2009年全国2高考理科数学试题及答案

2009 年全国 2 高考理科数学试题及答案一、选择题：1. A. B. C. D. 解：原式.故选 A.2. 设集合，则=A. B. C. D. 解：..故选 B.3. 已知中，， 则A. B. C. D. 解：已知中，，. 故选 D.4.曲线在点处的切线方程为A. B. C. D. 解：,故切线方程为,即 故选 B.5. 已知正四棱柱中，为中点，则异面直线与所成的角的余弦值为A. B. C. D. 解：令则,连∥ 异面直线与所成的角即与所成的角。在中由余弦定理易得。故选 C6. 已知向量，则A. B. C. D. 解：。故选 C7. 设，则A. B. C. D. 解： .故选 A.8. 若 将 函 数的 图 像 向 右 平 移个 单 位 长 度 后 ， 与 函 数的图像重合，则的最小值为A． B. C. D. 解：，又.故选 D9. 已知直线与抛物线相交于两点，为的焦点，若，则A. B. C. D. 解：设抛物线的准线为直线 恒过定点 P .如 图 过分 别 作于,于, 由, 则,点 B 为 AP 的中点.连结,则, 点的横坐标为 , 故点的坐标为, 故选 D10. 甲、乙两人从 4 门课程中各选修 2 门。则甲、乙所选的课程中至少有 1 门不相同的选法共有A. 6 种 B. 12 种 C. 30 种 D. 36 种解：用间接法即可.种. 故选 C11. 已知双曲线的右焦点为,过且斜率为的直线交于两点，若,则的离心率为m A． B. C. D. 解：设双曲线的右准线为 ,过分 别作于,于, , 由 直 线 AB 的 斜 率 为, 知 直 线 AB 的 倾 斜 角 为,由双曲线的第二定义有.又 故选 A12.纸制的正方体的六个面根据其方位分别标记为上、下、东、南、西、北。现有沿该正方体的一些棱将正方体剪开、外面朝上展平，得到右侧的平面图形，则标“”的面的方位是A. 南 B. 北C. 西 D. 下解：展、折问题。易判断选 B第 II 卷（非选择题，共 90 分）二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。把答案填在答题卡上。13. 的展开式中的系数为 6 。解：，只需求展开式中的含项的系数：14. 设等差数列的前项和为，若则 9 .解：为等差数列，15.设是球的半径，是的中点，过且与成 45°角的平面截球的表面得到圆。若圆的面积等于，则球的表面积等于 .解：设球半径为，圆的半径为， 因为。由得.故球的表面积等于.16. 已知为圆:的两条相互垂直的弦，垂足为,则四边形的面积的最大值为 。解：设圆心到的距离分别为,则.四边形的面积三、解答题：本大题共 6 小题，共 70 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤17（本小题满分 10 分）设的内角、、的对边长分别为、、，，，求。分 析 ： 由， 易 想 到 先 将代 入得。然后利用两角和与差的余弦公式展开得；又由，利用正弦定理进行边角互化，得，进而得.故。大部分考生做到这里忽略了检验，事实上，当时，由，进而得，矛盾，应舍去。也可利用若则从而舍去。不过这种方法学生不易想到。评析：本小题考生得分易，但得满分难。18（本小题满分 12 分） 如图，直三棱柱中，、分别为、的中点，平面（I）证明：（II）设二面角为 60°，求与平面所成的角的大小。（I）分析一：连结 BE，为直三棱柱， 为的中点，。又平面，（射影相等的两条斜线段相等）而平面，（相等的斜线段的射影相等）。分析二：取的中点，证四边形为平行四边形，进而证∥，，得也可。分析三：利用空间向量的方法。具体解法略。（II）分析一：求与平面所成的线面角，只需求点到面的距离即可。作于，连，则，为二面角的平面角，.不妨设，则.在中，由，易得. 设点到面的距离为，与平面O所成的角为。利用，可求得，又可求得 即与平面所成的角为分析二：作出与平面所成的角再行求解。如图可证得，所以面。由分析一易知：四边形为正方形，连，并设交点为，则，为在面内的射影。。以下略。分析三：利用空间向量的方法求出面的法向量，则与平面所成的角即为与法向量的夹角的余角。具体解法详见高考试题参考答案。总之在目前，立体几何中的两种主要的处理方法：传统方法与向量的方法仍处于各自半壁江山的状况。命题人在这里一定会兼顾双方的利益。19（本小题满分 12 分）设数...