇

1.Try not to cough more than you cansince it may cause problems to your lungs.A.checkB.allowC.stopD.help

2.Tony can hardly boil an egg, still cook dinner.A.lessB.littleC.muchD.more

3.Police have found appears to be the lost ancient statue.A.whichB.whereC.howD.what

4.The driver wanted to park his car near the roadside but was asked by the police.A.not to doB.not toC.not doD.do not

5.India attainedindependence in 1947, after long struggle.A.不填；aB.the；aC.an；不填D.an；the

6.It was only after he had read the papers Mr.Gross realized the task before him was extremely difficult to complete.A.whenB.thatC.whichD.what

7.at the cafeteria before, Tina didn’t want to eat there again.A.Having eatenB.To eatC.EatD.Eating

8.—The town is so beautiful!I just love it.—Me too.The character of the town is well.A.qualifiedB.preservedC.decoratedD.simplified

9.Lionel Messi, the record for the most goals in a calendar year, is considered the most talented football player in Europe.A.setB.settingC.to setD.having set

10.“Never for a second,” the boy says, “ that my father would come to my rescue.”

A.I doubtedB.do I doubtC.I have doubtedD.did I doubt

11.Team leaders must ensure that all members their natural desire to avoid the embarrassment associated with making mistakes.A.get overB.look overC.take overD.come over

12.I should not have laughed if I you were serious.A.thoughtB.would thinkC.had thoughtD.have thought

13.Shortly after suffering from a massive earthquake and to ruins, the city

took on a new look.A.reducingB.reducedC.being reducedD.having reduced

14.The president of the World Bank says he has a passion for China,he

remembers starting as early as his childhood.A.whereB.whichC.whatD.when

15.The children, had played the whole day long, were worn out.A.all of whatB.all of whichC.all of themD.all of whom

16.Eye doctors recommended that a child’s first eye exam at the age of

six months old.A.wasB.beC.wereD.is

17.The only way to succeed at the highest level is to have total beliefyou

are better than anyone else on the sports field.A.howB.thatC.whichD.whether

18.Bears fat stores throughout the summer and fall to have energy enough

to last them through their winter sleep.A.pack upB.build upC.bring upD.take up

19.If what your friend comes up with surprises you, don’t reject it immediately., imagine that it is true.A.ThusB.BesidesC.RatherD.Otherwise

20.The “Chinese Dream”$ isdream to improve people’s well-being and

Dream of harmony, peace and development.A.the；aB.a；aC.a；theD.the；the

21.Those poor and needy teenagers were excited to find a shop at the corner where

they could buy priced bikes.A.competitivelyB.recentlyC.reasonablyD.affordably

22.—Thanks a lot for your book.I found it very interesting.—.I’m glad you enjoyed it.A.All the bestB.It is nothingC.No thanksD.Very well

23.There are a small number of people involved, possiblytwenty.A.as few asB.as little asC.as many asD.as much as

24.one of you breaks the window will have to pay for it.A.WhoeverB.WhateverC.WhicheverD.Wherever

25.He wrote a letterhe explained what had happened in the accident.A.whatB.whichC.whereD.how

26.I to visit you later that day, but I had to phone and cancel.A.comeB.cameC.am comingD.was coming

27.It was not until near the end of the letter she mentioned her own plan.A.thatB.whereC.whyD.when

28.If he had spent more time practicing speaking English before, heable

to speak it much better now.A.will beB.would beC.has beenD.would have been

29.The accident caused someto my car, but it’s nothing serious.A.harmB.injuryC.ruinD.damage

30.This is by farmovie that I have ever seen.A.an inspiringB.a much inspiringC.the most inspiringD.the more inspiring

31.He may win the competition, he is likely to get into the national team.A.in which caseB.in that caseC.in what caseD.in whose case

32.The university estimates that living expenses for international studentsaround $8,450 a year, whicha burden for some of them.A.are；isB.are；areC.is；areD.is；is

33.My mom suggests that we eat out for a change this weekend.A.shouldB.mightC.couldD.would

34.The manager wants to see changes in the company, and I am sure he will.A.in particularB.in turnC.in chargeD.in time

35.My uncle hasn’t been able to quit smoking, but at least he has.A.cut outB.cut downC.cut upD.cut off

36.Poetry written from the of the urban youth tends to reveal their anxiety over a lack of sense of belonging.A.perspectiveB.priorityC.participationD.privilege

37.In much of the animal world, night is the time for sleep---pure and simple.A.set asideB.set downC.set offD.set up

38.People complain that decisions to approve or deny a permit are often

rather than based on fixed criteria.A.appropriateB.consciousC.arbitraryD.controversial

39.Don’t defend him any more.It’s obvious that hedestroyed the fence of the garden even without apology.A.accidentallyB.carelesslyC.deliberatelyD.clumsily

40.John invited about 40 people to his wedding, most ofare family members.A.themB.thatC.whichD.whom

41.A Midsummer Night’s Dreamat the Theatre Royal on 19th June, and then tours throughout Scotland.A.opensB.is openedC.will openD.will be opened

42.The engine just won’t start.Something seems wrong with it.A.to goB.to have goneC.goingD.having gone

43.—Forgotten something? I can keep an eye on your kids if you want to go and get it.—Thank you all the same.A.It’s very kind of you.B.Oh, how careless of me!

C.I might as well go and get it.D.Well, I can do without it.44.It’s aclock, made of brass and dating from the nineteenth century.A.charming French smallB.French small charming

C.small French charmingD.charming small French

45.at the photos, illustrations, title and headings and you can guess what the reading is about.A.To lookB.LookingC.Having lookedD.Look

高考英语阅读理解易错第8篇

一、集合与常用逻辑用语部分

一、选择题

1.已知集合A={x|y2=x}, B={y|y=x}, C={ (x, y) |y=x2}, 设M=A∩B, N=B∩C, 则M, N的关系正确的是 () .

2.已知集合A={x|x2+x-6=0}, B={x|mx+1=0}, BA, 则实数m的取值集合是 () .

(A) 充分不必要条件

(B) 必要不充分条件

(D) 既非充分也非必要条件

(A) 1 (B) -1

5.如果命题“￢ (p∧q) ”是真命题, 则 () .

(A) 命题p, q均为假命题

(B) 命题p, q均为真命题

(D) 命题p, q中至多有一个是真命题

6.“若x, y∈R且x2+y2=0, 则x, y都为0”的否命题是 () .

