平行线的证明典型题范文第1篇

一、选择题

1.若直线l1，l2的方向向量分别为a=(2,4，-4)，b=(-6,9,6)，则().

A.l1∥l2B.l1⊥l

2C.l1与l2相交但不垂直D.以上均不正确

2.直线l1，l2相互垂直，则下列向量可能是这两条直线的方向向量的是()

A.s1=(1,1,2)，s2=(2，-1,0)

B.s1=(0,1，-1)，s2=(2,0,0)

C.s1=(1,1,1)，s2=(2,2，-2)

D.s1=(1，-1,1)，s2=(-2,2，-2)

35153.已知a=1，-，b=-3，λ，-满足a∥b，则λ等于(). 222

2992A.B.C.-D.- 322

34.若直线l的方向向量为a，平面α的法向量为n，能使l∥α的是 ().

A.a=(1,0,0)，n=(-2,0,0)

B.a=(1,3,5)，n=(1,0,1)

C.a=(0,2,1)，n=(-1,0，-1)

D.a=(1，-1,3)，n=(0,3,1)

5.若平面α，β平行，则下面可以是这两个平面的法向量的是()

A.n1=(1,2,3)，n2=(-3,2,1)

B.n1=(1,2,2)，n2=(-2,2,1)

C.n1=(1,1,1)，n2=(-2,2,1)

D.n1=(1,1,1)，n2=(-2，-2，-2)

6.已知a=(2，-1,3)，b=(-1,4，-2)，c=(7,5，λ)，若a，b，c三向量共面，则实数λ等于().

62636065A.B.C.D. 7777

7.已知平面α内有一个点A(2，-1,2)，α的一个法向量为n=(3,1,2)，则下列点P中，在平面α内的是()

A.(1，-1,1)3B.1，3， 2



C.1，-3，

2

二、填空题



D.-1，3，-

2

8.两不重合直线l1和l2的方向向量分别为v1=(1,0，-1)，v2=(-2,0,2)，则

l1与l2的位置关系是_______.

9.平面α的一个法向量n=(0,1，-1)，如果直线l⊥平面α，则直线l的单位方向向量是s=________.

=0的_______.

12.已知AB=(1,5，-2)，BC=(3,1，z)，若AB⊥BC，BP=(x-1，y，-3)，且BP⊥平面ABC，则实数x，y，z分别为________.

三、解答题

13.已知：a=(x,4,1)，b=(-2，y，-1)，c=(3，-2，z)，a∥b，b⊥c，求：

11.已知AB=(2,2,1)，AC=(4,5,3)，则平面ABC的单位法向量是________.

10.已知点A，B，C∈平面α，点P∉α，则APAB=0，且APAC=0是APBC

a，b，c.14.如图所示，在正方体ABCD­A1B1C1D1中，M、N分别是C1C、B1C1的中点.求证：

MN∥平面A1BD.证明 法一 如图所示，以D为原点，DA、DC、DD1所在直

线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，设正方体的棱长为1，

1

则M0，1，，N，1，1，D(0,0,0)，A1(1,0,1)，B(1,1,0)，

22

1

1于是MN=，0，，

2

2设平面A1BD的法向量是n=(x，y，z). x+z=0，

则nDA1=0，且nDB=0，得

x+y=0.

取x=1，得y=-1，z=-1.∴n=(1，-1，-1).

11

又MNn=，0，(1，-1，-1)=0，

22

∴MN⊥n，又MN⊄平面A1BD， ∴MN∥平面A1BD.

15.如图，已知ABCDA1B1C1D1是棱长为3的正方体，点E在AA1上，点F在CC1上，且AE=FC1=

1.

(1)求证：E，B，F，D1四点共面;

(2)若点G在BC上，BG=M在BB1上，GM⊥BF，垂足为H，求证：EM⊥面

BCC1B1.

证明 (1)建立如图所示的坐标系，则BE=(3,0,1)，BF=(0,3,2)，BD1=(3,3,3).

所以BD1=BE+BF， 故BD

1、BE、BF共面. 又它们有公共点B， 所以E、B、F、D1四点共面. (2)如图，设M(0,0，z)，

2

则GM=0，-，z，而BF=(0,3,2)，

3

由题设得GMBF=-3+z2=0，得z=1.

因为M(0,0,1)，E(3,0,1)，所以ME=(3,0,0).

又BB1=(0,0,3)，BC=(0,3,0)，

所以MEBB1=0，MEBC=0， 从而ME⊥BB1，ME⊥BC. 又BB1∩BC=B， 故ME⊥平面BCC1B1.

16.如图所示，已知正方形ABCD和矩形ACEF所在的平面互相垂直，AB=2，

AF=1，M是线段EF的中点.

求证：(1)AM∥平面BDE; (2)AM⊥平面BDF.

证明 (1)建立如图所示的空间直角坐标系， 设AC∩BD=N，连接NE. 则点N、E的坐标分别为 22

，，0、(0,0,1).

2222∴NE=-，-1.22

2

2又点A、M的坐标分别是2，2，0)、，1

22



22∴AM=-，-1.

22

∴NE=AM且NE与AM不共线.∴NE∥AM. 又∵NE⊂平面BDE，AM⊄平面BDE， ∴AM∥平面BDE.

22

(2)由(1)知AM=-，-1，

22

∵D2，0,0)，F(2，2，1)，∴DF=(0，2，1)

∴AMDF=0，∴AM⊥DF. 同理AM⊥BF.

又DF∩BF=F，∴AM⊥平面BDF.

平行线的证明典型题范文第2篇

2 如图，空间四边形

,平行于与的截面分别交、AC、CD、BD于E、F、G、

H.

求证：四边形EGFH为平行四边形;

3如图，∥∥，直线a与b分别交，，于点A，B，C和点D，E，F， 求证：

ABDE. BCEF第 7 页

4如图所示，在棱长为a的正方体ABCDA1B1C1D1中，Q分别是BC，C1D1，E，F，P，

AD1，BD的中点.

(1) 求证：PQ//平面DCC1D1. (2) 求PQ的长.

(3) 求证：EF//平面BB1D1D.

5 如图，在正方体ABCDA1B1C1D1中，E，F，G，H分别棱是CC1，C1D1，D1D，

CD的中点，N是BC的中点，点M在四边形EFGH及其内部运动，则M满足

时，有MN//平面B1BDD1.

6 如图，M、N、P分别为空间四边形ABCD的边AB，BC，CD上的点，且AM∶MBCN∶NBCP∶PD.

求证：(1)AC//平面MNP，BD//平面MNP; (2)平面MNP与平面ACD的交线//AC.

第 8 页

7如图，在正方体ABCDA1B1C1D1中，求证：平面A1BD//平面CD1B1.

8 图，在四棱锥PABCD中，ABCD是平行四边形，M，N分别是AB，PC的中点. 求证：MN//平面PAD.

9如图，正三棱柱ABCA1B1C1的底面边长是2，3，D是AC的中点.求证：B1C//平面A1BD.

10 .如图，在正四棱锥PABCD中，PAABa,点E在棱PC上. 问点E在何处时，PA//平面EBD，并加以证明.

A

P

AE

C

B