2010年全国卷ⅠⅠ高考理科数学真题及答案

2010 年全国卷ⅠⅠ高考理科数学真题及答案第 I 卷一．选择题（1）复数（A） （B） （C） （D）（2）函数的反函数是（A） （B）（C） （D）（3）若变量满足约束条件则的最大值为（A）1 （B）2 （C）3 （D）4（4）如果等差数列中，，那么（A）14 （B）21 （C）28 （D）35（5）不等式的解集为（A） （B）（C） （D）（6）将标号为 1，2，3，4，5，6 的 6 张卡片放入 3 个不同的信封中．若每个信封放 2 张，其中标号为 1，2 的卡片放入同一信封，则不同的方法共有（A）12 种 （B）18 种 （C）36 种 （D）54 种（7）为了得到函数的图像，只需把函数的图像（A）向左平移个长度单位 （B）向右平移个长度单位（C）向左平移个长度单位 （D）向右平移个长度单位（8）中，点在上，平方．若，，，，则（A） （B） （C） （D）（9）已知正四棱锥中，，那么当该棱锥的体积最大时，它的高为（A）1 （B） （C）2 （D）3（10）若曲线在点处的切线与两个坐标围成的三角形的面积为 18，则[来（A）64 （B）32 （C）16 （D）8（11）与正方体的三条棱、、所在直线的距离相等的点（A）有且只有 1 个 （B）有且只有 2 个（C）有且只有 3 个 （D）有无数个（12）已知椭圆的离心率为，过右焦点且斜率为的直线与相交于两点．若，则（A）1 （B） （C） （D）2第Ⅱ卷二．填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分．（13）已知是第二象限的角，，则 ．（14）若的展开式中的系数是，则 ．（15）已知抛物线的准线为 ，过且斜率为的直线与 相交于点，与的一个交点为．若，则 ．（16）已知球的半径为 4，圆与圆为该球的两个小圆，为圆与圆的公共弦，．若，则两圆圆心的距离 ．三．解答题：本大题共 6 小题，共 70 分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．（17）（本小题满分 10 分）中，为边上的一点，，，，求．（18）（本小题满分 12 分）已知数列的前项和．（Ⅰ）求；（Ⅱ）证明：．（19）（本小题满分 12 分）如图，直三棱柱中，，，为的中点，为上的一点，．（Ⅰ）证明：为异面直线与的公垂线；（Ⅱ）设异面直线与的夹角为 45°，求二面角的大小．（20）（本小题满分 12 分） 如图，由 M 到 N 的电路中有 4 个元件，分别标为 T1，T2，T3，T4，电流能通过 T1，T2，T3的概率都是 p，电流能通过 T4的概率是 0.9．电流能否通过各元件相互独立．已知 T1，T2，T3中至少有一个能通过电流的概率为 0.999．（Ⅰ）求 p； （Ⅱ）求电流能在 M 与 N 之间通过的概率； （Ⅲ）表示 T1，T2，T3，T4中能通过电流的元件个数，求的期望．[（21）（本小题满分 12 分） 己知斜率为 1 的直线 l 与双曲线 C：相交于 B、D 两点，且 BD 的中点为． （Ⅰ）求 C 的离心率； （Ⅱ）设 C 的右顶点为 A，右焦点为 F，，证明：过 A、B、D 三点的圆与 x 轴相切．（22）（本小题满分 12 分）设函数．（Ⅰ）证明：当时，；（Ⅱ）设当时，，求 a 的取值范围．参考答案（数学理）（1）复数231ii （A） 34i （B） 34i （C）34i （D）34i【答案】A 【命题意图】本试题主要考查复数的运算.【解析】231ii 22(3)(1)(1 2 )342iiii  .（2）.函数1ln(1) (1)2xyx的反函数是（A）211(0)xyex （B）211(0)xyex（C）211(R)xyex （D）211(R)xyex【答案】D【命题意图】本试题主要考察反函数的求法及指数函数与对数函数的互化。【解析】由原函数解得，即，又；∴在反函数中，故选 D.（3）.若变量 ,x y 满足约束条件1,,325xyxxy≥≥≤ ，则2zxy的最大值为（A）1 （B）2 （C）3 （D）4【答案】C【命题意图】本试题主要考查简单的线性规划问题.【解析】可行域是由A( 1, 1),B( 1,4),C(1,1)构成的三角形，可知目标函数过 C 时最大，最大值为 3，故选 C.（4）.如果等差数列 na中，34512aaa，那么127...aaa（A）14 （...