(A) 若x, y∈R且x2+y2≠0, 则x, y都不为0

(B) 若x, y∈R且x2+y2≠0, 则x, y不都为0

(D) 若x, y∈R且x, y不都为0, 则x2+y2≠0

7.命题“若x>1, 则x2>1”的否定是 () .

(A) 若x≤1, 则x2≤1

(B) 若x>1, 则x2≤1

(D) ∀x>1, 使得x2≤1

(A) {a|0≤a≤3}

(B) {a|0≤a<3}

(D) {a|a<0或a>3}

9.已知集合A, B, C, A={直线}, B={平面}, C=A∪B, 若a∈A, b∈B, c∈C, 给出下列命题:

其中正确的命题的个数是 () .

(A) 1 (B) 2

10.在△ABC中, “sinA>sinB”是“cos A<cosB”的 () .

(A) 充分而不必要条件

(B) 必要而不充分条件

(D) 既不充分也不必要条件

二、填空题

12.设集合A={-1, 2, 3}, B={a+2, a2+2}, A∩B=3, 则实数a=.

14.给出下列命题:

(1) y=1是幂函数;

(3) 函数y=x3在点 (0, 0) 处的切线是x轴;

(4) 命题p:∃x∈R, 使得sinx>0, 则￢p:∀x∈R, 均有sin≤0.

其中真命题的序号是____ (写出所有真命题的序号) .

三、解答题

15.已知A={x|-1<x<4}, B={x|2a≤x≤a+3}.

(Ⅰ) 若A∪B=A, 求实数a的取值范围;

(Ⅱ) 是否存在实数a满足A∩B=A?若存在, 求a的取值范围, 否则说明理由.

16.已知a>0, 设命题p:函数f (x) =x2-2ax+1-2a在区间[0, 1]上与x轴有两个不同的交点;命题q:g (x) =|x-a|-ax在区间 (0, +∞) 上有最小值.若 (瓙p) ∧q是真命题, 求实数a的取值范围.

参考答案

【分析】以上错解忽略了集合元素的辨认, 其实集合A的元素为x, 即集合A为满足y2=x的x的范围, 集合B为满足y=x的y的范围, 而集合C为抛物线y=x2上的点.

于是p是￢q的必要不充分条件.

又p:0≤x≤1, ∴p是￢q的充要条件.

【点拨】在求￢p时, 除了在形式上对命题p进行否定外, 还需从实际意义上进行否定.

4.【错解】D.由b2=1, 得b=±1, 当b=1时, 由c2=1, 得c=±1, 这时cd=d或-d;当b=-1时, 由c2=-1, 得c=±i, 这时cd=i d或-i d.∴cd=±d或±i d.

【分析】由于忽略了集合元素的互异性而出现了上述错解, 其实只能得到b=-1, 由c2=-1得c=±i, 再结合S的性质可求得d的值, 从而得解.

【解】A.由b2=1, 得b=±1.又集合S中元素的互异性知, b=-1, 则c2=-1, ∴c=±i.当c=i时, 由集合S的性质知, bc=-i∈S, 有d=-i, 则cd=-i 2=1;当c=-i时, 由集合S的性质知, bc=i∈S, 有d=i, 则cd=-i 2=1.

∴cd=1.∴选A.

【点拨】集合元素的无序性、互异性及确定性是集合元素的三大性质, 在解题不能忽视.

5.【错解】A.由题意知, “p∧q”是假命题, 即命题p、q均为假命题, 故选A.

【分析】只有命题p, q均为真命题时, 才有“p∧q”是真命题, 若“p∧q”是假命题, 必至少有一个是假命题, 也就是命题p, q中至多有一个是真命题.

【解】D.由题意知, “p∧q”是假命题, 于是命题p, q中至少有一个是假命题, 即命题p, q中至多有一个是真命题.故选D.

【点拨】对于复合命题的真假判断, 需注意如下几点: (1) p∨q为真命题⇔p、q中至少有一个是真命题; (2) p∨q为假命题⇔p, q均为假命题; (3) p∧q为真命题⇔p、q均为真命题; (4) p∧q为假命题⇔p, q中至少有一个是假命题; (5) p为真命题⇔￢p为假命题; (6) p为假命题⇔￢p为真命题.

6.【错解】A.原命题的否命题为“若x, y∈R且x2+y2≠0, 则x, y都不为0”, 故选A.

【分析】“x, y都为0”意义为“x=0且y=0”, 其否定为“x≠0或y≠0”, 也即“x, y不都为0”.上述错解对关键词的否定不准确所致.

【解】B.原命题的否命题为“若x, y∈R且x2+y2≠0, 则x, y不都为0”, 故选B.

【点拨】需掌握如下一些关键词的否定:都是 (不都是) , 至少一个 (一个也没有) , 至多一个 (至少两个) , 至少n个 (至多n-1个) , 至多n个 (至少n+1个) , 且 (或) , 或 (且) .

7.【错解】A或B.

【分析】选A, 由于将命题的否定错误地理解为否命题而出错;选B, 由于不深入理解所给命题的意义所致.事实上, “若x>1, 则x2>1”的意思为“对于任意x>1, 则x2>1”, 属于全称命题, 其否定为“不是任意的x>1, 使得x2>1”, 即“存在x>1, 使得x2≤1”.

【解】C.由以上分析知, C正确.故选C.

【点拨】“否命题”与“命题的否定”的区别: (1) 否命题:既否定条件, 也否定结论, 如“若p, 则q”的否命题是“若￢p, 则￢q”, 多用于考虑“若p, 则q”形式的否命题;

(2) 命题的否定:只否定结论, 简记为“非p” (即瓙p) , 如“若p, 则q”命题的否定是“若p, 则￢q”, 多用于考虑“∀x, 使p”或“∃x, 使p”形式的命题的否定.

即a<0或a>3, 故选D.

【解】C.由题意可得A={x|a-1≤x<a+1}, 在数轴上表示如图所示,

则有a+1≤1或a-1>2,

∴a≤0或a>3.∴选C.

【点拨】在用数轴处理集合问题时, 需特别注意对端点值的考虑, 必要时可用特殊值加以检验.

9.【错解】B.在 (1) 中, 若c为直线, 则正确, 若c为平面, 也正确;在 (2) 中, 若c为直线, 则正确, 若c为平面, 则直线a可能在平面c内, 不能得到a∥c, ∴ (2) 错;同理可知 (3) 错;而 (4) 正确.于是只有 (1) (4) 正确, 选B.

