常用数值求积分公式的直接证明及收敛性的证明（精选2篇）

常用数值求积分公式的直接证明及收敛性的证明 第1篇

常用数值求积分公式的直接证明及收敛性的证明

考虑数值积分公式的直接证明问题,利用微分中值定理给出了数值积分的矩形公式和梯形公式的直接证明,然后给出了数值积分公式的收敛性的证明.

作 者：邢家省 张愿章 李争辉 Xing Jiasheng Zhang Yuanzhang Li Zhenghui 作者单位：邢家省,李争辉,Xing Jiasheng,Li Zhenghui(北京航空航天大学数学与系统科学学院;数学、信息与行为教育部重点实验室,北京,100191)

张愿章,Zhang Yuanzhang(华北水利水电学院,郑州,450011)

刊 名：河南科学 ISTIC英文刊名：HENAN SCIENCES年，卷(期)：27(8)分类号：O177.2关键词：数值积分公式 矩形公式 梯形公式 数值积分公式的收敛性

一种积分小波变换收敛性的证明 第2篇

定义1:设φ∈L1 (R) ∩L2 (R) 满足:

则称φ是一个基本小波 (或母波) , 简称为L2 (R) 中的小波 (Wavelet) 。

设φ是一个小波, 由于φ赞属于C0 (R) , 从而由 (4.1) 知φ赞 (0) =0, 即:

典型的小波为Mexican帽:ψ (t) = (1-t2) e-t/2, 它由一个Gaussian函数的二阶导数得到。

定义2:设ψ是小波, ψb, a由公式 (3) 给出, 则函数f∈L2关于ψ的积分小波变换 (IWT) 定义为下列的二元函数:

由 (3) 知: (Tψwavf) (b, a) =〈f, ψb, a〉, 坌 (b, a) ∈RR*值得指出的是:传统的积分小波变换定义为:

在定义2中, 我们加入了“正规化因子”, 定义的算子Twavψ是等距线性算子, 保持了Fourier变换与窗口Fourier变换的保范性。同时, 也使得反演公式与 (4) 具有对称的形式。为了研究函数Twavψ的性质, 对于LP (R) ≡LP的元素f及α∈R, β∈R*定义平移算子与伸缩算子为:

(1) 向量值函数H: (b, a) | (Tψwavf) (b, a) ψb, a是从Dn到L2 (R) 中的Bochner可积函数, 记其Bochner积分:

证明: (1) 由于:

所以, 由 ([7], Th.4) 知:向量值函数H: (b, a) | (Tψwavf) (b, a) ψb, a是从Dn到L2 (R) 中的连续函数, 从而可测。又因为当 (b, a) ∈Dn时, 有:

因为所以由Lebesgue控制收敛定理知:

定理1的结论 (2) 可以写为:

这就是积分小波变换的反演公式, 其中的极限是L2-范数极限, 即强极限。因此, (6) 又可记为:

因此, 当n充分大时, 有:

值得一提的是:公式 (3) 并不意味着:

尽管存在子列{nk}使得:

下面研究在弱收敛意义下的逐点反演公式。

则:

证明:任取t∈R, 则Kt (b, a) :=ψb, a (t) 在R2上可测且:

对任一h∈L2 (R) , 由Fubini定理及Lebesgue控制收敛定理知:

摘要：本文引入并研究正规积分小波变换Twavψ。证明正规积分小波变换Twavψ是从L2 (R) 到C (R×R*) ∩L2 (R2) 中的线性等距.给出积分小波变换Twavψ的反演公式, 并研究在弱收敛意义下的逐点反演公式。

关键词：小波变换Twav,反演公式,线性等距

参考文献

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