2015广西考研数学二真题及答案

2015 广西考研数学二真题及答案一、选择题:18 小题,每小题 4 分,共 32 分.下列每题给出的四个选项中,只有一个选项符合题目要求的,请将所选项前的字母填在答题纸指定位置上.(1) 下列反常积分收敛的是 ( )(A) (B) (C) (D) 【答案】(D)【解析】，则.(2) 函数 在内 ( )(A) 连续 (B) 有可去间断点(C) 有跳跃间断点(D) 有无穷间断点【答案】(B)【解析】，，故有可去间断点.(3)设函数,若在处连续则:( )(A) (B)(C) (D)【答案】(A)【解析】时，时，在处 连 续 则 ：得得：，答案选择 A(4)设函数在内连续，其中二阶导数的图形如 图 所 示 ， 则 曲 线的 拐 点 的 个 数 为 ( )(A) (B) (C) (D) 【答案】(C)【解析】根据图像观察存在两点，二阶导数变号.则拐点个数为 2 个。 (5) 设函数满足 ，则与 依次是 ( )(A) (B) (C) (D) 【答案】(D)【解析】此题考查二元复合函数偏导的求解.令，则，从而变为.故，因而.故选（D）.(6)设是第一象限由曲线，与直线，围 成 的 平 面 区 域 ， 函 数在上 连 续 ， 则 ( )(A) (B)(C) (D) 【答案】(B)【解析】根据图可得，在极坐标系下计算该二重积分的积分区域为所以故选 B. (7) 设矩阵,.若集合，则线 性 方 程 组有 无 穷 多 解 的 充 分 必 要 条 件 为 ： ( )(A) (B) (C) (D) 【答案】D【解析】，由，故或，同时或。故选（D）(8) 设二次型在正交变换下的标准形为， 其 中， 若则在 正 交 变 换下 的 标 准 形 为 ： ( )(A) (B) (C) (D) 【答案】(A)【解析】由，故.且.所以。选（A）二、填空题：914 小题,每小题 4 分,共 24 分.请将答案写在答题纸指定位置上. (9) 则 【答案】48【解析】 . (10)函数在处的阶导数_________【答案】【解析】根据莱布尼茨公式得：(11) 设连 续 ，， 若， 则【答案】【解析】 已知，求导得，故有则. (12)设函数是微分方程的解，且在处取得极值 3，则=。【答案】【解析】由题意知：，，由特征方程：解得所以微分方程的通解为：代入，解得：解得：(13)若函数由方程确定，则=。【答案】【 解 析 】 当时， 则 对 该 式 两 边 求 偏 导 可 得。将（0,0,0）点值代入即有则可得(14) 若阶矩阵的特征值为，，其中为阶单位阵，则行列式.【答案】21【解析】的所有特征值为的所有特征值为所以。三、解答题：15～23 小题,共 94 分.请将解答写在答题纸指定位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.(15) (本题满分 10 分）设 函 数，. 若与在时是等价无穷小，求的值. 【答案】【解析】方法一：因为，，那么，可得：，所以，．方法二：由题意得1=limx→0f ( x)g( x)=limx→0x+aln(1+x)+bx sin xkx3=limx→01+ a1+x +bsin x+bx cos x3kx2由 分 母limx→0 3kx2=0， 得 分 子limx→0(1+ a1+x +bsin x+bx cos x)=limx→0(1+a)=0，求得 c；于是1=limx→0f ( x)g( x) =limx→01− 11+x +bsin x+bx cos x3kx2=limx→0x+b(1+x)sin x+bx(1+x)cos x3kx2（ 1+x ）=limx→0x+b(1+x)sin x+bx(1+x)cos x3kx2=limx→01+bsin x+b(1+x)cos x+b(1+x)cos x+bx cos x−bx(1+x)sin x6kx由分母limx→0 6 kx=0，得分子limx→0[1+bsin x+2b(1+x)cos x+bx cos x−bx(1+x)sin x ]=limx→0(1+2bcos x)=0，求得b=−12 ；进一步，b 值代入原式1=limx→0f ( x)g( x) =limx→01−12 sin x−(1+x)cos x−12 x cos x+ 12 x(1+x)sin x6kx=limx→0−12 cos x−cos x+(1+x)sin x−12 cos x+ 12 x sin x+ 12 (1+x)sin x+ 12 x sin x+ 12 x(1+x)cos x6k=−126k ，求得k=−13 .(16) (本题满分 10 分)设 A>0，D 是由曲线段及直线，所围成的平面区域，，分别表示 D 绕轴与绕轴旋转成旋转体的体积，若，求 A 的值。【答案】【解析】由旋转体的体积公式，得V 1=∫0π2 πf 2( x)dx =∫0π2 π( A sin x)2dx =πA2∫0π2 1−cos2 x2dx = π2 A24V 2=∫0π2 2π xf ( x)dx =−2...