【分析】在 (1) 中, 当c为平面时, 直线a也可能在平面c内,

【解】A.在 (1) 中, 若c为直线, 则正确, 若c为平面, 则直线a可能在平面c内, 不能得到a∥c, 故 (1) 错;同理知 (2) (3) 错;在 (4) 中, 若c为直线, 则正确, 若c为平面, 也正确.故只有 (4) 正确.∴选A.

【点拨】C=A∪B说明c可能为直线也可能为平面, 这是解决本题的突破口.在判断线面平行时, 需特别注意直线是否在平面内的情形.

10.【错解】D.由sinA>sinB得sin2 A>sin2 B, 则1-cos2 A>1-cos2 B,

有cos2 A<cos2 B, 不能得到cos A<cosB, 反之也不行, 于是选D.

【分析】事实上, 若A, B均为锐角, 由cos2 A<cos2 B得cos A<cosB;而由sinA>sinB及正弦定理知, a>b, 得B必为锐角, 当A为钝角时, 也有cos A<cosB.

【解1】C.由以上分析知, sinA>sinB⇔cos A<cosB.故选C.

【点拨】受思维定式的影响, 认为a>bA>BsinA>sinB, 而A>B不能判断cos A与cosB的大小, 而错选D.

【点拨】对于集合的元素, 需深入领会其意义才行, 有时集合代表元素的字母虽然不同, 但其实质意义却是相同的, 如本题中集合A, B虽然用了不同的字母表示, 但实质是考虑两个取值范围的交集, 其交集并非为空集.

12.【错解】1或-1.由A∩B=3得3∈B.

(1) 当a+2=3时, a=1;

(2) 当a2+2=3时, 得a=-1或a=1.

∴a=1或-1.

【分析】事实上, 当a=1时, B={3, 3}, 出现重复元素, 不合题意, 应舍去.

【解】-1.由题意可得3∈B. (1) 当a+2=3时, a=1, 这时B={3, 3}, 不合题意, 舍去;

(2) 当a2+2=3时, 解得a=-1或a=1 (舍去) , 而当a=-1时, B={1, 3}满足题意.

∴a=-1.

【点拨】集合中不能出现重复元素, 这是集合的一个重要性质:互异性, 需引起注意.

【解】充分不必要条件.结合上面的错解与分析知, 前者是后者的充分不必要条件.

【点拨】对于充要条件的推断, 需要严格地实行双向的推导, 不能草率下“反之也行”的结论, 除非确实可行.在直接论证有困难时, 可考虑给出反例, 给予否定.

【点拨】判断命题的真假时, 需要平时特别留意一些概念、定义的细节, 积累经验才能有效提高准确度.

15.【错解】 (Ⅰ) 由A∪B=A, 得B⊆A,

【解】 (Ⅰ) 由A∪B=A, 得B⊆A.

故不存在实数a, 满足A∩B=A.

【点拨】 (1) 在考虑集合的关系时, 需要特别关注空集的情形; (2) 由集合的运算判断集合间的关系时, 可结合韦恩图给予说明, 不难得到如下一些结果: (1) A∪B=A⇒B⊆A; (2) A∩B=A⇒A⊆B; (3) A∪B=A∩B⇒A=B.

16.【错解】先考虑命题￢p:函数f (x) =x2-2ax+1-2a在区间[0, 1]上与x轴没有两个不同的交点, 即f (x) 在[0, 1]上没有交点或只有一个交点, 通过数形结合、分类讨论, 陷入繁杂的讨论中, 得不到a的正确取值范围;对于命题q缺乏数形结合, 不能快速找到a的正确取值范围, 或遗漏a=1的情形.

【解】要使函数f (x) =x2-2ax+1-2a在[0, 1]上与x轴有两个不同的交点, 有

∴函数y1=- (1+a) x+a (0<x<a) 是单调递减的.

要使g (x) 在 (0, +∞) 上有最小值, 需使y2= (1-a) x-a在[a, +∞) 上单调递增或为常数, 即1-a≥0, 即a≤1.

∴当0<a≤1时, 函数g (x) 在 (0, +∞) 上有最小值.

若 (￢p) ∧q是真命题, 则￢p是真命题且q是真命题, 即p是假命题且q是真命题,

【点拨】数形结合的思路直观简捷, 且有效地降低运算量, 避免出错.

二、函数与微积分部分

一、选择题

1.设A={三角形}, B={圆}, 建立对应法则f:对三角形作外接圆, 给出下列说法:

(1) f不是A到B的映射;

(2) f是A到B的映射;

(3) f是A到B的一一映射;

(4) f是A到B的函数.

其中正确的个数是 () .

(A) 1 (B) 2 (C) 3 (D) 4

(A) 奇函数

(B) 偶函数

(D) 非奇非偶函数

(A) [0, 16] (B) [0, 2]

4. (理) 如图, 由曲线y=x2-1, 直线x=0, x=2和x轴围成的封闭图形的面积为 () .

(文) 函数f (x) =|x-2|-lnx在定义域内的零点个数为 () .

(A) 1 (B) 2 (C) 3 (D) 4

(A) [3, +∞) (B) {9}

6. (理) 函数f (x) =ln (1-x) +x的递增区间是 () .

(A) (-∞, 1) (B) (-∞, 0)

(文) 若函数f (x) =2x2-lnx在其定义域内的一个子区间 (k-1, k+1) 内不是单调函数, 獉则实数k的取值范围是 () .

(A) 2.5 (B) 3.5

9.记实数a, b, c中的最大数为max{a, b, c}, 最小数为min{a, b, c}, 当x≥0时, max{min{2x, x+2, 10-x}}= () .

(A) 4 (B) 5 (C) 6 (D) 7

(A) 0 (B) 1

二、填空题

12.已知函数f (x) =ln (x2+ax+1) 的定义域为R, 函数g (x) =ln (x2+x+a) 的值域为R, 则实数a的取值范围是_____.

14.给出下列命题:

(2) 若函数f (x) 满足f (x+1) =f (3-x) , 则f (x) 的图象关于直线x=2对称;

(3) 函数y=f (x+1) 与函数y=f (3-x) 的图象关于直线x=2对称;

(4) 若函数f (x+2014) =x2-2x-1 (x∈R) , 则f (x) 的最小值为-2.

其中正确命题的序号有_____ (把所有正确命题的序号都写上) .

三、解答题

(Ⅰ) 若∃x1∈[0, 3], ∀x2∈[1, 2], 使得f (x1) =g (x2) , 求实数m的取值范围;

(Ⅱ) 若∀x1∈[0, 3], ∃x2∈[1, 2], 使得f (x1) ≥g (x2) , 求实数m的取值范围;

(Ⅲ) 若∀x1∈[0, 3], ∀x2∈[1, 2], 使得f (x1) ≥g (x2) , 求实数m的取值范围;

(Ⅳ) 若∃x1∈[0, 3], ∃x2∈[1, 2], 使得f (x1) ≥g (x2) , 求实数m的取值范围.

16.已知曲线C:f (x) =x3-x+2.

(Ⅰ) 求在点P (1, 2) 处的曲线C的切线獉方程;

(Ⅱ) 求经过点P (1, 2) 的曲线C的切线獉方程.

(Ⅰ) 若y=1是f (x) 的切线, 求a的值;

(Ⅱ) 若a+b=0, c=1, 设函数h (x) =g (x) -f (x) , 若h (x) 在[1, e]上单调递增, 求实数a的取值范围.

18.已知函数f (x) =ax2-ex (a∈R) 有两个极值点x1, x2 (x1<x2) .

(Ⅰ) 求实数a的取值范围;

参考答案

1.【错解】C.由于对映射与函数的概念模糊, 误认为 (2) (3) (4) 均正确, 而错选C.

【分析】A到B的映射是指:A中的每一个元素在B中都可以找到唯一的一个元素与之对应;A到B的一一映射是指:既是A到B的映射, 又是B到A的映射, 即A与B之间的元素一一对应;A到B的函数是指:对于两个非空数集A, B, A中的每一个元素x在B中都可獉獉以找到唯一的一个元素y与之对应.

【解】A.由于每一个三角形都有唯一一个外接圆, 于是 (1) 错, (2) 对;反之, 每一个圆有无数个内接三角形, 故 (3) 错;由于A, B不是数集, 故 (4) 错.所以只有 (2) 正确, 故选A.

【点拨】映射与函数的概念是函数的基础, 需特别注意其联系与区别, 函数是一种特殊的映射.

【点拨】运用“微积分基本定理”, 即“原函数法”法计算定积分时, 需准确地找到被积分函数的原函数, 必要时可实施求导, 反过来验证所找的原函数是否正确.

【分析】ln2x=xln2为恒等变形, 但lnx2=2lnx不再是恒等变形, 在lnx2中x的取值范围是x<0或x>0, 而在2lnx中x的取值范围是x>0, 由于在变形中实施的不是恒等变形, 便出现了错解.

即f (x) 为奇函数.

【点拨】在考虑复合函数f[g (x) ]与f[h (x) ]的定义域时, 需注意: (1) f[g (x) ]的定义域是x的取值范围, f[h (x) ]的定义域也是x的取值范围; (2) f[g (x) ]与f[h (x) ]中, g (x) 与h (x) 有相同的取值范围.它们是解决此类问题的依据.

【点拨】计算曲边形的面积时, 可以用定积分计算, 但需弄清楚其原理, 求曲边形的面积时, 若从左到右实施积分, 被积函数需为“上函数”-“下函数”, 必要时需运用“割补法”计算.

(文) 【错解】A.由f (1) =|1-2|-ln1=1>0, f (2) =|2-2|-ln2=-ln2<0, 得f (x) 只有1个零点.故选A.

【分析】在尚不明确f (x) 的单调性的情况下, 由f (1) f (2) <0只能得到f (x) 在 (1, 2) 上至少有1个零点, 并不能得到f (x) 在 (1, 2) 上只有1个零点.

【解1】B.当0<x<2时, f (x) =2-xlnx为减函数, 而f (1) =1>0, f (2) =-ln2<0, 得f (x) 在 (0, 2) 上仅有1个零点.

∴f (x) 在 (2, +∞) 上也仅有1个零点,

∴f (x) 在定义域内仅有2个零点.

【解2】B.由f (x) =0得|x-2|=lnx, 在同一直角坐标系中画出y=|x-2|与y=lnx的图象知, 其有两个不同的交点, 交点的横坐标为方程|x-2|=lnx的根, 也即f (x) 的零点,

∴f (x) 在定义域内仅有2个零点.

【点拨】运用“函数零点定理”判断函数的零点时, 只能判断函数零点的存在性, 并不能确定函数零点的具体个数, 若要求其确切个数, 还需结合函数的单调性.另外, 图象法也是研究函数零点个数的有效方法.

当c>0时, 由以上分析可知,

解之, 得6≤c≤12.

又x∈N*,

∴当x=1, 2时, c≥3x, 有c≥32=6;

当x=3时, 显然成立;

当x≥4时, c≤3x, 有c≤34=12.

故6≤c≤12.

【点拨】“对号函数”的图象与性质是高考的热点, 需熟练掌握.在处理问题的过程中, 要加强审题能力的培养, 当遇到与我们平时熟知的情况有差异时, 需对所掌握的知识、方法重组才能更好地解决问题.

∴x<1或x>2, 又f (x) 的定义域为1-x>0, 即x<1, 故选A.

【点拨】在计算函数的导数时, 需注意复合函数导数的计算, 即[f (g (x) ) ]′=f′[g (x) ]g′ (x) .

【分析】上述错解由于忽略了函数的定义域而致错, 其实还应考虑0≤k-1, 即k≥1.

【点拨】研究函数的性质 (奇偶性、单调性、对称性) 时, 须注意函数的定义域, 特别是一些隐含型函数的定义域, 如在y=lnx中, 有x>0.

7.【错解】缺乏运用数形结合思想解题的意识, 由-x2+2x=x2-2x解得x=0或x=2, 得a=0, b=2, 而求不到c的取值范围, 从而求不到a+b+c的取值范围.

【解】D.函数f (x) 的图象如图所示, 不妨设a<b<c.

【点拨】数形结合是将抽象问题直观化、快速寻找解题思路及有效降低运算量的好方法.

8.【错解】B.由题设可得f (x) 是以4为周期的周期函数, 则f (2015.5) =f (3.5) =3.5.

∴f (x) 是以4为周期的周期函数,

则f (2015.5) =f (4503+3.5) =f (3.5) =f (3.5-4) =f (-0.5) .

9.【错解】A.取x=2, 得max{min{4, 6, 8}}=max{4}=4, 故选A.

【分析】错解还未能深入理解题意的两个定义, 其实当x取定一个值时, 2x, x+2, 10-x均为确定的值, 其中最小的为min{2x, x+2, 10-x}, 其取值随x的变化而变化, 可记作f (x) =min{2x, x+2, 10-x}, x≥0, 再求f (x) max即可, 可采用数形结合解决问题.

【解】C.设f (x) =min{2x, x+2, 10-x}, x≥0, 如右图, 函数y=2x, y=x+2, y=10-x的大致图象分别为 (1) , (2) , (3) , 于是f (x) 的图象为图中实线部分, 则f (x) max=f (4) =6.

【点拨】对于新定义问题, 理解题意是关键, 必要时可以运用“数形结合”或“特殊值法”理解题意.

10.【错解1】D.由f′ (x) =x2 (x-1) =0得x=0或x=1.当x<1时, f′ (x) ≤0, f (x) 单调递减;当x>1时, f′ (x) >0, f (x) 单调递增.

【错解2】C.由f′ (x) =x3-x2=x2 (x-1) =0得x=0或x=1,

∴f (x) 的极值点是x=0或x=1.

【分析】由于审题失误, 错解1把求“极值点”看成了求“极值”, 且f′ (x) ≤0也不能说f (x) 为减函数, 需增加“仅存在一些离散点使得f′ (x) ≤0的等号成立”的注明, 才能说明f (x) 的单调性.由于忽略了可导函数存在极值的充要条件为f′ (x0) =0且f′ (x) 在x=x0附近变号, 从而出现了错解2.

【解】B.f′ (x) =x2 (x-1) , 令f′ (x) =0得x=0或x=1.

当x<1时, f′ (x) ≤0, 仅当x=0时取等号, f (x) 在 (-∞, 1) 上单调递减;

当x>1时, f′ (x) >0, f (x) 在 (1, +∞) 上单调递增.

∴x=1是f (x) 的极大值点.故选B.

【点拨】 (1) x=x0是可导函数f (x) 存在极值点f′ (x0) =0且f′ (x) 在x=x0附近变号; (2) 可导函数f (x) 满足f′ (x) >0 (<0) f (x) 为增 (减) 函数; (3) f (x) 为增 (减) 函数f′ (x) ≥0 (≤0) 恒成立, 且f′ (x) =0.

【分析】上述解法忽略了x<1时, 即x-1<0时的情形.

∴所求函数的值域为 (-∞, -1]∪[3, +∞) .

当x<0或x>2时, y′>0, y为增函数, 当0<x<1或1<x<2时, y′<0, y为减函数, 而x=0时, y=-1, x=2时, y=3, 则所求函数的值域为 (-∞, -1]∪[3, +∞) .

【点拨】在应用基本不等式求最值时, 需注意“一正, 二定, 三相等”这三个条件缺一不可.在运用导数求值域时, 不能忽略函数的定义域.

【分析】g (x) =ln (x2+x+a) 的值域为R, 得到的是t=x2+x+a中的t (即lnt) 需取完所有的正数, 所以t=x2+x+a的图象与x轴至少有交点, 否则有部分正数取不到, 于是要求其Δ≥0.

【点拨】函数y=lnt的定义域为R要求t>0, 函数y=lnt的值域为R要求t能取遍所有的正实数.

【分析】由于套用结论“f (x) 在[a, b]上为增函数f′ (x) ≥0恒成立”, 易错得m≥1.这个结论其实是不严密的、错误的, 还需考虑f′ (x) =0的情形.

∴m>1.

【点拨】f (x) 在[a, b]上为增函数f′ (x) ≥0恒成立, 且在[a, b]上任一子区间f′ (x) =0.考虑f′ (x) ≥0时, 还应注意是否会出现f′ (x) ≡0的情形.

【解】 (1) (2) (4) .由以上的错解及分析知, 正确的有 (1) (2) (4) .

【点拨】关于函数图象的对称性有如下结论:

(1) 函数自身的对称性:

【分析】以上错解中, (Ⅰ) (Ⅱ) 是对的, 但 (Ⅲ) (Ⅳ) 对条件的理解有误, 致使解题有误.

【解】 (Ⅰ) (Ⅱ) 同上述错解.

【点拨】将“存在性问题”与“恒成立问题”转化为最值问题是处理这类问题的常用方法, 但应注意的是用最大值还是用最小值.

16.【错解】 (Ⅰ) 由f′ (x) =3x2-1, 得f′ (1) =2, 于是所求的切线方程为y-2=2 (x-1) , 即y=2x.

(Ⅱ) 同 (Ⅰ) 得所求的切线方程为y=2x.

【分析】 (Ⅱ) 中错将P作为切点求解, 而只得切线y=2x, 其实点P不一定是切点, 于是切线的斜率k不一定只有f′ (1) .比如, 如图所示, 当0≤x≤2π时, 正弦曲线y=sinx在点P处的切线只有一条:l1;而经过点P的切线却有两条:l1与l2.在解题中, 多归纳、总结, 形成解题经验, 是好事, 但是过分就不好, 具体问题具体分析才是硬道理.

【解】 (Ⅰ) 同上述错解.

(Ⅱ) 设经过点P (1, 2) 的直线与曲线C相切于点 (x0, y0) , 则由f′ (x) =3x2-1知, 曲线在点 (x0, y0) 处的斜率k=f′ (x0) =3x20-1, 有在点 (x0, y0) 处的切线的方程为y-y0= (3x20-1) (x-x0) .

又 (x0, y0) 与点P (1, 2) 均在曲线C上, 有

【点拨】切点是解决曲线的切线问题的关键, 可以说曲线的切线问题就是切点问题.当题中出现切点时, 如 (Ⅰ) , 可运用切点直接求解.若题中还未出现切点, 则需先设出切点, 紧紧围绕切点列方程组解出切点, 这时可考虑切点“三用”:一是由切点写出切线方程, 二是将切点代入切线, 三是将切点代入曲线.切点求出后问题就迎刃而解了.

由h (x) 在[1, e]上单调递增知, h′ (x) ≥0在[1, e]上恒成立, 即-ax2+2x+a≥0.

令y=-ax2+2x+a, 结合二次函数的图象讨论y≥0在[1, e]上恒成立, 由于分类讨论较繁杂而得不到正确的结果.

【分析】 (Ⅰ) 题中未出现切点, 需设出切点 (x0, y0) , 再联立方程组求切点坐标, 进而求a的值; (Ⅱ) 因-ax2+2x+a≥0易于分离a与x, 故用分离参数法更为方便.

由h (x) 在[1, e]上单调递增知, h′ (x) ≥0在[1, e]上恒成立, 即-ax2+2x+a≥0.

当x=1时, -ax2+2x+a=2≥0成立,

【点拨】分类讨论法与参数分离法均为求参数取值范围的常用方法, 但要结合试题的实际情况, 采用最方便的方法.一般而言, 若易于分离参数, 用参数分离法较为简便, 否则, 需采用分类讨论法, 数形结合地解决问题.

18.【错解】 (Ⅰ) 由题意可得f′ (x) =2axex, 则方程2ax-ex=0有两不相等的实数根x1, x2 (x1<x2) , 则Δ= (2a) 2-4 (-1) 0>0, 得a2>0, 有a<0或a>0.

【分析】 (Ⅰ) 并非一元二次方程, 根的判断不能再用判别式Δ来判定, 这时需实施变量分离, 再结合函数的图象来处理问题; (Ⅱ) 先用x1表示a, 将f (x1) 转化为关于x1的函数, 结合x1∈ (0, 1) 及函数的单调性、最值给出证明.

【解】 (Ⅰ) 由f (x) =ax2-ex (a∈R) , 得f′ (x) =2ax-ex, 而x1, x2 (x1<x2) 是f (x) 的两个极值点, 则x1, x2是方程f′ (x) =0的两个根, 即2ax-ex=0有两个实根x1, x2.

又x=0显然不是该方程的根,

当x<0时, g (x) <0且g′ (x) <0, g (x) 单调递减, 当x>0时, g (x) >0,

【点拨】先将参数分离, 再构造函数, 判断函数的单调性, 求其极值、最值, 通过图象找交点是解决研究方程的实根 (或函数的零点) 的常用方法.通过构造函数, 判断函数的单调性, 求其极值、最值, 通过最值证明不等式是一种常用的证明不等式的方法.

三、三角函数部分

一、选择题

1.已知角α的正弦线是单位长度的有向线段, 那么角α的终边在 () .

(A) x轴上 (B) y轴上

2.函数f (x) =tanxcosx的值域是 () .

(A) [-1, 1] (B) (-1, 1)

3.把函数y=sinx的图象 () , 可得到函数y=cosx的图象.

(D) 向左平移π个单位

(A) (-∞, -2]∪[2, +∞)

(B) (-∞, -2]

8.在△ABC中, 若b2=ac, 则cos (A-C) +cosB+cos2B的值为 () .

(A) 最大值为2

(B) 最小正周期为π

二、填空题

11.已知f (cosx) =sin2 x, 则f (x) =_____.

14.在△ABC中, 已知A=45°, b=1, 且△ABC仅有一解, 则a的取值范围是_____.

三、解答题

15.已知函数y=Asin (ωx+φ) (x∈R, ω>0, |φ|<π) 的部分图象如图1所示.

(Ⅰ) 求函数f (x) 的解析式;

(Ⅰ) 求角C的大小;

(Ⅰ) 求函数f (x) 的解析式;

(Ⅱ) 判断函数f (x) 在 (0, π) 内的零点个数, 并加以证明.

参考答案

1.【错解】C.由于对正弦线的概念没有印象, 随意猜一个了事, 如选C.

【解】B.由上面的分析知, 角α的终边在y轴上, 故选B.

【点拨】同理可得余弦线cosα=OA, 正切线tanα=NT (NT与单位圆相切于点N) , 于是可得如下与本题类似的问题:

(1) 角α的余弦线是单位长度的有向线段, 那么角α的终边在x轴上;

(2) 角α的正切线是单位长度的有向线段, 那么角α的终边在直线y=x上.

【分析】其实以上错解中需注意cosx≠0, 有sin2 x=1-cos2 x≠1, 即sinx≠±1.

【解】B.由以上错解及分析知, f (x) =sinx∈ (-1, 1) .故选B.

【点拨】求函数的值域时需关注其定义域, 特别是一些“隐含性”的定义域.

【点拨】对于函数图象的平移与伸缩问题, 我们可用如下的“代换法”处理:

(1) 平移:把函数y=f (x) 的图象向右平移a个单位, 向上平移b个单位得y-b=f (xa) , 如把函数y=sin2x的图象向右平移1个单位得y=sin2 (x-1) , 即y=sin (2x-2) , 把函数y=sin2x的图象向左平移1个单位得y=sin2[x- (-1) ]=sin2 (x+1) , 即y=sin (2x+2) .

【点拨】运用诱导公式化简时, 无论α为什么角, 都要将α看成锐角, 再实施化简.

【分析】cos A与sinA存在隐含关系cos2 A+sin2 A=1, 因而在0<cos A≤1, 0<sinA≤1中两个等号不能同时成立, 不能出现y=2.

【点拨】由cos2α+sin2α=1可得到三个很有用的公式: (sinα+cosα) 2=1+2sinαcosα, (sinα-cosα) 2=1-2sinαcosα, (sinα+cosα) 2+ (sinα-cosα) 2=2, 它们可以紧紧地将sinα+cosα, sinα-cosα, sinαcosα联系在一起.

8.【错解】由b2=ac得sin2 B=sinAsinC, 则原式=cos AcosC+sinAsinC+cosB+cos2B=cos AcosC+sin2 B+cosB+2cos2 B-1=cos AcosC+cosB+cos2 B=无法再往下化简.

【分析】上述错解是由于对三角形中隐含条件掌握不熟练引起的, 事实上可以继续往下化简, cos AcosC-cos (A+C) +cos2 B=sinAsinC+cos2 B=sin2 B+cos2 B=1.

【解】A.由b2=ac及正弦定理得sin2 B=sinAsinC, 则原式=cos AcosC+sinAsinC+cos[π- (A+C) ]+cos2B=cos AcosC+sinAsinC-cos (A+C) +cos2B=2sinAsinC+2cos2 B-1=2sin2 B+2cos2 B-1=1.故选A.

【点拨】在一些三角化简求值问题中, 有些角的范围可以估算得更为“精确”, 这需要将一些角的范围与其三角函数值结合在一起考虑.

【分析】事实上可从sin4 x=sin2 xsin2 x=sin2 x (1-cos2 x) 入手, 恰当运用二倍角公式cos2α=2cos2α-1=1-2sin2α, sin2α=2sinαcosα进行“降次”或“合并角”即可化简f (x) .

【点拨】二倍角公式cos2α=cos2α-sin2α=2cos2α-1=1-2sin2α, sin2α=2sinαcosα及其变形是历年高考的热点, 要熟练运用这两组公式, 既能“顺向”应用, 也能“逆向”运用.

11.【错解】f (x) =1-x2.由cosx=x得sin2 x=1-cos2 x=1-x2, 即f (x) =1-x2.

【分析】以上错解存在两处错误:一是概念上的错误, 即cosx=x, 其实此处只能说cosx相当于x, 并非cosx=x;二是对函数f (x) =1-x2需注明定义域.

【解】f (x) =1-x2 (-1≤x≤1) .令t=cosx, 则f (t) =1-cos2 x=1-t2, 且-1≤t≤1, 即f (x) =1-x2 (-1≤x≤1) .

【点拨】换元法是求函数解析式的一种常用方法.在求函数的解析式时, 别忘了注明其定义域, 而当定义域为R时, 也可省略不写.

【点拨】用基本不等式求函数的最值时, 需特别检验其等号成立的条件, 当发现等号取不到时, 则要化归为研究函数的单调性求函数的最值.

又0<sinA<1, 0<sinB<1,

【分析】在∠B=60°的条件下, 需满足A+C=120°, 用0<sinA<1, 0<sinB<1求sinA+sinC时, 已将范围放得过大, 另外a+c=2RsinA+2RsinC≠sinA+sinC.

【点拨】处理解三角形问题时, 需注意隐含条件A+B+C=π, 且A, B, C∈ (0, π) .另外, 在运用正弦定理解决问题时, 可实现边与角之间的转换a=2RsinA, b=2RsinB, c=2RsinC, 有a∶b∶c=sinA∶sinB∶sinC, 但a+c≠sinA+sinC.

【分析】△ABC仅有一解, 应有0<B≤45°或B=90°, 原因是当B在 (0, 45°]上有一解时, 在[135°, 180°) 上不再有解, 若B∈[135°, 180°) , 必有A+B>180°, 这时B在 (0, 45°]上有唯一解.若B (45°, 135°) 上有一解, 必还有另一个角, 这时△ABC有两解, 不再满足题意.

【点拨】讨论三角形的解的个数时, 通常有三种方法:一是数形结合法, 如解1, 抓住一边上的高讨论解的个数;二是用正弦定理讨论, 如解2, 抓住角的范围讨论角的存在个数;三是用余弦定理讨论, 若知两边及一个角 (非夹角) , 可设出另一边, 建立方程, 讨论该方程解的个数, 进而讨论三角形解的个数.

(2) 混淆 (Ⅱ) 与 (Ⅲ) 的作图区别而出错.

【解】 (Ⅰ) 由题设图象知,

2x, x与f (x) 的对应值如下:

【分析】 (Ⅰ) 中错用了公式cos (α-β) =cosαcosβ+sinαsinβ; (Ⅱ) 【错解1】中还未能深入理解题意用好所给的条件, 【错解2】中忽略了θ的取值范围 (0, π) .

【点拨】求函数f (x) =Asin (ωx+φ) (A>0, ω>0) 在指定区间 (a, b) (或闭区间或半开闭区间) 上的单调性或最值时, 常用换元法令t=ωx+φ, 再结合函数y=sint的图象求解.

【分析】 (Ⅰ) 中忽略条件a2+b2<c2 (C为钝角) , 这也导致了 (Ⅱ) 的错解.

由正弦定理知,

【点拨】解答三角函数问题或解三角形问题时需注意函数的定义域或角的取值范围, 有些是直接给出的, 有些是隐性给出的, 若忽略定义域或角的取值范围, 常出现错误.

∴f (x) 在 (0, π) 内没有零点.

f′ (x) =sinx+xcosx.

∴函数f (x) 在 (0, π) 内仅有两个零点.

【点拨】求函数f (x) 在区间[a, b]上的零点个数, 步骤如下: (1) 判断f (x) 在区间[a, b]上的单调性; (2) 计算端点值f (a) , f (b) 及极值; (3) 画出f (x) 在[a, b]上的图象; (4) 结合函数的零点定理确定f (x) 在区间[a, b]上的零点个数.

四、平面向量部分

一、选择题

1.对于任意向量a, b, c, 给出下列说法:

(1) 若|a|=|b|, 则a=b或a=-b;

(2) 若a∥b, b∥c, 则a∥c;

(3) 若a≠0, 且ab=ac, 则b=c;

(4) a2=|a|2;

(5) (ab) c=a (bc) ;

(6) (ab) c≠a (bc) ;

(7) “a=λb”是“a, b共线”的充要条件, 其中λ∈R.

其中正确的个数是 () .

(A) 1 (B) 2 (C) 4 (D) 6

(A) 1 (B) -1

4.若向量a= (1, 2) 与b= (2, k) 的夹角为锐角, 则k的取值范围是 () .

(A) (-1, +∞)

(B) (-1, 4)

(D) (4, +∞)

5.已知a= (-3, 1) , b= (1, -2) , (2a-b) ⊥ (a+kb) , 则实数k的值是 () .

(A) 充分不必要条件

(B) 必要不充分条件

(D) 既不充分也不必要条件

(A) 45° (B) 60°

其中恒成立的个数有 () .

(A) 1 (B) 2 (C) 3 (D) 4

二、填空题

11.若向量a= (x, 2x) , b= (-3x, 2) , 且a, b的夹角为钝角, 则x的取值范围是_____.

三、解答题

15.如图4, 菱形ABCD的边长为1, 且∠D=120°, 点E, F分别是AD, DC的中点, BE, BF分别与AC交于点M, N.

(Ⅰ) 求AC的值;

(Ⅱ) 求MN的值.

(Ⅰ) 若△ABC为直角三角形, 求k的值;

(Ⅱ) 若△ABC为等腰直角三角形, 求k的值.

参考答案

1.【错解】D.由|a|=|b|得a=±b, ∴ (1) 正确;由a∥b得a=λ1b, 而b∥c, 得b=λ2c, 其中λ1, λ2∈R, 则a=λ1λ2c, 于是a∥c, ∴ (2) 正确;∵a≠0, 由ab=ac得b=c, ∴ (3) 正确;由a2=|a||a|cos0=|a|2, ∴ (4) 正确;∵ab与bc均为常数, 当c与a方向不同时, 不能得到 (ab) c=a (bc) , ∴ (5) 错;由 (5) 错知, (6) 正确;由a=λb⇔a、b共线, ∴ (7) 正确.于是只有 (5) 错误, 其余6个均正确.

【分析】|a|=|b|只能得到a与b的长度相等, 不能确定方向相同或相反, ∴ (1) 错;当b=0时, 不能得a∥c, ∴ (2) 错;由ab=ac得a (b-c) =0, 只能得到a⊥ (b-c) , 并不能得到b-c=0, 即不能得到b=c, (3) 错; (4) 正确; (5) 错;当c=a (必有ab=bc) 时, (ab) c=a (bc) , ∴ (6) 错;a=λba, b共线, 反之, 当a, b共线时, 若a≠0, b=0, 则不存在实数λ, 使得a=λb, ∴ (7) 错.

【解】A.结合错解及上面的分析知, 只有 (4) 正确, 其余6个均错.故选A.

【点拨】考虑平面向量问题时, 需注意三个方面:一是向量的方向, 二是向量的大小, 三是零向量要检验.

【分析】由于对向量投影的概念模糊, 出现了投影应为正数的误解, 从而出错, 其实一个向量a在另一向量b上的投影为|a|cosθ, 它是一个实数, θ为a与b的夹角.

【点拨】两向量夹角的特征是这两向量有相同的起点, 忽略了这一点, 易使得解题出错.

解之, 得k>-1.故选A.

【分析】对错解1而言, cosθ>0并不能说明a与b的夹角θ为锐角, 当θ=0时 (a与b同向) , 也有cos0=1>0, 应予以排除;错解2的方法是正确的, 但容易引出比较复杂的不等式, 容易在解不等式处出错, 故应避免运用这种方法解答该类问题.

解之, 得k>-1有k≠4.故选C.

【点拨】先解不等式cosθ>0 (cosθ<0) , 再排除a与b同向 (反向) , 是考虑a与b的夹角为锐角 (钝角) 问题的上策.

5.【错解】B.∵ (2a-b) = (-7, 4) , (a+kb) = (-3+k, 1-2k) , (-2a+b) ⊥ (a+kb) , 得-7 (-3+k) +4 (1-k) =0,

【分析】 (-2a+b) ∥ (a+kb) 应得7 (1-2k) - (-3+k) (-4) =0, 而不是7 (-3+k) + (-4) (1-k) =0.

【解】A.∵ (2a-b) = (-7, 4) , (a+kb) = (-3+k, 1-2k) , (-2a+b) ⊥ (a+kb) , 得-7 (-3+k) - (1-2k) 4=0,

【点拨】设a= (x1, y1) , b= (x2, y2) , 则 (1) a∥bx1y2-x2y1=0, (2) a⊥bx1x2+y1y2=0, 这是两个常考而又易混淆的结论.

【解】A.由以上分析知, A正确.故选A.

【点拨】A, B, C三点共线⇔λ+μ=1, 还需注意如下细节:

(2) 当λ, μ∈ (0, 1) 时, 点C在线段AB上;

(3) 当λ<0, μ>1 (λ>1, μ<0) 时, 点C在线段BA (AB) 的延长线上.

【解】D.由上述错解及分析知, 正确选项为D.∴选D.

【点拨】考虑两个向量的夹角时, 需特别注意的是方向, 必要时可将向量进行平移, 使得其起点为同一点, 才便于找到两个向量的夹角.

8.【错解】A.由余弦定理得

∴f (m) 的最大值为0.

【点拨】若能将向量问题坐标化, 转化为代数运算, 常可达到化抽象为具体的目的.

【点拨】从新定义出发, 理解所给出的新定义, 并区别新定义与我们所学习的知识与方法之间的联系和区别, 是解决这类问题的关键.另外, 在处理运算量较大的问题时, 需注意观察, 如本题的错解中对 (4) 的判断是正确的, 但是运算量较大, 容易出错.

11.【错解】∵a, b的夹角为钝角, ∴ab=x (-3x) +2x2=-3x2+4x<0.

【分析】只由a, b的夹角为钝角得到ab<0, 但a, b的夹角为180°时也有ab<0, 从而扩大x的范围, 导致错误.

由 (1) , (2) 得x的范围是

【点拨】两向量夹角θ的取值范围是[0, π], 当θ=π时, 有cosπ=-1<0, 此时非零向量a, b仍满足ab<0, 因此ab<0是两非零向量a, b的夹角为钝角的必要不充分条件.事实上, 两非零向量a, b的夹角为钝角的充要条件是ab<0且两向量不共线.

【点拨】解1通过补形, 将图形补充得更完整, 从整体的高度解决问题.而解2从局部出发, 通过添加平行线, 沟通线段间的长度比例关系.这两种方法均为处理向量问题的有效方法.

13.【错解】-2.由 (a+b) ⊥ (a-b) , 得

(a+b) (a-b) =0, 则a2=b2,

∴ (m+1) 2+ (-3) 2=12+ (m-1) 2.

解之, 得m=-2.

【分析】以上得到的结果虽然正确, 但解法对题意的理解不够深入, 解法中还未能体现条件“i, j是互相垂直的单位向量”, a2=[ (m+1) i-3j]2=[ (m+1) i]2-23 (m+1) ij+ (-3j) 2, 于是a2= (m+1) 2+ (-3) 2, 同理得b2=12+ (m-1) 2.

【解】-2.由题意得 (a+b) (a-b) =[ (m+2) i+ (m-4) j][mi- (m+2) j]= (m+2) m- (m-4) (m+2) =4m+8=0,

故m=-2.

【点拨】“方向”与“长度”是研究向量的关键, 若直接代入平面向量基本定理, 有时运算量较大, 但若能从图形结构快速找到长度关系, 则可降低运算量, 如分析中的 (Ⅱ) , 由△CNF∽△ANB即可找到CN与AC的比例关系.

(Ⅱ) ∵△ABC为等腰直角三角形,

解之, 得k=1.

【分析】 (Ⅰ) △ABC为直角三角形, 有三种可能:∠A=90°, ∠B=90°或∠C=90°, 以上解法只讨论了其中∠A=90°的一种情形; (Ⅱ) △ABC为等腰直角三角形, 也需分三种情况讨论.

(1) 若∠A=90°, 则→→AB⊥AC (2-k, -1) (1, k) =0, ∴k=1; (→2) 若∠B=90°, 则→AB⊥BC (2-k, -1) (k-1, k+1) =0, 得k2-2k+3=0无解; (3) 若∠C=90°, 则→→AC⊥BC (1, k) (k-1, k+1) =0, 得k2+2k-1=0, ∴k=-1±槡2.

综上所述, 当k=1时, △ABC是以BC为斜边的等腰直角三角形.

【点拨】对一些问题不够明确时, 我们不能“想当然”地强加一些条件而解题, 若要加, 必须在设计好完整的讨论方案与思路的情况下, 然后再一一地详尽讨论.